九年级数学下册课后练习：一元二次方程的公共根 课后练习二 Word版 含解析 华师大版
人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 课后训练(含答案)
人教版 九年级数学 21.2 解一元二次方程 课后训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2. 方程x 2－2020x ＝0的根是( )A ．x ＝2020B ．x ＝0C ．x 1＝2020，x 2＝0D ．x ＝－20203. 用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x －3)2＝17B ．(x －3)2＝14C ．(x －6)2＝44D ．(x －3)2＝14. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 21－x 1＋x 2的值为( ) A. －1 B. 0 C. 2 D. 35. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≤54B ．k>54C ．k<54且k≠1D ．k≤54且k≠16. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两根，则x 1·x 2的值为( )A ．－5B ．5C ．－4D ．47. 关于x 的一元二次方程x 2＋mx －1＝0根的判别式的值为( )A ．1－m 2B ．m 2－4C ．m 2＋4D ．m 2＋18. 代数式x 2－4x －2020的最小值是( )A．－2018 B．－2020 C．－2022 D．－20249. 下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是()A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值110. 一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是()A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3二、填空题（本大题共8道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 一元二次方程4x2＋12x＋9＝0的解为__________．13. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．14. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．15. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则1a＋c的值为________．16. 若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________．17. 已知关于x的方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的一个根是12，且b2－4ac＝0，则此方程的另一个根是________．18. 已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 解一元二次方程3x2=4-2x.20. 解方程:5x(3x-12)=10(3x-12).21. 解下列方程：(1)4x2－25＝0；(2)49(x＋1)2＝64.22. 已知xy＞0，且x2－8y2＝2xy，求5x－2yx＋2y的值．人教版九年级数学21.2 解一元二次方程课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 在方程x2＋4kx－1＝0中，Δ＝b2－4ac＝(4k)2－4×1×(－1)＝16k2＋4.∵16k2＋4＞0，∴方程x2＋4kx－1＝0有两个不相等的实数根．故选A.2. 【答案】C3. 【答案】A4. 【答案】D【解析】由题意可得x21－2x1－1＝0，x1＋x2＝2，即x21－2x1＝1，所以原式＝x21－2x1＋()x1＋x2＝1＋2＝3.5. 【答案】D[解析] ∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有两个实数根，∴Δ≥0，即12－4×(k－1)×1≥0，解得k≤5 4.又∵k－1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围为k≤54且k≠1.故选D.6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】D[解析] x2－4x－2020＝x2－4x＋4－4－2020＝(x－2)2－2024.∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2－2024≥－2024，即代数式x2－4x－2020的最小值是－2024.9. 【答案】A10. 【答案】D[解析] 将一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5化简为x2－4x＋2＝0.其判别式Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴方程的两根为x＝－（－4）±82，即x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.∵2＋2＞3，2－2＞0，∴该方程有两个正根，且有一根大于3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0， 解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】x 1＝x 2＝－32 [解析] 原方程可化为(2x ＋3)2＝0，所以x 1＝x 2＝－32.13. 【答案】解：(1)一 移项时没有变号(2)x 2－2x ＝1.x 2－2x ＋1＝1＋1.(x －1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.14. 【答案】1 [解析] 设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2＋bt ＋1＝0.由题意可知：t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.15. 【答案】2 [解析] 根据题意，得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理，得4ac －8a ＝－4，即4a(c －2)＝－4.∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程，∴a≠0.等式两边同时除以4a ，得c －2＝－1a ，则1a ＋c ＝2.故答案为2.16. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.17. 【答案】12[解析] 由b 2－4ac ＝0知原方程根的判别式为0，因此原方程有两个相等的实数根．故原方程的另一个根也是12.18. 【答案】1 [解析] 设方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋1＝x 1，x 4＋1＝x 2，∴x 3＝0，x 4＝1，∴x 3＋x 4＝1.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:3x 2=4-2x ，即3x 2+2x -4=0，Δ=b 2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0，∴x=， ∴x 1=，x 2=.20. 【答案】 解:由5x (3x -12)=10(3x -12)，得5x (3x -12)-10(3x -12)=0，∴(3x -12)(5x -10)=0，∴5x -10=0或3x -12=0，解得x 1=2，x 2=4.21. 【答案】解：(1)移项，得4x 2＝25.系数化为1，得x 2＝254.所以x 1＝52，x 2＝－52.(2)系数化为1，得(x ＋1)2＝6449. 开方，得x ＋1＝±87.所以x 1＝17，x 2＝－157.22. 【答案】解：由已知，得x 2－2xy －8y 2＝0. 左边分解因式，得(x －4y)(x ＋2y)＝0. ∵xy ＞0，∴x ，y 同号，可见x ＋2y≠0. ∴x －4y ＝0，即x ＝4y.∴原式＝5×4y －2y 4y ＋2y＝18y 6y ＝3.。
2019秋季人教版九年级数学下册 一元二次方程解答题精选 含解析
一元二次方程解答题精选解答题（共40小题）1．解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝02．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．5．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝06．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．7．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个整数根．（1）请你判断，这三个结论中正确的有（填序号）（2）证明（1）中你认为正确的结论．8．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝4时，求方程的根．9．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．10．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．11．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．13．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．14．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．15．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝2m﹣1有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x12+x22﹣x1•x2的最小值．16．（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，是否存在m使x12+x22＝0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．18．阅读下列材料，然后回答问题先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）、（3）题（1）已知实数m、n满足m2＝1﹣m，n2＝1﹣n，且m≠n，求+的值．解：由已知得：m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，故m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个不相等的实数根由根与系数的关系得：m+n＝﹣1，mn＝﹣1．∴+＝＝＝＝﹣3（2）已知a2＝5a﹣2，且a、b为实数①若b2＝5b﹣2，且a≠b，则a+b＝，ab＝；②若2b2＝5b﹣1，且ab≠1，则a+＝；（3）已知实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，求+的值．19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．20．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1解答问题：（1）已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．（2）解方程：x4﹣6x2+8＝021．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为万元．22．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．23．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？24．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x（120＞x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？26．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？27．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．28．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？29．经市场调研发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过18元的情况下，若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设降价x元．（1）降价x元后，每件童装盈利是元，每天销售量是件；（2）要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（3）每天能盈利1800元吗？如果能，每件童装应降价多少元？如果不能，请说明理由．30．我市某地区大力发展乡村旅游，计划分两期利用当地的闲置土地种植花木和修建鱼塘．（1）第一期预计种植花木和修建鱼塘共计60亩，种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，那么种植花木的土地面积最少为多少亩？（2）第一期按计划完成后，共投入了150万元，种植花木的土地面积刚好是计划的最小值，并且种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用之比为2：5．按计划，第二期将在第一期的基础上扩大规模，投入资金将在第一期的基础上增加4a%，经测算，第二期种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用将在第一期的基础上分别增加2a%，3a%，种植花木和修建鱼塘的土地面积将在第一期的基础上分别增加a%，2a%．求a的值．31．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n＝x12+x22﹣9，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣1，4），并说明理由．32．【问题背景】解方程：x4﹣5x2+4＝0．分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2＝1，x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．【触类旁通】参照例题解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0；【解决问题】已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值；【拓展迁移】分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．33．已知：方程组有两组不同的实数解，．（1）求实数k的取值范围．（2）是否存在实数k，使＝2？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．34．阅读材料，用配方法求最值．已知a，b为非负实数，∵a+b﹣2＝（）2+（）2﹣2•＝（﹣）2≥0，∴a+b ≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y＝x++1的最小值；解：y＝（x+）+1≥2+1＝5，当x＝，即x＝2时，y的最小值为5．（1）探究：当x＞0时，求y＝的最小值；（2）问题解决：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用＝所有费用÷年数n）？最少年平均费用为多少万元？35．如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q 分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．37．最近由于网络视频的兴起，让重庆一度成为“网红”城市，并且使得到山城重庆的游客剧增，根据国家旅游统计局的官方统计，2017年，来重庆旅游的人数达到5.42亿人次，并且根据今年2018年的前三个月的统计，对比去年同期都是高速增长．（1）某旅游公司2018年3月共接待国内外游客共3000人次，其中国外游客不足国内游客的，则国内游客至少有多少人？（2）该旅游公司根据游客的需求推出了“快速游”和“精品游”两种套餐，两种套餐的3月份价格分别为：800元/人和2000元/人，公司为了接纳更多的游客，提升口碑，4月份“快速游”套餐价格比3月下降了2a%，4月份“精品游”套餐价格比3月下降了10%，月末统计：4月旅游总人数达4500人次，其中“精品游”套餐人次占总人次的，总收入达：391.5万元，求a的值．38．方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”﹣﹣化未知为已知，利用“转化”，我们还可以解一些新的方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以将方程两边平方转化为整式方程2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x＝3．解下列方程：（1）x+＝5；（2）﹣＝2．39．阅读下面的例题：例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1（舍去），x2＝3（2）当x＜0时，原方程可化为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3．综上所述，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．解答问题：（1）如果我们将原方程化为|x|2﹣2|x|﹣3＝0求解可以吗？请你大胆试一下写出求解过程．（2）依照题目给出的例题解法，解方程x2+2|x﹣2|﹣4＝040．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝0【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）先分解因式，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣2x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，x＝，x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，x﹣3＝0，即x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；（3）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m﹣1＞0，∴m＞1；（3）∵x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，，∴1﹣m+1＝22﹣2（m﹣1），∴m＝4．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，然后解一元二次方程即可．【解答】解：根据题意知，△＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，整理，得：m2﹣m﹣1＝0，解得：m＝，即m1＝，m2＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）利用配方法的步骤求解可得．【解答】解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，则x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（2）∵x2﹣10x+22＝0，∴x2﹣10x+25﹣3＝0，则x2﹣10x+25＝3，即（x﹣5）2＝3，∴x﹣5＝±，∴x＝5±，即x1＝5+，x2＝5﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．6．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）由题意知，△＞0，则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，解得：k＞﹣；（2）∵k为负整数，∴k＝﹣1，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．7．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个整数根．（1）请你判断，这三个结论中正确的有①③（填序号）（2）证明（1）中你认为正确的结论．【分析】根据根的判别式逐个判断即可．【解答】解：（1）这三个结论中正确的有①③，故答案为：①③；（2）证明①：∵当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，得x＝1，∴方程只有一个实数解；证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程∴△＝1﹣4m（﹣m+1）＝1+4m2﹣4m＝（2m﹣1）2≥0，∴，又∵当m＝0时，方程解为x＝1∴无论m取何值，方程都有一个整数根x＝1，即②错误，③正确．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能灵活运用根的判别式进行求解是解此题的关键．8．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝4时，求方程的根．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2+4k＞0，然后解不等式即可；（2）将k＝4代入方程，因式分解法求出方程的根即可．【解答】解：（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，解得：k＞﹣；（2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0，则（x+1）（x﹣4）＝0，∴x+1＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）证明：∵△＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴△＝0，即m＝3，此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入x＝4求出m值．10．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是不符合等式的性质1；（2）请写出此题正确的解答过程．【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．11．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【分析】（1）根据根的判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根求m的值即可；（2）根据根的判别式△＞0时，方程有两个不相等的实数根列出不等式，求m的取值范围，再得出整数m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△＝0，即4（m+1）2﹣4m2＝0，∴m＝﹣；（2）∵方程有两个不相等实数根，∴△＞0，即4（m+1）2﹣4m2＞0，∴m＞﹣；令m＝0，代入方程得x2﹣2x＝0∴x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2＝0，解得：m＝2．当m＝2时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2，∴方程的另一个根为2．（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0有两个不同的实数根，∴，解得：m＞且m≠1，∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．【点评】本题考查了根的判别式以及根的判别式，解题的关键是：（1）带入x＝﹣1求出m值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的一元一次不等式组．13．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．【分析】将x＝2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣4m+3m＝0，解得：m＝4．当m＝4时，原方程为x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6，∵2+2＝4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C＝6+6+2＝14．【点评】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．14．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．【解答】解：由题意得：（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0，∴a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1＝0，∵△＝25﹣4＞0，∴a+b＝﹣5，ab＝1．故a、b均为负数．因此a+b＝﹣a•﹣b•＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝﹣[（﹣5）2﹣2]＝﹣23．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据已知条件把a、b看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根．15．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝2m﹣1有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x12+x22﹣x1•x2的最小值．【分析】（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣6，x1•x2＝m2﹣2m+1，代入得x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2＝（m﹣9）2﹣48，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）由（x﹣m）2+6x＝2m﹣1，得x2+（6﹣2m）x+m2﹣2m+1＝0．∴△＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝﹣16m+32，∵方程有实数根，∴﹣16m+32≥0．解得：m≤2．∴m的取值范围是m≤2．（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，由根与系数的关系，得：x1+x2＝2m﹣6，x1•x2＝m2﹣2m+1，∴x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2＝（2m﹣6）2﹣3（m2﹣2m+1）＝m2﹣18m+33＝（m﹣9）2﹣48，∵m≤2，且当m＜9时，（m﹣9）2﹣48的值随m的增大而减小，∴当m＝2时，x12+x22﹣x1•x2的值最小，最小值为（2﹣9）2﹣48＝1．∴x12+x22﹣x1•x2的最小值是1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根的判别式、根与系数的关系及二次函数的性质等知识点．16．（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，是否存在m使x12+x22＝0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据根的判别式和得出△＝22﹣4×1×2m＝4﹣8m＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，把x12+x22＝0进行变形，再代入求出，再判断即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4×1×2m＝4﹣8m＞0，解得：m；（2）不存在，理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝0，（﹣2）2﹣2•2m＝0，解得：m＝1，当m＝1时，△＝22﹣4×1×2×1＜0，此时方程无解，即不存在m使x12+x22＝0．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△＝b2﹣4ac的值大于0即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是8，结合x1+2x2＝7即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣k2）＝64+4k2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝8，又∵x1+2x2＝7，解得，将x2＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣8×（﹣1）﹣k2＝0，解得k＝±3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．18．阅读下列材料，然后回答问题先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）、（3）题（1）已知实数m、n满足m2＝1﹣m，n2＝1﹣n，且m≠n，求+的值．解：由已知得：m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，故m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个不相等的实数根由根与系数的关系得：m+n＝﹣1，mn＝﹣1．∴+＝＝＝＝﹣3（2）已知a2＝5a﹣2，且a、b为实数①若b2＝5b﹣2，且a≠b，则a+b＝5，ab＝2；②若2b2＝5b﹣1，且ab≠1，则a+＝5；（3）已知实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，求+的值．【分析】（1）①由a2＝5a﹣2，b2＝5b﹣2且a≠b知a与b是方程x2＝5x﹣2，即x2﹣5x+2＝0的两根实数根，由韦达定理可得；②将2b2＝5b﹣1变形为（）2﹣5×+2＝0，可得a与是方程x2﹣5x+2＝0的两根实数根，根据韦达定理可得；（2）由题意得出s与t是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，根据韦达定理知s+t＝1，st＝﹣3，代入到+＝＝计算可得．【解答】解：（1）①∵a2＝5a﹣2，b2＝5b﹣2，且a≠b，∴a与b是方程x2＝5x﹣2，即x2﹣5x+2＝0的两根实数根，则a+b＝5，ab＝2，故答案为：5，2．②∵2b2＝5b﹣1，∴2＝5×﹣（）2，即（）2﹣5×+2＝0，∵a2＝5a﹣2，即a2﹣5a+2＝0，∴a与是方程x2﹣5x+2＝0的两根实数根，则a+＝5，故答案为：5．（2）∵实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，∴s与t是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则s+t＝1，st＝﹣3，∴+＝＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据已知条件抽象出符合方程特点的一元二次方程，并熟练掌握根与系数的关系公式．19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．。
初三数学一元二次方程经典例题及答案解析
初三数学一元二次方程经典例题1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？初三数学一元二次方程经典例题答案1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x＝1，∴x2+6x+9＝1+9，即（x+3）2＝10，则x+3＝±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）∵3x（1﹣x）＝2（1﹣x），∴3x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，则（1﹣x）（3x﹣2）＝0，∴1﹣x＝0或3x﹣2＝0，解得x＝1或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般解法：直接开平方法、因式分解法等，对不同的方程要选择合适的方法．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？【分析】（1）根据“A种商品每月利润的增长率都为a，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a”列出代数式；（2）在（1）的基础上分别求得三月份出售A和B两种商品的利润，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意，得二月份出售A商品的利润：10（1+a）万元．二月份出售A商品的利润：10（1﹣a）万元．（2）根据题意，得10（1+a）2+10（1﹣a）2＝20a2+20（万元）答：三月份出售A、B两种商品的总利润是（20a2+20）万元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的公共根+课后练习二及详解
学科：数学专题：一元二次方程的公共根金题精讲题一：题面：若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值满分冲刺题一：题面：已知两个二次方程x 2+ax +b =0与x 2+cx +d =0有一个公共根为1，求证：二次方程x 2+2ac x +2bd ＝0也有一个根为1．题二：题面：已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2(a +b )x +ab =0与x 2abx +(a +b )=0有没有公共根，请说明理由．课后练习详解金题精讲题一：答案：a = 2详解：设两个方程的公共根为，则有20a ①210a ②①②得(1)10a a ，即(1)(1)0a 因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以=1 把=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0， a = 2．满分冲刺题一：答案：二次方程x 2+ 2a c x +2bd＝0也有一个根为1．详解：∵x =1是方程x 2+ax +b =0和x 2+cx +d =0的公共根，∴a +b +1=0，c +d +1=0，∴a +c +b +d +2=0，∴b +d = a c 2 ①把①代入方程x 2+2a cx +2b d=0，得：x 2+2a cx 12a c=0，(x 21)+2a c(x 1)=0，(x 1)( x +1+2a c)=0，∴x 1=1，x 2= 12ac ．故二次方程x 2+2a cx +2b d=0也有一个根为1．题二：答案：关于x 的两个方程没有公共根．详解：不妨设关于x 的方程x 2（a +b ）x +ab =0与x 2abx +（a +b ）=0有公共根，设为x 0，则有0)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2， b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0= 1 把x 0= 1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的所以，关于x 的两个方程没有公共根．①②。
【配套K12】华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的应用+课后练习一及详解
学科：数学专题：一元二次方程的应用重难点易错点解析题一：题面：常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？金题精讲题一：题面：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）满分冲刺题一：题面：益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？题二：题面：如图所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）题三：题面：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.课后练习详解重难点易错点解析题一：答案： 2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率， 在2012年将达到1200亿元的目标．详解：设2008年到2010年的年平均增长率为 x ，则2440(1)743.6x +=化简得 ： 2(1) 1.69x +=， 120.330% 2.3x x ===-，（舍去）2743.6(10.3)1256.6841200⨯+=>答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率， 在2012年将达到1200亿元的目标．金题精讲题一：答案：2.04%.详解：设第一次存款时的年利率为x .则根据题意，得[1000(1+x )－500](1+0.9x )＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0.解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x 2≈－1.63舍去.答：一次存款的年利率约是2.04%.满分冲刺题一：答案：100件，25元.详解：根据题意，得(a －21)(350－10a )＝400，整理，得a 2－56a +775＝0，解这个方程，得a 1＝25，a 2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a 2=31不合题意，舍去.所以350－10a ＝350－10×25＝100（件）.答：需要进货100件，每件商品应定价25元.题二：答案：（1）100海里；（2）118.4海里.详解：（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝12 AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200x2＝.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.题三：答案：2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.详解：因为∠C＝90°，所以AB10（cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.则根据题意，得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.。
华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的解法 课后练习二及详解
学科：数学专题：一元二次方程的解法重难点易错点解析题一：题面：当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于x 的一元二次方程．金题精讲题一：题面：方程0322=--x x 的根是 ．满分冲刺题一：题面：解方程：(1)(1)2(3)8x x x +-++=．题二：题面：如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5m ，墙外可用宽度为3.25m ．现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的矩形花圃．（1）若要围成总面积为36m 2的花圃，边AB 的长应是多少米？（2）花圃的面积能否达到36.75m 2？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：2±详解：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于x 的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k金题精讲题一：答案：.3,121=-=x x详解：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x满分冲刺题一：答案：13x x ==-或．详解：原方程可化为2230x x +-=，即(3)(1)0x x +-=，解得13x x ==-或．题二：答案： （1）3；（2）花圃的面积能达到36.75m 2，此时，AB 的长为3.5m ．详解：（1）设AB 的长为x 米，则长为（21-3x ）米，根据题意得：x （21-3x ）=36，解得：x =3或x =4，∵墙外可用宽度为3.25m ，∴x 只能取3．（2）花圃的面积为（21-3x ）x =-3（x -3.5）2+36.75，∴当AB 长为3.5m ，有最大面积，为36.75平方米．故花圃的面积能达到36.75m2，此时，AB的长为3.5m．。
人教版数学九年级下册 第二十二章 一元二次函数 习题练习(附答案)
人教版数学九年级下册第二十二章一元二次函数习题练习（附答案）一、选择题1.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y=x2-2x+2 B．y=x2-2x-2 C．y=-x2-2x+1 D．y=x2-2x+12.已知y=ax2（a≠0）的图象不经过第四象限，图象上有A（-1，y1），B（-，y2），C（2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y23.将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，得到该二次函数的表达式是（）A．y=2（x+2）2B．y=2（x-2）2C．y=2x2+2D．y=2x2-24.将抛物线y=-2x2+1向下平移1个单位后所得到的抛物线为（）A．y=-2（x+1）2+1 B．y=-2（x-1）2+1C．y=-2x2 D．y=-2x2+25.已知二次函数y=ax2-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当a-b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1C．或 D．或6.二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞-5 B． -5＜t＜3 C． 3＜t≤4 D． -5＜t≤47.在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是（）A．y=2x2-4 B．y=2（x-2）2 C．y=2x2+2 D．y=2（x+2）28.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x元（x为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为多少元？（）A． 41 B． 42 C． 42.5 D． 439.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）A．m B． 6m C． 15m D．m10.已知正比例函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+（b-1）x+c的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题11.二次函数y=（x-1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为____________．12.将二次函数y=2（x+1）2-3的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，那么平移后的二次函数的顶点坐标是____________．13.如图是二次函数y=ax2+bx-1图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0），则（a+b+1）（2-a-b）=_______________．14.形如：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程x2+x-3=0的解可以看成抛物线y=x2+x-3与直线y=0（x轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=x2与直线y=___________的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=____________与直线y=-x的交点的横坐标．15.若二次函数y=-ax2，当x=2时，y=；则当x=-2时，y的值是___________．16.若二次函数y=x2-3x-4的图象如图所示，则方程x2-3x-4=0的解是__________；不等式x2-3x-4＞0的解集是______________；不等式x2-3x-4＜0的解集是________________．17.若将抛物线y=x2-2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是____________．18.抛物线y＝−x2+5在y轴左侧的部分是________（填“上升”或“下降”）的．三、解答题19.已知抛物线y=（x-m）2-（x-m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20.在同一坐标系中画出y=-2x2+1和y=-2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．22.已知关于x的方程mx2+2（m-1）x+m-1=0有两个实数根，且m为非负整数．（1）求m的值；（2）将抛物线C1：y=mx2+2（m-1）x+m-1向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线C2，若抛物线C2过点A（2，b）和点B（4，2b+1），求抛物线C2的表达式；（3）将抛物线C2绕点（n+1，n）旋转180°得到抛物线C3，若抛物线C3与直线y=x+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围．答案解析1.【答案】B【解析】A、y=x2-2x+2=（x-1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；B、y=x2-2x-2=（x-1）2-3，顶点坐标为（1，-3），符合题意；C、y=-x2-2x+2=-（x+1）2+3，顶点坐标为（-1，3），不合题意；D、y=x2-2x+1=（x-1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．2.【答案】A【解析】∵y=ax2（a≠0）的图象不经过第四象限，∴a＞0，在二次函数y=ax2（a≠0），对称轴y 轴，图象上有A（-1，y1），B（-，y2），C（2，y3）三点， |-1|＜|-|＜|2|，则y1、y2、y3的大小关系为y1＜y2＜y3．3.【答案】B【解析】二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，得y=2（x-2）2．4.【答案】C【解析】由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2x2+1向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=-2x2+1-1，即y=-2x2．5.【答案】A【解析】依题意知a＞0，＞0，a+b-2=0，故b＞0，且b=2-a，a-b=a-（2-a）=2a-2，于是0＜a ＜2，∴-2＜2a-2＜2，又a-b为整数，∴2a-2=-1或0或1，故a=或1或，b=或1或，∴ab=或1．6.【答案】D【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=-5，由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，∴-5＜t≤4．7.【答案】B【解析】A、y=2x2-4的对称轴为x=0，所以选项A错误；B、y=2（x-2）2的对称轴为x=2，所以选项B正确；C、y=2x2+2的对称轴为x=0，所以选项C错误；D、y=2（x+2）2对称轴为x=-2，所以选项D错误；8.【答案】B【解析】由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x为整数），每星期少卖10（x-40）件，∴每星期的销量为150-10（x-40）=550-10x，设每星期的利润为y元，则y=（x-30）×（550-10x）=-10（x-42.5）2+1562.5，∵x为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，又∵要求销量较大，∴x取42元．答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为42元．9.【答案】D【解析】根据题意得y=30-（5-x）-x（12-），整理得y=-x2+12x，=-[x2-5x+（）2-]，=-（x-）2+15，∵−＜0∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．10.【答案】C【解析】如图，∵点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根，∴函数y=ax2+（b-1）x+c的图象与x轴有两个交点，并且这两个交点都在x轴的正半轴上，符合条件的只有选项C．11.【答案】-1＜x≤0或2≤x＜3【解析】当y=2时，（x-1）2+1=2，解得x=0或x=2，当y=5时，（x-1）2+1=5，解得x=3或x=-1，又抛物线对称轴为x=1，∴-1＜x≤0或2≤x＜3．12.【答案】（2，-2）【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象的顶点坐标是（-1，-3），则向右平移3个单位，再向上平移1个单位的函数图象的顶点坐标是（2，-2）．13.【答案】2【解析】∵二次函数的对称轴为x=-1，且过点（-3，0），∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（1，0），∴a+b-1=0，故a+b=1，则a+b+1=2，2-a-b=2-（a+b）=2-1=1，故（a+b+1）（2-a-b）=2×1=2．14.【答案】-x+3，x2-3【解析】依题意，一元二次方程x2+x-3=0可以看成是抛物线y=x2与直线y=-x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=x2-3与直线y=-x的交点的横坐标．15.【答案】【解析】∵当x=2时，y=，∴-4a=，解得a=-．∴y=x2∴当x=-2时，y=．16.【答案】x1=4，x2=-1；x＞4或x＜-1；-1＜x＜4【解析】方程x2-3x-4=0的解是x1=4，x2=-1；不等式x2-3x-4＞0的解集是x＞4或x＜-1；不等式x2-3x-4＜0的解集是-1＜x＜4．17.【答案】（0，-2）【解析】∵y=x2-2x+1=（x-1）2，∴抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标为（1，0），∵抛物线y=x2-2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，∴平移后得抛物线的顶点坐标为（0，-2）．18.【答案】上升【解析】抛物线y＝−x2+5的开口向下，对称轴为y轴，对称轴左侧y随x增大而增大，∴y轴左侧的部分上升．19.【答案】（1）证明：y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x=-=，∴m=2，∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△=52-4（6+k）=0，∴k=，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【解析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到=-=，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k 个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52-4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．20.【答案】解：y=-2x2+1和y=-2x2的图象，如图：，y=-2x2的图象向上平移1个单位得y=-2x2+1的函数图象；y=-2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；y=-2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）．【解析】根据描点法，可得函数图象，根据函数的a、b相同，可得函数的图象相同，根据对称轴公式，可得对称轴，根据顶点坐标公式，可得函数图象的顶点坐标．21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A 的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．22.【答案】解：（1）∵方程mx2+2（m-1）x+m-1=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，则有4（m-1）2-4m（m-1）≥0且m≠0∴m≤1且m≠0又∵m为非负整数，∴m=1．（2）抛物线C1：y=x2平移后，得到抛物线C2：y=（x-a）2+b，∵抛物线C2过点A（2，b），b=（2-a）2+b，可得a=2，同理：2b+1=（4-a）2+b，可得b=3，∴C2：y=（x-2）2+3（或y=x2-4x+7）．（3）将抛物线C2：y=（x-2）2+3绕点（n+1，n）旋转180°后得到的抛物线C3顶点为（2n，2n-3），把x=2n代入直线y=x+1得，y＝×2n+1＝n+1，由题意得2n-3＞n+1，即n＞4．【解析】（1）直接利用根的判别式求出m的取值范围，进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出平移后解析式，进而将A，B点代入求出即可；（3）将抛物线C2：y=（x-2）2+3绕点（n+1，n）旋转180°后得到的抛物线C3顶点为（2n，2n-3），进而将横坐标代入直线解析式求出n的取值范围即可．。
2.5二次函数与一元二次方程课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级下册第二章第5节二次函数与一元二次方程同步练习一、选择题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．-1.6 B．3.2 C．4.4 D．以上都不对答案：C解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两根满足（x1+x2）/2=3而x1=1.6，所以x2=4.4．因此选C．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5 答案：D解析：解答：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜-1或x＞5．因此选：D．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集3、二次函数y= -x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A．1 B．-1 C．-2 D．0答案：B解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=1，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（3，0），所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）所以选B．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．4、如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x= -1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0）B．（-2，0）C．x= -3 D．x= -2答案：A解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x= -1，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（1，0），所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）所以选A．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x= -1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出另一个交点坐标为（-3，0）．5、抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=2 D．直线x= -2答案：A解析：解答：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=（-2+4）/2，即x=1；所以选A．分析：根据对称轴的定义知x=(x1+x2)/26、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2答案：C解析：解答：用作图法比较简单，首先作出（x-a）（x-b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x-a）（x-b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很较易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．所以选C．分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a ＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．7、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限答案：D解析：解答：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，∴△=4-4a＜0，解得：a＞1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线的顶点只能在第一象限或第二象限。
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学科：数学
专题：一元二次方程的公共根
金题精讲
题一：
题面：若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2
+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值
满分冲刺
题一：
题面：已知两个二次方程x 2+ax +b =0与x 2+cx +d =0有一个公共根为1，求证：二次方程 x 2+
2
a c +x +2
b d +＝0也有一个根为1．
题二：
题面：已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-(a +b )x +ab =0与x 2
-abx +(a +b )=0有没有公共根，请说明理由．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：a = -2
详解：设两个方程的公共根为δ，则有
20a δδ++= ①
210a δδ++= ②
①-②得(1)10a a δ-+-=，即(1)(1)0a δ--=
因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以δ=1
把δ=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0， a = -2．
满分冲刺
题一：
答案：二次方程x 2+ 2
a c +x +2
b d +＝0也有一个根为1． 详解：∵x =1是方程x 2+ax +b =0和x 2+cx +d =0的公共根，
∴a +b +1=0，c +d +1=0，
∴a +c +b +d +2=0，
∴b +d = -a -c -2 ①
把①代入方程x 2+2a c +x +2b d +=0，得：x 2+2a c +x -1-2
a c +=0， (x 2-1)+2a c +(x -1)=0，(x -1)( x +1+2
a c +)=0， ∴x 1=1，x 2= -1-2a c +．故二次方程x 2+2a c +x +2
b d +=0也有一个根为1．
题二：
答案：关于x 的两个方程没有公共根．
详解：不妨设关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有公共根，设为x 0，则
有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0
)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2， b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0= -1 把x 0= -1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的 所以，关于x 的两个方程没有公共根．
① ②。