几个关联图的特征多项式和特征值
中国法治建设的几个特征
中国法治建设的几个特征
佚名
【期刊名称】《云岭先锋》
【年(卷),期】2014(000)012
【摘要】◎中国共产党领导下各机关、各部门分工负责的协商型法治首先是党的领导，党带领人民制定宪法，党又在宪法的框架下执政、指导立法、司法、行政。
概括起来，是包括人大立法、政府行政、两高司法这样一个各部门、各机关分工负责的协商型法治。
这是中国法治很重要的特征。
【总页数】1页(P10-10)
【正文语种】中文
【中图分类】D920.0
【相关文献】
1.“区别特征”、“特定特征”及“相应特征”——与“单一性”有关的几个问题[J], 艾文;
2.对当前中国法治建设应认清的几个问题的思考 [J], 苏瑞莹;黄美凤
3.《中国法治建设年度报告(2008年)》中立法工作的几个亮点 [J], 许晓峰
4.中国法治建设的目标、路径及模式特征 [J], 周冉;
5.几个关联图的特征多项式和特征值 [J], 伍亚魁;简芳洪
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特征多项式
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❖特征值与特征向量
设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
❖特征多项式与特征方程
设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的 特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程
提示
Axx(AE)x0
齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0
所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量 对于231 解方程(AE)x0 得基础解系p2(121)T
所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量
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例3
求矩阵
A
2 0
4
1 2 1
031的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
2 1 1 | AE | 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
所以A的特征值为11 232 对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0) 对于232 解方程(A2E)x0 得基础解系
提示
特征方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程
(AE)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量
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❖特征值与特征向量
特征多项式的计算公式
特征多项式的计算公式
设n阶方阵A=(a_ij)，则A的特征多项式为f(λ)=|λ I - A|，其中λ为特征值，I为n 阶单位矩阵。
1. 二阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设二阶方阵A=(ab cd)。
- 首先写出λ I - A，其中I=(10 01)，则λ I - A=(λ - a-b -cλ - d)。
- 然后计算其行列式f(λ)=|λ I - A| = (λ - a)(λ - d)-(-b)( - c)=λ^2-(a + d)λ+(ad - bc)。
2. 三阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设三阶方阵A = (a_11a_12a_13 a_21a_22a_23 a_31a_32a_33)。
- 计算λ I - A=(λ - a_11-a_12-a_13 -a_21λ - a_22-a_23 -a_31-a_32λ - a_33)。
- 其特征多项式f(λ)=|λ I - A|，按三阶行列式展开法则计算：
- f(λ)=λ^3-(a_11+a_22+a_33)λ^2+(a_11a_22+a_11a_33+a_22a_33-a_12a_21-a_13a_31-a_23a_32)λ-| A|。
在高中数学人教版教材中，特征多项式相关内容可能在选修部分有所涉及，主要是为了引入矩阵的特征值和特征向量等概念做铺垫。
掌握特征多项式的计算是理解矩阵特征相关知识的基础。
特征值与特征向量的求解方式
特征值与特征向量的求解方式在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
它们的求解在机器学习、图像处理、物理学等诸多领域中具有重要的应用。
本文将介绍特征值与特征向量的概念和求解方式。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么 k 称为矩阵A的特征值，x称为特征值k对应的特征向量。
特别的，当 k=0 时，x称为矩阵A的零向量。
特征值与特征向量有以下重要性质：1. 一个n阶方阵最多有n个不同的特征值。
2. 若A为实对称矩阵，则其特征向量对应的特征值均为实数。
3. 若A为正定矩阵，则其特征值均为正数。
4. 若A可逆，则其特征值均非零。
特征向量的长度一般不为1，我们可以将其归一化得到单位向量，使得 Ax=kx 中的特征向量x满足 ||x||=1。
二、1.利用特征多项式对 n 阶矩阵 A，设λ 为其特征值，用 |A-λI| =0 表示，其中 I 为n 阶单位矩阵。
化简方程，即得到 A 的特征值λ 的解析式。
求得λ 后，代入 (A-λI)x=0，可以得到对应的特征向量 x。
举个例子，对于矩阵 A=[1 2;2 1]，我们有| A-λI |= | 1-λ 2; 2 1-λ| = (1-λ)^2 -4 = 0解得λ1=3, λ2=-1。
将λ1,λ2 代入 (A-λI)x=0 中分别求解，即可得到 A 的两个特征向量。
该方法简单易懂，但对于高阶矩阵，求解特征多项式需要高代数计算，计算复杂度较高。
2.利用幂法幂法是求最大特征值与对应特征向量的较为有效的方法。
该方法基于一下简单事实：给定一个向量 x，令 A 去作用若干次，Ax,A^2x,A^3x,...,A^nx，它们的向量长度将快速增长或快速衰减，且它们的比值趋于最大特征对应的幂指数。
假设 A 有一个不为零的特征向量 x，它对应的特征值为λ1，即Ax=λ1x。
那么，A^mx = A^mx/λ1^m λ1x当 m 充分大时， A^mx 与λ1^mx 相比变化就很小了。
特征多项式
所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量
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例3
求矩阵
A402
1 2 1
031 的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
2 1 1 | AE | 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
所以A的特征值为11 232 对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0) 对于232 解方程(A2E)x0 得基础解系
p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T
所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2k30)
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例2
求矩阵
A411
1 3 0
200 的特征值和特征向量
解 A的特征多项式为
1 1 0 | AE | 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
所以A的特征值为12 231 对于12 解方程(A2E)x0 得基础解系p1(0 0 1)T
所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量 对于231 解方程(AE)x0 得基础解系p2(121)T
提示
特征方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值 齐次方程
(AE)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量
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❖特征值与特征向量
设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx
成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量
图的特征值与谱
有
向
图
定义：同谱图 定义：谱半径（G的最大特征值）
有
向
图
关于特征多项式的相关结论。。。
定理3：设简单图G的特征多项式为
fG c1
n n1
c2
n2
L cn
则 (1) c1=0; (2) -c2=m； (3) -c3为G中三角形的个数的两倍；
有
向
图
定义：图G的谱 Spec G
2 L 1 Spec G= m 1 m 2 L s m s
有
向
图
图的特征值与谱 定义：邻接矩阵 定义：邻接矩阵的特征值与特征多项式
有
向
图
关于特征值的相关结论。。。
2m n 1 n
有
向
图
定理2：G为n阶连通图 （ 1）
G
（2） △为G的特征值当且仅当G为正则图； 若△为G的特征值，则m（ △ ）=1 （3） 若- △为G的特征值，则G为正则偶图； （4） 若G为偶图且λ为G的特征值，则- λ也 为G的特征值且重数一样。
1 2 L s
m 1 m 2 L m s n
有
向
图
特殊图形的谱
1 0 1 Spec C3 = 1 1 1 2 0 2 Spec C4 = 1 1 1
Spec Cn =?
有
向
图
n 1 1 Spec Kn = 1 n 1
特征值多项式
特征值多项式
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
特征值多项式可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和特点。
我们需要了解什么是特征值和特征向量。
特征值是矩阵的一个数值，而特征向量是与该特征值对应的向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解矩阵的特征方程得到。
特征值多项式是一个关于特征值的多项式，它的形式为：f(λ) = |A - λI|，其中A是一个n阶矩阵，λ是一个待定的数值，I是n 阶单位矩阵。
特征值多项式的根就是矩阵A的特征值。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值多项式可以用来求解波函数的能量本征值；在工程学中，特征值多项式可以用来研究结构的稳定性和振动特性。
特征值多项式的求解可以通过行列式的方法来进行。
我们可以将特征值多项式展开为一个关于λ的多项式，并求解其根。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的所有特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在线性代数中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用来研究矩阵的性质和特点。
通过对特征值多项式的研究，我们可以更好地理解和应用线性代数的知
识。
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用，它帮助我们理解和应用线性代数的知识。
空间解析几何的特征值与特征向量特征值特征向量的计算
空间解析几何的特征值与特征向量特征值特征向量的计算在空间解析几何中，特征值与特征向量是一对重要的概念，它们在矩阵运算和线性代数中有着广泛的应用。
特征值代表着矩阵运算中的某种性质，而特征向量则与特征值相对应，它是这种性质的方向。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得满足AX=λX，其中λ为实数，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解是一个线性代数中的经典问题，它与矩阵的特征多项式和行列式密切相关。
特征值和特征向量的求解有多种方法，下面介绍主要的两种方法。
二、特征值的计算1. 特征值的计算方法一：特征多项式首先，我们需要构建一个关于λ的方程，这个方程称为特征多项式。
对于n阶方阵A，其特征多项式为det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
解这个方程，我们可以得到特征值。
2. 特征值的计算方法二：特征值方程另外一种计算特征值的方法是通过特征值方程。
对于n阶方阵A，设X为特征向量，则有AX=λX。
我们可以将该方程转化为(A-λI)X=0，进而求解出特征值λ。
这种方法更加直观，可以通过矩阵的行列变换来求解。
三、特征向量的计算在求解特征值的过程中，我们已经得到了特征值λ。
现在我们来计算对应于特征值λ的特征向量。
1. 矩阵的秩与特征向量如果特征值λ对应的n阶方阵A满足rank(A-λI)=n-1，即A-λI的秩是n-1，则特征值λ对应的特征向量个数为1。
此时可以通过高斯消元法来求解特征向量。
2. 矩阵的重数与特征向量假设特征值λ对应的n阶方阵A满足rank(A-λI)<n-1，即A-λI的秩小于n-1，则特征值λ对应的特征向量个数大于1。
此时，可以通过线性相关性的概念来求解特征向量。
四、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：1. 特征值的和等于矩阵的迹对于n阶方阵A，其特征值λ1、λ2、...、λn的和等于A的迹，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。
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｝基金项 目 ：九江学 院科研项 目 【 编号 ２ ０ １ ２ Ｋ Ｊ ０ ８ ）成果 。 收稿 日期 ：２ ０ １ ４—１ １ — ２
通 讯 作 者 ：简 芳 洪 ，ｊ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｏ ｂ ａ ｌ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ。
第１ 期
伍亚魁 ， 等： 几个关 联图的特征多项式和特征值
・ ５ １・
通 过 恰 当 晶 顶 点 排 序 ， 可 知 Ａ ＝ ［ ｛ 主 ≥ 主 ］ ， ＝ ［ 三 主 ［ ｛ ： ； ： 三 ］ ， Ａ ＝ ［ ｛ ： ： 三 ］ ．
Ｄ Ｇ， 邻 接矩 阵为 Ａ（ Ｄ Ｇ ） ， 记为 Ａ 。 ．
定义 ２ 给定 图 Ｇ和图 Ｇ的 ｍ个复制（ 顶点集为 ） ， 连接图 Ｇ的顶点 与 ｕ （ ＝ｌ ， ２ ， …， ｎ ； ｊ ｝ ＝１ ， ２ ， …， Ｉ Ｔ ｔ ） 生成的关联图为图 Ｄ ： Ｇ ， 邻接矩阵为 Ａ （ Ｄ ： Ｇ ） ， 记为 Ａ ２ ．
了关联 图为整 图的充分条件 ．
关 键 词 ：邻接 矩 阵 ，特 征 多项 式 ，特征 值 ，块 对称 矩 阵 ，整 图 中 图分类 号 ：０ １ ５ ７ ． ５ 文 献标 识码 ：Ａ 文 章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ５ ４ ５（ ２ ０ １ ５ ） ０ １ — ０ ０ ５ ０ 一（ ｏ ４ ）
；１
Ｉ — ｌ ， ２ ， … ， 凡 ） ．
（ ２ ） （ ） ｎ（ 一 一 Ａ ｉ ） （ 一 一 Ａ ｉ ） （ 一 Ａ ） 一 ， Ａ （ Ｄ ： Ｇ ）＝｛ （ Ａ ） 一 ， Ａ ＋ ， Ａ 一 ｌ ｉ
＝１ ， ２ ， …， ， ｌ ｝ ．
（ ３ ） Ｐ Ｄ ３ ｃ （ ）＝ （ ＋１ ） ’ ｎ（ （ 一ｍ ） （ ＋１ ）一 （ 一ｍ ＋１ ） ｘ ） ， Ａ （ Ｄ ， ｃ ）＝
考 虑 简单 图 ， 无环 无重 边． 图 Ｇ为 个 顶 点 的图 ， 其 邻 接矩 阵为 Ａ（ Ｇ ） ． Ａ （ Ｇ ）的特 征多项 式 为 Ｐ 。 （ ）＝
ｄ ｅ ｔ （ ｘ Ｉ — Ａ （ Ｇ ） ）＝∑口 ‘ 称为图Ｇ的特征多项式， 其中， 是ｎ 阶 单位矩阵…． 方程Ｐ Ｇ （ ）＝ ０ 的根Ａ ，
２ ０ １ ５年 第 １期
Ｎｏ ．１， ２ ０１ ５
九江学院学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｍＭ ｏ ｆ ｊ ｉ ￣ｉ ａ ｎ ｇ Ｕ ｍｖ ｅ ｍ ｉ ￣ （ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
（ 总第 １ ０ ８期 ）
并讨论 了关联 图为整 图的充分条 件．
１关联 图 的概 念
图 Ｇ为 ｎ 个顶点的图， 顶点集为 Ｖ＝
，
， ， …， ｝ ， 其邻接矩阵Ａ （ Ｇ ） 记为 Ａ ． 设有另一顶点集 Ｕ＝ ．
其中 ， Ｕ ｋ＝ ｛ “ 鸵， …， Ｍ ｈ｝ ， 且 ｍ≥１ ． 定义 １ 给 定 图 Ｇ和顶点集 ， 连 接其 顶点 与 （ ｉ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） （ ｋ＝１ ， ２ ， …， ｍ） ， 生 成 的关 联 图为 图
Ｕ
Ａ ： ， …， Ａ 称为图 的特征值 ， 记为 Ａ （ Ｇ ） ．
由于Ａ （ Ｇ ） 是对称矩阵， Ａ （ Ｇ ） 的 特征值都是实数． 显然Ｐ 。 （ ）＝ｎ （ — Ａ ） ． 若图Ｇ 的特征值都是整
ｉ ：ｌ
数， 则 称 图 Ｇ为整 图 】 ． 未说 明 的符 号 和术语 参 见文 献 ［ １ ］ 、 文献［ ２ ］和文 献 ［ ３ ］ ． 块 对 称循 环 矩阵是 结 构 的共振 分 析 中一 个 非 常有 用 工 具． 周 期 旋 转 结构 的 自然 频率 和对 应 标 准模 式
的计算可以简化为求解一对块对称矩阵的特征值问题． 更多应用参见文献 ［ ２ ］ 、 文献 ［ ３ ］和文献 ［ ４ ］ ． 本文
定 义 了 四种关 联 图 Ｄ。 Ｇ， Ｄ Ｇ， Ｄ ， Ｇ ， Ｄ Ｇ， 其邻 接 矩 阵是 块对 称矩 阵 ， 研 究 了关 联 图 的特 征 多 项式 和 特 征值 ，
（ Ｓ ｕ ｍ Ｎ ｏ ． １ ０ ８ ）
几 个 关 联 图 的特 征 多项 式 和 特 征 值
伍 亚魁
（ 九江学院理 学院
简 芳 洪
江西九江 ３ ３ ２ ０ ０ ５ ）
摘要 ： 基于图 Ｇ ， 定 义 了四种 关联 图 Ｄ Ｇ， Ｄ ２ Ｇ， Ｄ Ｃ， Ｄ Ｇ ， 其 邻接 矩 阵 是 块对 称 矩 阵． 通 过 图 Ｇ的特征 多项 式 Ｐ 。 （ ）和特 征值 Ａ（ Ｃ） ， 研 究 了关联 图的特征 多项式 和特 征值 ， 并 讨论
定理１ 图ｃ 有凡 个顶 点， 其特 征值为Ａ （ ｃ ） ＝｛ Ａ ， Ａ ： ， …， Ａ ｝ ， 特 征多 项式为Ｐ Ｇ （ ） ＝ｎ （ 一 Ａ ） ．
ｔ＝１
图Ｄ Ｇ， Ｄ２ Ｇ ， Ｄ ３ Ｇ， Ｄ ４ Ｇ是第 ２节 定义 的关 联 图 ， 则：
（ １ ） Ｐ ｏ ｌ Ｇ （ ） ＝ 州 ｍ － １ （ ２ 一 Ａ 一 ， ｔ ） ， Ａ （ 。 Ｇ ） ＝ ｛ （ 。 ） ｎ （ ｍ － Ｏ ， ！
定义 ３ 给定 图 Ｇ和顶 点集 ， 连接 口 ， ｕ ＂Ｍ 一， （ ｉ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ）为 完 全 图 ， 生 成 的关 联 图为 图
Ｄ 。 Ｇ， 其 邻接 矩 阵为 Ａ（ Ｄ ， Ｇ ） ， 记为 Ａ ， ．
定义 ４ 给定图 Ｇ和图 Ｇ的 ｍ个复制（ 顶点集为 ） ， 连接 ｉ ， ｕ ＂…， （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 为完全图， 生