利用向量法巧解竞赛题
利用向量巧妙解题
利用向量巧妙解题向量是既有大小，又有方向的量，向量不同于数量。
向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，从数学发展史看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。
直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
数形结合是一种重要的数学方法，而向量本身就具备了“数”与“形”两方面的特征，所以向量就成了数与形结合的载体。
以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现“数”与“形”的结合，这样通过向量就能较容易解决几何中的某些问题。
通过学习向量，也在方法和理论上为学习解析几何打下基础。
下面，通过例题，进一步认识向量在解题中的重要作用，展现利用向量解题的优越性。
一、向量在解析几何中的运用向量知识在代数、三角、几何等各个数学分支都有着十分广泛的应用，将向量作为联系代数与几何的桥梁，是高中数学新教材的重要特色之一，现举例利用平面向量知识巧妙而简便地处理几道解析几何题。
1. 两个非零向量、共线的充要条件是有且只有一个实数，使得=,当、同向时，;当、反向时，例1、已知椭圆，直线:.P是上一点，射线OP交椭圆于点R。
又点在OP上且满足.当点P在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
分析：将，，看作向量，则它们共线而且同向。
可利用向量共线的充要条件解题。
解：设，,、同向,，代入椭圆方程得①代入直线方程得②由①、②得（，不全为0），点轨迹为椭圆（去掉原点）点评：利用平面向量知识，避免了繁杂的运算，并且得出了点轨迹方程恰为这一奇妙的结论。
事实上，这一结论还可推广到其它椭圆或双曲线。
2、向量、的数量积.若，，则。
例1椭圆的左、石焦点为,,为其上一点，当为钝角时，求点的横坐标范围。
分析为钝角,就是、的夹角为钝角，也就是,即解设,则,,,依题意有,点评：本题利用向量知识求解，显得简捷。
高考数学如何利用向量解决几何问题
高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。
在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。
本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。
一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。
向量可以表示位移、速度、力等概念。
向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。
在几何中，常用向量表示线段。
例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。
二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。
3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。
三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。
利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。
2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。
利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。
3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。
对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。
对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。
中学数学难题向量巧解
利用向量巧解中学数学题摘 要： 向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题. .关键字： 向量；向量法应用；数学题；解题方法向量；向量法应用；数学题；解题方法向量；向量法应用；数学题；解题方法Abstract : This paper looks back some basic properties of vector at first,and then summarizing and inducing vector’vector’s s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), problems), and and illustrating illustrating them them with examples,it examples,it will will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.Keywords : Vector : Vector；；Vector’Vector’s s application application；；Mathematical problem problem ；；Soluting method目 录1.1.前前 言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题在数学中，向量是一种重要的数学工具，能够用来描述和解决许多与几何相关的问题。
利用向量解决几何问题是一种简洁、直观且有效的方法。
本文将介绍如何利用向量解决几何问题，并提供一些例子来说明。
一、向量及其运算在开始讨论如何利用向量解决几何问题之前，先对向量及其运算进行简要介绍。
向量由大小和方向两个要素构成，通常用箭头表示。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的减法：将第二个向量取负，再进行向量的加法。
数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
点乘：将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，得到一个实数。
二、向量解决几何问题的基本方法1. 向量共线与相关问题向量a、b共线的充要条件是它们与一个非零向量c的关系式ka+lb=c成立，其中k、l为实数。
利用这一性质，可以判断两个向量是否共线，并求解系数k、l。
例题1：已知向量a=(2,3)和向量b=(4,6)，判断两个向量是否共线，并求解k、l的值。
解答：由向量共线的性质可知，两个向量共线时，它们满足ka+lb=c。
代入已知向量，得到2k+4l=2×2+4×3=16。
解这个方程组，可以得到k=2，l=3。
因此，向量a和b共线，并且k=2，l=3。
2. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，用数值表示，记作|a|。
单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模得到。
例题2：已知向量a=(3,4)，求向量a的模和单位向量。
解答：向量a的模可以通过求解平方和再开平方的方式得到，即|a|=√(3^2+4^2)=5。
单位向量可以通过将向量a除以模得到，即a/|a|=(3/5,4/5)。
3. 向量的投影和垂直向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过向量的点乘计算得到。
两个向量垂直时，它们的点乘为零。
例题3：已知向量a=(3,4)和向量b=(4,3)，求向量a在向量b上的投影和判断两个向量是否垂直。
求解高考几何题的向量方法
求解高考几何题的向量方法高考几何题中，向量方法是一种常用的解题思路，它能够简化问题，提供一种直观的方式来分析和解决几何问题。
在以下的文章中，我们将探讨向量方法在高考几何题中的应用。
首先，在理解和运用向量方法之前，我们需要了解几何中的基本概念和性质。
向量是一个有大小和方向的量，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在平面几何中，向量通常用一个有序数对表示，例如，向量OA可以表示为(a,b)，其中a和b是实数。
在解决几何问题时，向量方法的核心思想是将几何问题转化为向量问题。
具体来说，我们可以用向量表示平面上的点，用向量表示平面上的直线和平面，利用向量运算的性质来分析几何问题。
首先，考虑求解两条直线的关系问题。
给定两条直线L1和L2，我们可以通过求解两条直线的方程组来确定它们的交点或者平行关系。
然而，这种方法可能比较复杂。
相比之下，通过向量方法，我们可以更加简洁地分析两条直线的关系。
假设两条直线L1和L2的方向向量分别为a和b，如果这两个向量相等或者平行（即a=k*b，其中k是一个实数），那么L1和L2就是平行的。
如果这两个向量垂直（即a·b=0），那么L1和L2就是垂直的。
除了直线的关系，向量方法还可以帮助解决平面上的点的位置关系问题。
例如，给定三个点A、B和C，我们可以通过向量运算来判断它们的位置关系。
具体来说，我们可以将向量AB和向量AC表示为向量OA和向量OC的线性组合，即向量AB=x*向量OA+y*向量OC，其中x和y是实数。
如果x和y都大于等于0，并且x+y<=1，那么点D就在线段AB上。
如果x和y都大于等于0，并且x+y=1，那么点D就在线段AB上的延长线上。
除了点的位置关系，向量方法还可以帮助我们解决平面上的角的关系问题。
例如，给定两条直线L1和L2，我们可以通过向量运算来获得它们的夹角。
具体来说，我们可以将直线L1的方向向量和直线L2的方向向量分别表示为向量a和向量b，那么这两条直线的夹角θ可以通过向量的点积公式计算得到，即cosθ=(a·b)/(，a，*，b，)。
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文
巧用向量解数学题优秀获奖科研论文向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.向量是新课标下中学数学中重要的基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，因此巧用向量解中学数学题是一种简便的解题方法与思路.通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，以便解题可以简便化、准确化.纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量.下面浅谈巧用向量解数学题.一、巧用向量解高考立体几何题由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，但只要巧用向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量，解题便简便很多了.二、巧用向量解圆锥曲线题圆锥曲线是高考重点考查的内容.考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质.但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时可以巧用向量的知识来简便解答.例2证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.点评：本题巧用向量解题，发挥代数运算的长处，方法简便，更易于学生掌握.三、巧用向量解平面解析几何题由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以巧用向量方法解决.点评：在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是巧用向量解题的简便方法.通过巧用向量方法解以上几道题，展示了向量解题的简便性，可以激发了学生学习向量的兴趣.向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.巧用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具.。
巧用向量解竞赛题
巧用向量解竞赛题
王贵明
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(009)004
【摘要】@@ 高中数学教科书(试验修订本)新增加了平面向量内容,向量具有几何与代数的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介.【总页数】3页(P119-121)
【作者】王贵明
【作者单位】安庆市第二中学安徽安庆 246011
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.巧用整数解妙解竞赛题 [J], 宋联初;
2.用向量解几何竞赛题的方法和技巧 [J], 周华生
3.巧用整数解妙解竞赛题 [J], 宋联初
4.巧用向量数量积公式解一类数学竞赛题 [J], 袁伟忠
5.利用平面向量解几何竞赛题 [J], 夏建新
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
妙用基底巧解平面向量题
口
一
一
・
积 等于该 直角三 角形 面积 的一半． 下面再来看一般三角形 的情形． 如 图 ４所 示 ， 在 三 角 形 ＡＢ Ｃ的 内 部 作 一 个 矩 形 ＤＥ Ｆ Ｇ， 其中 Ｅ Ｆ在边 Ｂ Ｃ上 ， 点 Ｄ、 Ｇ分别 在边 Ａ Ｂ、 ＡＣ
上， 设Ｂ Ｃ ＝ａ 、 ＡＣ＝６ 、 ＡＢ＝ｃ 、 Ｅ Ｆ ＝ｘ ， 矩形 Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ 的 面
结论 ： 当三 角形 内接矩形的 一边长等 于它所 对的该 三 角形的边 长 的一半 时， 内接 矩 形 的 面 积 最 大 ， 最大 面 积等 于该三 角形 面积的一半．
积为 Ｙ， 当２ ２ 取何值 时 ， Ｙ的值最大 ？最大值是多少？
解： 过点 Ａ作 Ａ Ｍ＿ ｌ ＿ Ｂ Ｃ ， 垂 足为 Ｍ ， 交 Ｄ Ｇ于点 Ｎ，
＋
解： 。 ． 。 ＝ ＋ 一蕊 ＋ 商 一 ＋， ／ ｇ （ 赢
） 一（ 卜 ）．
・ ． ．
＋
，
解： 由Ａ Ａ － － Ｐ —
一
和 ．
．（
一 ． 商 可得（
．
）．
： ＝ ： 一
一Ａ
） ．
，
－ Ａ － Ｂ—ｒ （ 卜 ） ＋
的 向量都可 以作为平面向量 的一组基 底 ， 平 面内 的任一 向量都可 以由这组基底 唯一表示． 在解 决与平 面 向量有 关 问题 时 ， 抓住 基底 ， 恰 当选 择基底 可使很 多 问题迎 刃
而解．
【 例２ １ 如图， ￣ＡＡ Ｂ Ｃ中， Ａ Ｄ Ａ ＿ Ａ Ｂ， 百 一 商 ，
● ●
］ ．
一（ 卜
不妨设 Ｉ ｌ 一１ ， 则有 。 一２ ｘ ＋１ ＝ｏ