第4章弯曲内力

剪力和弯矩—实例 实例1 §4.3 剪力和弯矩 实例
3l 4
ห้องสมุดไป่ตู้
RA
A C l
q
ql 2
P
mR
B
ql RA = + P 2 2 3ql mR = Pl + 8
剪力和弯矩—实例 实例2 §4.3 剪力和弯矩 实例
补充实例： 求图中梁 C、B 截面上的剪力和弯矩 、
解：1).求支座反力 1).求支座反力
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
从弯矩图可以看出， 从弯矩图可以看出，最大弯矩发生在集中力作 用处的截面上。 用处的截面上。 其值为： 其值为：
M max Pab = l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
补充实例： 绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
∑ M B = 0, RA ⋅ l − M = 0, ∑ Fy = 0, RA + RB = 0, M RA = ↑ l
( ) ( )
M RB = − RA = − ↓ l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
2）列出各段的剪力方程和弯矩方程
AC 段：
M Fs ( x ) = RA = < x ≤ a ) (0 l M M ( x ) = RA ⋅ x = x ≤ x < a ) (0 l
§4.3 剪力和弯矩
剪力和弯矩的正负号 使梁产生顺时针转 使梁产生顺时针转 顺时针 动的剪力规定为正 ，反之为负 。
Fs
Fs
Fs Fs
使梁的下部产生拉伸而 上部产生压缩的弯矩规 定为正， 定为正，反之为负 。
剪力和弯矩—实例 实例1 §4.3 剪力和弯矩 实例
补充实例: 计算悬臂梁的支反力
q A
2）列出各段的剪力方程和弯矩方程
AC 段：
Pb Fs ( x ) = RA = < x < a ) (0 l Pb M ( x ) = RA ⋅ x = x ≤ x ≤ a ) (0 l
CB 段：
Pa Fs ( x ) = RA − P = − < x < l ) (a l Pa M ( x ) = RA ⋅ x − P ( x − a ) = ( l − x ) ≤ x ≤ l ) (a l
图 a
∑ F y = 0,
Fsc = RA − q × 1 = 1 KN
1 ∑ M C = 0, M C = RA × 2 − M − q × 1 × = −3 KN 2
剪力和弯矩—实例 实例2 §4.3 剪力和弯矩 实例
3).B 截面的剪力和弯矩， 3). 截面的剪力和弯矩，分别取 B左 截面和 B右 截面脱离体如图 b、c 所示。 、 所示。
FsB左 s 左
图b
FS B左 = RA − q × 3 = −3 KN B左 : 3 M B左 = RA × 3 − M − q × 3 × = −5 KN ⋅ m 2
剪力和弯矩—实例 实例2 §4.3 剪力和弯矩 实例
FsB右 右
图c
FS B右 = P + q × 1 = 4 KN B右 : 1 M B右 = − P × 2 − q × 1 × = −5 KN ⋅ m 2
l 2
P B
C
l 2
l
剪力和弯矩—实例 实例1 §4.3 剪力和弯矩 实例
3l 4
RA
A C l 解: 求梁的支反力 RA 和 mR 由平衡方程得： 由平衡方程得：
q
ql 2
P
mR
B
ql ∑ Fy = 0, RA − 2 − P = 0 ql 3l ∑ M A = 0, mR − × − Pl = 0 2 4
由平衡方程 ∑ Fy = 0 得： RA − P − Fs = 0 1
Fs
Fs
Fs = RA − P1
上的剪力， 这一与横截面相切的内力Fs称为横截面I―I上的剪力，它是与横 截面相切的分布内力系的合力。 截面相切的分布内力系的合力。
§4.3 剪力和弯矩
根据平衡条件， 根据平衡条件，若把左段 上的所有外力和内力对截面 I―I的形心 取矩，其力矩总 的形心O取矩 的形心 取矩， 和应为零， 和应为零，即：
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图 4.2：
解：1）求支座反力
Pa ∑ M A = 0, Pa − RB ⋅ l = 0, RB = l Pb ∑ Fy = 0, RA + RB − P = 0, RA = l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
载荷集度、 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fs ( x ) − Fs ( x ) + dFs ( x ) + q ( x ) dx = 0
dx − M ( x ) + M ( x ) + dM ( x ) − Fs ( x ) dx − q ( x ) dxi = 0 2
对称弯曲
梁的每一个横 截面至少有一根对 截面至少有一根对 称轴， 称轴，这些对称轴 构成纵向对称面 纵向对称面。 构成纵向对称面。 所有外力都作用在 其对称面内时，梁 其对称面内时， A 弯曲变形后的轴线 将是位于这个对称 面内的一条曲线 一条曲线， 面内的一条曲线， 这种弯曲形式称为 对称弯曲。 对称弯曲。
对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。 对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、
轴线为直线的梁， 轴线为直线的梁，坐标 选择如图所示。 选择如图所示。分布载荷的 集度q( ) 的连续函数， 集度 (x)是x的连续函数， 的连续函数 规定向上为正。 规定向上为正。从梁中取出 长为dx的微段并放大 的微段并放大( 长为 的微段并放大(图b), 图示的内力取值为正， 图示的内力取值为正，且设 微段内无集中力和集中力偶。 微段内无集中力和集中力偶。 由微段的平衡方程： 由微段的平衡方程：
纵向对 称面 对称轴
P1
P2
B
RA
弯曲后的轴线
RB
§4.2 受弯杆件的简化
一、支座的几种基本形式
依据支座对梁在载荷平面内的约束情况不同， 依据支座对梁在载荷平面内的约束情况不同，可简 化为三种基本形式(注意图形表示方法！ 化为三种基本形式(注意图形表示方法！)：
固定铰支座 (有转动无移动 有转动无移动)
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
3）绘剪力图和弯矩图
由求得的剪力方程和弯矩方程可绘出Fs图和 图 由求得的剪力方程和弯矩方程可绘出 图和M图： 图和
Fs
Pa Pa
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
Fs
Pa Pa
从剪力图可以看出C截面上： 从剪力图可以看出 截面上： 截面上
第四章 弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、 §4.6 平面曲杆的弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例
工程实例
起 重 机 大 梁 火 车 轮 轴
4.1
§4.1 弯曲的概念和实例
M = M ( x)
Fs = Fs ( x )
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力方程 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来， 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图 弯矩图。 剪力图和 分别称为剪力图和弯矩图。
FsC 左 Pb Pa , FsC 右 = − =+ l l
Pb Pa = P。 截面发生了突变，其大小为： 剪力图在 C 截面发生了突变，其大小为： + − l l
故得出结论：在集中力作用处， 故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生 突变，突变值的大小等于该集中力的大小。 突变，突变值的大小等于该集中力的大小。
Fs
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
图可看出， 截面上： 从M 图可看出，在C截面上： 截面上
Fs
Ma Mb MC左 = , M C右 = − l l 弯矩图在 C 截面发生一突 其大小为： 变，其大小为：
Ma Mb +− =M l l
由此可得出结论：在集中的力偶作用处，弯矩 由此可得出结论：在集中的力偶作用处， 图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。 图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。
∑m
O
=0
得：
Fs Fs
M + P1 ( x − a) − R A x = 0
M = R A x − P1 ( x − a)
这一内力偶矩M称为横截 这一内力偶矩 称为横截 上的弯矩。 面I―I上的弯矩。它是与 上的弯矩 横截面垂直的分布内力系 的合力偶矩。 的合力偶矩。
如以右段为研究对象， 如以右段为研究对象，剪 力和弯矩的数值相等， 力和弯矩的数值相等，方 向相反！
∑ Fy = 0 和 ∑ M O = 0
Fs ( x ) − Fs ( x ) + dFs ( x ) + q ( x ) dx = 0
Fs(x)
Fs(x)+dFs(x)
dx − M ( x ) + M ( x ) + dM ( x ) − Fs ( x ) dx − q ( x ) dxi = 0 2
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
§4.2 受弯杆件的简化