2014-2015年上海市位育中学高一(下)期中数学试卷带答案(新疆部)

2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷（新疆部）一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3.00分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=．2．（3.00分）半径为2，圆心角等于的扇形的面积是．3．（3.00分）若cotx=2，则=．4．（3.00分）已知tana=，则sin2a=．5．（3.00分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为．6．（3.00分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．7．（3.00分）函数的值域为．8．（3.00分）某种细菌平均每过4小时发生一次裂变（有一个分裂成两个），经过2天后，这种细菌每一个可裂变为个．9．（3.00分）等比数列{a n}中，若a3，a11是方程2x2﹣23x+56=0的两个根，则a7=．10．（3.00分）1+x1+x2+…+x n（x≠0）=．11．（3.00分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若，那么=．12．（3.00分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3.00分）已知等差数列{a n}，{b n}的公差分别是p，q（pq≠0），则数列{a n+b n}（）A．是公差为p的等差数列B．是公差为q的等差数列C．是公差为p+q的等差数列D．不是等差数列14．（3.00分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（3.00分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件16．（3.00分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ三、解答题：（共52分）17．（8.00分）已知，，且α、β均为锐角，求cosβ．18．（10.00分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1）数列{}是否为等差数列？说明理由；（2）求数列{a n}的通项公式．19．（12.00分）购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费，养路费及汽油费合计为1万元，汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，（1）求这种汽车使用n年的年平均费用y与n的函数关系式；（2）问使用多少年报废最合算（即使用多少年年平均费用最少）？20．（12.00分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x 1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．21．（10.00分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．2014-2015学年上海市位育中学高一（下）期中数学试卷（新疆部）参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3.00分）设P（3，y）是角α终边上的一个点，若，则y=±4．【解答】解：∵P（3，y）是角α终边上的一个点，若=，则y=±4，故答案为：±4．2．（3.00分）半径为2，圆心角等于的扇形的面积是．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=2×=，根据扇形的面积公式可得S=lr=×2=．故答案为：．3．（3.00分）若cotx=2，则=．【解答】解：∵cotx=2，∴tanx=，∴===，故答案为：．4．（3.00分）已知tana=，则sin2a=．【解答】解：∵tana=，∴sin2α===．故答案为：．5．（3.00分）函数f（x）=sinxsin（﹣x）的最小正周期为π．【解答】解：∵f（x）=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴T==π．故答案为：π6．（3.00分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．7．（3.00分）函数的值域为[] ．【解答】解：由，得ycosx+3y=4﹣cosx，即（y+1）cosx=4﹣3y，∴cosx=，由|cosx|≤1，得，即（4﹣3y）2≤（y+1）2，整理得：8y2﹣26y+15≤0．解得：．∴函数的值域为[]．故答案为：[]．8．（3.00分）某种细菌平均每过4小时发生一次裂变（有一个分裂成两个），经过2天后，这种细菌每一个可裂变为212个．【解答】解：2×24÷4=12，经过2天后，这种细菌每一个可裂变为212个，故答案为：212．9．（3.00分）等比数列{a n}中，若a3，a11是方程2x2﹣23x+56=0的两个根，则a7=．【解答】解：由a3，a11是方程2x2﹣23x+56=0的两个根，得a3+a11=，a3•a11=，则a3＞0，∵数列{a n}是等比数列，∴，∴，或，由上面a3＞0，又由等比数列的性质知，比数列中所有奇数项都是同号，可知．故答案为：．10．（3.00分）1+x1+x2+…+x n（x≠0）=．【解答】解：令S n=1+x1+x2+…+x n（x≠0），当x=1时，S n=n+1．当x≠1，0时，S n=．∴S n=．故答案为：．11．（3.00分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若，那么=．【解答】解：∵{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，，∴======．故答案为：．12．（3.00分）定义函数f（x）=，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是1个．【解答】解：∵sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ∵sinx＜cosx，∴﹣+2kπ＜x＜+2kπ∴f（x）=，∴f（x）的值域为[﹣，1]当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．∵f（x+π）=≠f（x）∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）综上所述，正确的个数是1个，故答案为1个．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3.00分）已知等差数列{a n}，{b n}的公差分别是p，q（pq≠0），则数列{a n+b n}（）A．是公差为p的等差数列B．是公差为q的等差数列C．是公差为p+q的等差数列D．不是等差数列【解答】解：∵等差数列{a n}，{b n}的公差分别是p，q（pq≠0），∴（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）=（a n+1﹣a n）+（b n+1﹣b n）=p+q．∴数列{a n+b n}是公差为p+q的等差数列．故选：C．14．（3.00分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．15．（3.00分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【解答】解：在三角形中，若A＞B，则边a＞b，由正弦定理，得sinA ＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，根据大边对大角，可知A＞B．所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故选：A．16．（3.00分）下列四个命题，其中是假命题的是（）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）=sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ【解答】解：A，当α=β=2kπ（k∈Z）时，sinα=sinβ=0，cosα=cosβ=1，sin（α+β）=0，所以sin（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误；B，当α=β=0时，cos（0+0）=cos0cos0+sin0sin0=1正确，故B正确；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ，正确．故选：A．三、解答题：（共52分）17．（8.00分）已知，，且α、β均为锐角，求cosβ．【解答】解：∵锐角α，β满足，，∴α+β∈（0，π），∴sinα=，sin（α+β）=，则cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=．18．（10.00分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1）数列{}是否为等差数列？说明理由；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）∵a 1=1，a n+1=，∴两边取倒数得==+，即﹣=，则数列{}是公差d=的等差数列，首项为．（2）∵数列{}是公差d=的等差数列，首项为．∴=1+（n﹣1）=，故a n=．19．（12.00分）购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费，养路费及汽油费合计为1万元，汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，（1）求这种汽车使用n年的年平均费用y与n的函数关系式；（2）问使用多少年报废最合算（即使用多少年年平均费用最少）？【解答】解：（1）∵汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，∴设每年的年平均维修为a n（千元），则a n=1+3n，n年的维修费用为S n=，∴y=（150+10n+S n）÷n=n++．（2）年平均费用为y=n++由基本不等式得y≥42.5当且仅当n=10时等号成立．即使用10年报废最合算．20．（12.00分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x 1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．21．（10.00分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距（1）证明函数f（x）=x2不是广义周期函数；（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由广义周期的定义可得f（x+T）﹣f（x）=（x+T）2﹣x2=2Tx+T2=M对x∈R恒成立，比较系数可得，解得T=M=0，这与M，T均为非零常数矛盾，故f（x）=x2不是广义周期函数；（2）函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）是广义周期函数，且．证明如下：∵=（非零常数），由广义周期的定义可得．。