八年级(上)数学新课程同步导学

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人教版八年级上册数学全册导学教案

11．1.1三角形的边一、教学目标1．理解三角形的表示法、分类法以及三边之间的关系，发展学生的空间观念．2．经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形．二、教学重难点重点：掌握三角形三边的关系．难点：三角形三边关系的应用．教学过程一、情境引入【引入】在本章引言中，我们提到许多三角形的实际例子．你能找出它们的共同特征吗？怎样表示所找到的三角形呢？学生活动：小组交流、讨论．教师总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．教材图11.1－1在教材图11.1－1中，线段AB，BC，CA是三角形的边．点A，B，C是三角形的顶点．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示．如教材图11.1－1，顶点A所对的边BC用a 表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．二、互动新授【问题】现实生活中，同学们看到了哪些不同的三角形？它们是如何分类的呢？学生活动：学生独自思考后，小组交流、讨论．教师总结：我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．【思考】如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流．学生活动：画出自己所看到的三角形，并测量三边的长度．教师用多媒体演示三角形的类型．我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形(教材图11.1－2(1))；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(教材图11.1－2(2))．教材图11.1－2(3)中的三角形是三边都不相等的三角形．教师总结：以“是否有边相等”，可以将三角形分两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．综上，三角形按边的相等关系分类如下：三角形教师多媒体演示：【探究】任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线段的长有什么关系？能证明你的结论吗？学生活动：小组交流、讨论．教师总结：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得AB＋AC＞BC①.同理有AC＋BC＞AB②，AB＋BC＞AC③.一般地，我们有三角形两边的和大于第三边．由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB.这就是说，三角形两边的差小于第三边．【例】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？【解】 (1)设底边长为xcm，则腰长为2x cm.x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18.解得x＝7.如果4cm长的边为腰，设底边长为x cm，则2×4＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰是4cm的等腰三角形．由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课主要学习三角形的概念及三边的大小关系．教学中，教师引导学生在数三角形个数时，要按照一定的次序去数，从而做到不重复，不遗漏．通过探究与应用，使学生明确三角形的三边关系不仅给出了三边之间的大小关系，更重要的它是判断三条线段能否构成三角形的依据．判断三条线段的长度能否构成三角形，不需要都检验，只要检验较小两边的长度和大于最长边的长，那么它们就能组成三角形．本节课教学中发现的问题有：解决有关等腰三角形边的问题时，学生往往忘记分情况予以讨论．教师要反复提醒学生要看某边是腰还是底，并且在求出三边后，还应验证是否满足两腰之和大于底边．导学方案一、学法点津判断三条线段能否组成三角形，关键看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边．学生学习时应掌握其简便方法：将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形的分类：(1)按照三个内角的大小，分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；(2)按照边的关系，分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形．3．三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．（二）规律方法总结1．数三角形个数时，要按照一定的次序去数，做到不重复、不遗漏．如可以按三角形的大小顺序去数．2．判断三条线段能否组成三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边，但需一一验证．其简便方法是将较短的两边之和与较长的边进行比较，若较短的两边之和大于较长的边，则三条线段可以组成三角形，反之则不能组成三角形．课时作业设计一、选择题1．如右图所示，其中三角形的个数是( )．A．5 B．6 C．7D．8 2．等腰三角形两边分别是9cm和15cm，则此等腰三角形的周长为( )．A．24cm B．33cmC．39cm D．33cm或39cm3.下列各组给出的三条线段中，不一定能组成三角形的是( )．A．3，4，5 B．3a，4a，5aC．3＋a，4＋a，5＋a D．三条线段之比为3∶4∶5二、填空题4．现有2cm、4cm、6cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为________个．5．等腰三角形的两边长分别是4和9，则第三边长为________．6．一个三角形两边长为2，9，第三边为偶数，则三角形的周长为________．三、解答题7．一个等腰三角形的周长是22cm，其中一条边长为4cm，那么另外两边长各为多少？8．如右图，点P为△ABC内任意一点，BP延长线交AC于D，试说明：AB＋AC＞PB＋PC.【参考答案】1．A2．D3．C4．15．96．19或217．解：当4cm为腰时，底边长为22－4－4＝14(cm)，但4＋4＜14，所以不能构成三角形；当4cm为底边长时，腰长为×(22－4)＝9(cm)，所以，另两边长为9cm、9cm.8．解：在△ABD中，AB＋AD＞BP＋PD①.在△PDC中，PD＋DC＞PC②.由①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC＞BP＋PD＋PC.所以AB＋AC＞BP＋PC.11．1.2 三角形的高、中线与角平分线11．1.3 三角形的稳定性一、教学目标1．了解三角形的高、中线与角平分线、高的概念以及三角形稳定性的知识．2．经历探索与三角形有关的线段的过程，感受三角形稳定性的内涵，发展学生的空间观念．二、教学重难点重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，学会画“三线”．难点：画钝角三角形的高．教学过程一、情境引入与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．如教材图11.1－3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高．用同样的方法，能画出△ABC的另外两条边上的高吗？【操作1】你能画出任意一个三角形的高吗？试一试．学生活动：动手画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，再分别画出它们的高．教师多媒体演示：锐角三角形直角三角形钝角三角形【引导1】观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的三条高能否交于同一点？这个交点的位置有何不同？从图中可以看出：三角形的三条高线一定会相交于一点，但锐角三角形的三条高线的交点在锐角三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线的交点在钝角三角形的外部．我们再来看两种与三角形有关的线段．二、互动新授【操作2】画一个锐角三角形，取它们各边的中点，连接每一个顶点与它对边的中点，观察这三条线段是否交于同一点？学生活动：动手画图、观察、讨论、寻求结论．教师总结：如教材图11.1－4(1)：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．如教材图11.1－4(2)，三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．说明：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心．如教材图11.1－5，画∠A的平分线AD，交∠A所对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC 的角平分线．画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？【操作3】在一张薄纸上任意画一个三角形，通过折纸的方法试一试，你能设法画出一个三角形的内角平分线吗？学生活动：画任意三角形，对折一个内角，折痕就是所要求作的一个内角的平分线．教师提问：一个三角形角平分线有几条？这几条角平分线是否能交在同一个点上？请你动手画一画．学生活动：折叠三个内角，可以很容易发现，三角形的三条角平分线相交于一点．(如右图所示)【引导2】工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(教材图11.1－6(1))，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(教材图11.1－6(2))．为什么要这样做呢？【探究】如教材图11.1－7(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如教材图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如教材图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？教师拿出教具，动手操作，学生观察．教师总结：从以上的探究和操作中可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形．因此屋顶钢架通常采用三角形结构，木工师傅为防止窗框变形，常常先在窗框上斜钉一根木条．三角形稳定性和四边形不稳定性都有广泛的应用．请同学们观察教材P7的例子．三、课堂小结四、板书设计11．1与三角形有关的线段11．1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3三角形的稳定性1．三角形的高2．三角形的中线3．三角形的角平分线4．三角形的稳定性五、教学反思本节课主要通过实践操作活动来学习三角形的“三线”．在学生画三角形的高线时，要让学生明确：三角形的高有三条，三条高是交于同一点，三角形的高不一定在三角形的内部．钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，而直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点．三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点都在三角形的内部，这是学生易混淆的地方，教师在教学中，应加以说明．另外，学生还可能认为三角形的稳定性都是有益的，而四边形的不稳定性都是不利的，在这一点上，教师都要举例加以说明，让学生正确看待三角形的稳定性和四边形的不稳定性．导学方案一、学法点津学生通过动手画图、折纸、观察等活动，掌握三角形“三线”的概念及画法，明确三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都会分别相交于一点，所不同的是三角形三条高线的交点不一定在三角形的内部，而三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点一定在三角形内部．学生还可以通过实际生活的例子，了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，所得线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．3．三角形的角平分线：平分三角形的一个内角且与它的对边相交的线段就是三角形的一条角平分线．（二）规律方法总结1．三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高的交点在三角形的内部，钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，直角三角形三条高的交点就是直角的顶点．2．三角形的三条中线相交于一点，这个交点在三角形的内部．三角形的一条中线可以将一个三角形分成两个等底同高的三角形，故这两个三角形的面积相等．3．三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点在三角形内部．三角形的角平分线与角的平分线不同，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．课时作业设计一、选择题1．如右图所示，在建筑工地上我们常可看见用木条EF 固定矩形门框ABCD 的情形．这种做法根据( )．A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．三角形稳定性D ．矩形的四个角都是直角2．下列各图中，正确画出AC 边上高的是( )．A B C D3．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )．A ．BA ＝2BFB ．∠ACE ＝12∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE 二、填空题4．如图，当________＝________时，AD 是△ABC 的中线，当∠________＝∠________时，AD 是△ABC 的角平分线．5．如图，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，CD 是中线，CE 平分∠ACB ，则DB ＝________cm ，∠ACE ＝________度．6．如图，AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 的面积的大小关系是________．第3题图第4题图第5题图第6题图三、解答题7．如右图，△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的高BD ＝10，求AB 边上的高CE 的长．8．如右图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝13AD ，S △ACE ＝4cm 2，求S △ABC .【参考答案】1．C 2．C 3．C4．BD CD BAD CAD 5．2.5 45 6．相等7．解：S △ABC ＝12AB ·CE ＝12AC ·BD.因为AB ＝AC ，所以CE ＝BD ＝10. 8．解：因为在△ACE 与△ACD 中，AE 边上的高与AD 边上的高相等，又因为AE ＝13AD ， S △ACE ＝4cm 2，所以S △ACD ＝3S △ACE ＝12cm 2，又因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12cm 2，所以S △ABC＝S △ABD ＋S △ACD ＝12＋12＝24(cm 2)．11．2.1三角形的内角一、教学目标结合具体实例，进一步认识三角形的概念，掌握三个角之间的关系．二、教学重难点重点：理解并会应用三角形内角和的定理．难点：三角形内角和定理的证明．教学过程一、情境引入我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.你能用剪拼的方法，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，来验证三角形的内角和等于180°吗？试一试．学生活动：动手操作后，进行小组交流、测量、讨论．教师总结：多媒体演示操作过程，展示不同的拼合方法．方法一：方法二：图(1) 图(2)教师指出：通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°.但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°.二、互动新授【探究】学生活动：尝试添加辅助线，证明三角形的内角和等于180°.师生合作探究：在上图(1)中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上．想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？教师总结：由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC(教材图11.2－2)，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．已知△ABC(教材图11.2－2)．求证∠A＋∠B＋∠C＝180°.【证明】如教材图11.2－2，过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)．同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定义)．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．教师指出：以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.由上图(2)，你能想出这个定理的其他证法吗？试一试．学生活动：小组交流、讨论．教师总结：由右图可知：过点C 作CE∥AB，也可以证明“三角形三个内角和等于180°”．证明：过点C 作CE ∥AB .∵CE ∥AB ，∴∠A ＝∠1，∠B ＝∠2.∵∠ACB ＋∠1＋∠2＝180°(平角定义)，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°(等量代换)．【例1】如教材图11.2－3，在△ABC 中，∠BAC ＝40°，∠B ＝75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．【解】由∠BAC＝40°，AD 是△ABC 的角平分线，得∠BAD ＝12∠BAC ＝20°，在△ABD 中，∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－75°－20°＝85°.【例2】教材图11.2－4是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 呢？【分析】 A ，B ，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC ，就能求出∠ACB.【解】 ∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD ∥BE ，得∠BAD ＋∠ABE ＝180°.所以∠ABE ＝180°－∠BAD ＝180°－80°＝100°，∠ABC ＝∠ABE －∠EBC ＝100°－40°＝60°.在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－60°－30°＝90°.答：从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是60°，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是90°. 你能说出直角三角形中两个锐角的和等于多少度吗？为什么？学生活动：学生独自猜想、计算后，小组交流、讨论．教师总结：如教材图11.2－5，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，由三角形内角和定理，得∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，即∠A ＋∠B ＋90°＝180°，所以∠A ＋∠B ＝90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC .【例3】如教材图11.2－6，∠C ＝∠D＝90°，AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？【解】在Rt△ACE 中，∠CAE ＝90°－∠AEC .在Rt△BDE 中，∠DBE ＝90°－∠BED .∵∠AEC ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠DBE .【思考】我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．学生活动：小组合作、交流、讨论．教师总结：由三角形的内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、课堂小结四、板书设计11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2．直角三角形的两个锐角互余．3．有两个角互余的三角形是直角三角形．五、教学反思本节课教学中，在创设实际情境时，从剪纸拼角中，引导学生观察、交流、讨论，寻求辅助线的不同添法来证明三角形的内角和定理，存在着一定的困难，教师要加以引导，注意定理的证明是运用转化思想，通过作辅助线完成的．三角形内角和等于180°是三角形本身固有的性质，它作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到．教师要引导学生在利用三角形的内角和定理时，设法弄清已知和未知的关系，做到多讲多练，以提高学生的应用能力．导学方案一、学法点津学生在探索三角形内角和定理时，采用了转化思想，得到三角形的内角和是180°.用三角形的内角和定理可以解决：(1)在三角形中已知任意两个角求第三个角；(2)已知三角形三个内角的关系，可以求出各个内角的度数等．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.2．直角三角形的两个锐角互余．3．有两个角互余的三角形是直角三角形．（二）规律方法总结1．在探索三角形内角和定理时，采用转化的数学思想．2．考查对三角形内角和定理的理解和应用，体现了运用方程解决问题的数学思想．3．三角形的内角和定理描绘了三角形三个内角的关系，若知道三个内角的关系，根据三角形内角和定理可求得各个内角．课时作业设计一、选择题1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )．A．30° B．40°C．50° D．60°2．如右图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )．A．50° B．55°C．60° D．65°二、填空题3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为________．第3题图第4题图三、解答题5．如右图，A处在B处北偏西45°方向，C处在B处北偏东15°方向，C处在A处南偏东80°方向，求∠C的度数．6．一块大型模板如右图所示，ABCD设计要求是：BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，请你设计一种具有一定操作性的方案，来说明模板ABCD满足什么条件时，符合设计要求，并简要说明理由．【参考答案】1．D 2．C 3．360°4．110°5．解：由题意，得∠ABC＝45°＋15°＝60°，因为AM∥BN，所以∠MAB＝∠ABN＝45°，又因为∠CAM＝80°，所以∠BAC＝∠CAM－∠BAM＝80°－45°＝35°，在△ABC中，因为∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－35°－60°＝85°.6．解：设BA与CD的延长线相交于点M，根据三角形的内角和定理，只要满足∠B＋∠C ＝150°，就可以判定BA，CD相交成30°的角；同理只要满足∠C＋∠D＝160°，就可以判定DA，CB相交成20°的角．11．2.2三角形的外角一、教学目标1．理解三角形外角的概念，会进行简单的说理．2．经历探索三角形外角的有关知识的过程，感受三角形一个外角和它不相邻的两个内角间的关系．二、教学重难点重点：探究三角形外角与它不相邻的内角的关系．难点：运用三角形外角的性质进行计算和说理．教学过程一、情境引入前一节课，我们已经学习了三角形的内角，知道三角形三个内角的和等于180°.如教材图11.2－8，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．【思考】如教材图11.2－8，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°.∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？学生活动：小组交流、讨论．教师总结：因为∠A＝70°，∠B＝60°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，所以∠ACB＝180°－70°－60°＝50°，则∠ACD＝180°－∠ACB＝130°(平角定义)，所以，∠ACD＝∠A＋∠B.一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．二、互动新授【例4】如教材图11.2－9，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？学生活动：小组交流、讨论．【解】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.所以，∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.例4还有其他解法吗？请试一试．学生独自思考后，小组为单位进行交流、讨论，并派一个代表解答．教师总结：给出另一种解法：因为∠1＋∠BAE＝180°，∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，所以，∠1＋∠BAE＋∠2＋∠CBF＋∠3＋∠ACD＝180°＋180°＋180°.即(∠1＋∠2＋∠3)＋(∠BAE＋∠CBF＋∠ACD)＝720°.又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.【拓展】如右图，已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B＝∠C，试说明：AD∥BC.学生活动：小组交流、讨论．师生合作探究：要得到AD∥BC，只需推出与这两条线段有关的同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补即可．教师总结：(多媒体给出解答过程)【解】 ∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∠B ＝∠C，∴∠C ＝12∠EAC. ∵AD 平分∠EAC，∴∠DAC ＝12∠EAC ，∴∠DAC ＝∠C， ∴AD ∥BC(内错角相等，两直线平行)．提示：本题还可以通过证明“同位角相等”或“同旁内角互补”来解决．三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角有什么关系？学生活动：小组交流、讨论．教师总结：由“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”可以推出：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课主要是在学习了三角形内角和定理的基础上，推导出三角形外角与内角的关系．学生在理解三角形外角的概念时，往往误认为顶点在三角形的顶点上，且在三角形外部的角或者由延长线组成的角就是三角形的外角．而没有理解三角形外角的特点：(1)顶点在三角形的一个顶点上；(2)一条边是三角形的一边；(3)另一条边是相邻边的延长线．对三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，有的学生容易错误地理解成三角形的一个外角等于两个内角和，三角形一个外角大于和它相邻的内角等．这些易错点，教师在教学中，应反复强调说明，最好能多举一些例子，加以巩固．另外，教学中教师要多培养学生思维的发散性，做到一题多解，培养学生的创新能力．导学方案一、学法点津学生利用三角形内角和定理可推导出其推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．三角形外角的性质：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．。

新人教版八年级数学上册全册导学案(104页)

新人教版八年级数学上册全册导学案11.1 与三角形有关的线段一．学习目标1.了解三角形的性质；学会按边划分三角形。

2.应用已掌握的三角形知识解决生活中的实际问题。

3.培养学生热爱数学，热爱生活的情感。

二．学习重难点三角形的性质和分类及应用三．学习过程第一课时三角形的边（一）构建新知1.阅读教材2～4页（1）三角形由_____条线段_____相连组成的几何图形。

（2）长度分别是1.2,3,4,5,6的6根木条能组成_____个不同的三角形。

（3）一根6米长的铁丝围成的三角形，若每边均为整数值，可以围城的三角形有_____________________；若是9米的铁丝呢？（二）合作学习1.已知△ABC的周长为21cm，边AB=xcm，边BC比AB的2倍长3cm。

（1）用含x的代数式表示AC的长。

（2）求x的取值范围。

（3）x求何值时是等腰三角形。

（三）课堂检查1．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 ____（只需填一个整数）。

2．设a，b，c为三角形的三边长度，则|a＋b－c|＋|a－b－c|=________。

3．若等腰三角形的两条边长分别为23cm和10cm，那么第三边的长为 ____cm。

4．用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的三角形有（）。

A．三边不等的三角形 B．只两边相等的三角形C．三边相等的三角形 D．不等边三角形和等腰三角形5．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）。

A．5 B．6 C．7 D．106．已知△ABC的两边长（3－x），第三边长为2x，若△ABC的边长均为整数，试判断此三角形的形状。

BCA（四）学习评价（五）课后练习 1．学习指要 1～2页2．教材8～9页 1题,2题,6题,7题第二课时三角形的高、中线与角平分线（一）构建新知 1.阅读教材4～5页（1）如图，在△ABC 中，作BC 边上的高AD 和中线AE ；并作∠A 的角平分线AF 。

八年级上册华东师大版数学新课程课堂同步练习册答案

《新课程课堂同步练习册·数学(华东版八年级上)》参考答案第12章数的开方§12.1平方根与立方根（一）一、 1.B 2.A 3.B二、1. ±7 2. ±2, 3.-1； 4.0三、1.从左至右依次为: ±3,±4,±5, ±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12,±13,±14,±15.2.（1）±25 （2）±0.01 （3）45± （4）29± (5)±100 (6) ±23.（1）±0.2 （2）±3 （3）79±（4） 17±4．（1）a ＞-2 (2)a =-2 (3)a ＜-2. §12.1平方根与立方根（二）一、1.D 2.A 3.C二、1. 14±,142.（1）25.53 （2）4.11 4. 0或1.三、1.（1）80 （2）1.5 （3）114 （4）3；2.(1)-9 (2) 12± (3)4 (4)-53.（1）2.83 （2）28.09（3）-5.34 （4）±0.47.4. 正方形铁皮原边长为5cm . §12.1平方根与立方根（三）一、1.D 2.A 3.C二、，-3 2. 6，-343 3.-4 4. 0，1，-1.三、1.（1）0.4 （2）-8 （3）56（ 4）112- (5)-2 (6)100；2.（1）19.09（2）2.652（3）-2.098（4）-0.9016；3. 63.0cm 2；4．计算得：0.5151，5.151，51.51，515.1，得出规律：当被开方数的小数点向左（右）每移动2位，它的平方根的小数点就向左（右）移动1位.5151.§12.2实数（一）一、1.B 2.C二、1. 略 2. ≥12-.三、1.（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）×（7）√（8）×；2.有理数集合中的数是：13，3.1415，2-5，0，⋅⋅43.6，0.8π,0.1010010001…； 3.A 点对应的数是-3，B 点对应的数是-1.5，C D E 点对应的数是π. §12.2实数（二）一、 1.C 2.B 3.B二、1. （11（2）2三、1.（1）（2）--（3）12.（1）7.01 （2）-1.41 （3）2.743.略4. 7第13章整式的乘除§13.1幂的运算 (一)一、1.C 2.B 3.D 二、1.1010 2. 6 ，8 3. 9三、1.(1)10a (2)9a (3)6a (4)10()x y + (5)82x （6）51n b+2.可进行1410次运算 3. 2 §13.1幂的运算(二) 一、1.D 2.B 3.C二、1.10m ，18x 2.14x 3.62y ；4. 2三、1.（1）9a （2）21x （3）215a （4）123a （5）0 （6） 23n a + 2．b ＞a ＞c§13.1幂的运算(三) 一、1. C 2.D 3.A二、1. 4109x y ,96318a b c 2. 44m ,54a b 3. 216三、1.(1) 3327x y (2)464x y (3) 85a (4)927a2. (1) 1- (2) 3 3．x =5 4.52 §13.1幂的运算(四) 一、1.C 2.A 3.B二、1.8a ,2a 2. y ，5y 3.22x y ，5x -三、1.(1)3a (2)3m (3) 5x - (4) 4x (5)1 (6) 4y 2. 12x y == §13.2 整式的乘法(一) 一、1.B 2.D 二、1.232x y 2.-5412x y z 3.5312x y - 三、1.(1)1254a b (2)-23x y (3)-4044a b (4)-18628a b c (5)10()x y - (6)3.6⨯1710 2.2.37⨯710 3. 11,,23a b c ==-=-§13.2整式的乘法(二)一、1.B 2.C二、1.263m n mn -，4362x x -+ 2.1832a b -2723a b ，33a b +3. 3223122a b a b ab -+，32232212812x y x y x y -- 三、1.(1)2155x xy - (2)3222612a b a b -+ (3) 3223423x y x y xy -+(4) 42241827m n m n - (5)222322a b a b - (6)222x y xy + 2. 12x =-3.提示：n (2n +1)-2n (n -1)=2n ²+n -2n ²+2n =3n . §13.2整式的乘法(三) 一、1.B 2.D 3.C二、1.22124m mn n -- 2.22276x xy y -+ 3.-6三、 1.(1)221x x +- (2)249x - (3)2456x x -- (4)22672m mn n -+-(5)48x + (6)2278x y + 2. -3§13.2整式的乘法(四) 一、1.D 2.B 3.C二、1.-2 2. 2 3.2(123)x cm - ,233cm 三、1. 化简得252x x --，多项式的值为14- 2.(1)x =5 (2)6x <3.(1)①2710x x ++②2710x x -+③2310x x --④2310x x +- (2)2()x a b x ab +++ (3)①21128x x ++ ②26m m +-§13.3 乘法公式(一) 一、1.C 2.B二、1.22925a b -,229x y -； 2.2249b a -，224x y -； 3. 22()()a b a b a b +-=- 三、1.(1)229a b - (2)22161y x -(3) x 2-9y 2 (4) x 2-4 (5) 2mn (6) 5x -9 2.(1) 44a -, 8 (2)25x -, -26 §13.3乘法公式(二)一、1.A 2.D 3.C 二、1. 5 2. 1 ，89993.3x y + 三、1.（1）2125y - （2）29y （3）2121a a +- （4）81x - （5）9999 （6）8359992．1282§13.3乘法公式(三) 一、1.A 2.D 3.A二、1.2244m mn n -+,2244x xy y -+ 2.224493a ab b ++，2214a ab b -+ 3.222()2a b a ab b -=-+三、1.(1)2961m m ++ (2)21424x x -+(3)229124x xy y ++(4) 224129x xy y --- (5)9604 (6) 121042.(1) 23x -，6 (2) 22a b -，21 3．1528 §13.3乘法公式(四) 一、1.B 2.C二、1.924x -，2441a a ++；2.6±；3. 6x ±或4814x 三、1.(1)42242x x y y -+ (2)31x -+ (3)2319a a -+ (4)8xy 2(1)2 (2)3 §13.4整式的除法(一) 一、1.D 2.B 3.B二、1.42x ,5xy - 2. 34mn ，25()x y - 3. 4 ，3 三、1.(1) 2x (2)4m - (3) 224x y (4) 54ab 2.225a b -，-1 ；3. 45.410⨯倍 §13.4整式的除法(二) 一、1.C 2.C 3.C二、1.32a b - 2.24x -+ 3. 4m -2n 三、1.(1)2322x xy -(2)222m n mn - (3)2351m m -+ (4)23212ab b -+- 2.(1)2ab -，1 (2) xy -，5 3．2,4x y ==- ，-24 §13.4整式的除法(三)一、1.B 2.C二、1.27510⋅⨯ 2.221510x y xy - 3.(464)a b ab ++cm 三、1.(1) 23()x y + (2) -b (3)5463x y - (4)22x - 2.14x ≤- 3． 429156x x x -+ §13.4整式的除法(四) 一、1.C 2.B 3.A二、1.2233ab b -+- 2.-5 3.18，4 三、1.（1）422a b a b +（2）2322x x --+ （3）123y x - （4） 261a b -2．(1) 任一单项式与它前面的单项式的商都为2x - (2)10512x - §13.5因式分解(一)一、1.D 2.B二、1. ab 2.a (a -2) ,3xy (4x -1) 3.-12三、1.（1）a （a +2b ) （2）3ab(b-2a-3) (3)(x -2) (6-x ) （4）3x (a +b )(a +b -2y )（5）2x 2(x -5)（6）x (x +4) 2. (1)220 (2) 2.732 §13.5因式分解(二)一、1.A 2.A 3.D二、1.-(x -2y )2，3 (a -4)2 ；2.②③④⑤； 3.(x -3) 三、1.（1）（x +2y ）(x -2y ) （2）(9+m)(9-m) (3)(m -5)2 (4)(3a+4b)2（5）3(x +4)(x -4) （6）(x +y )2(x -y )2 （7）(x -2)2 （8）(2a -3b )2 2. (1)2000 (2) 59853．∵4x 2-4x +2= 4x 2-4x +1+1=(2x-1)2+1＞0, ∴ 4x 2-4x +2的值恒为正数.第14章勾股定理§14.1 勾股定理（一）一、1.B 2.D 二、1．（1）13 （2）12 （3）24 （4）63 2. 2 3. 1三、1.30cm 2 2.28米 3.AB=§14.1 勾股定理（二）一、1.B 2.D 3.D 二、1. a ²+c ²=b ² 2.13603.5 三、1. 略 2. 169 cm 2 3.36 §14.1 勾股定理（三）一、1.C 2.B 3.C 二、1. 6.93 2. 3.2 3. 5三、1. 1米 2. 2.2米 3.（略） §14.1 勾股定理（四）一、1.B 2.C 3.B二、1.22`1 2. 10三、1. 提示：利用勾股定理的逆定理检验2.（1）面积为12.5，周长为1851320+++ (2)∠BCD 不是直角 3．∵a 2+b 2=(n 2-1)2+(2n)2 =n 4-2n 2+1+4n 2 =n 4+2n 2+1=(n 2+1)2 ∴ a 2+b 2=c 2 ∴ △ABC 是直角三角形 §14.2 勾股定理的应用（一）一、1.A 2.D二、三、1. BF=12，AD=13，ED=2.6 2.略； 3. 10. §14.2 勾股定理的应用（二）一、1. 12≤a ≤13 2.8153. 150 二、1. 34海里 2. 因为小汽车的速度为72千米/时 ,所以小汽车超速 3．996.9m 2第15章平移与旋转§15.1平移（一）一、1.D 2.C 3.B二、1.B B '的方向线段B B '的距离（答案不唯一） 2.形状大小位置 3.2cm 三、1.略 2.图略 §15.1平移（二）一、1.D 2.D 3.C二、1.A , Q 2. 72° 3. 7，7三、1．CF=4cm CD=3cm DF=3 cm EF=2 cm 2.图略3．（1）图略（2）重叠部分的面积与原长方形ABCD 面积的41§15.1平移（三）一、1.D 2.C二、1. 13㎝ 2.B B ' ，C C '，D D '；B A ''，D C '' ，CD ，不能 3.相等,相等三、1.图略；2.（1）相等，理由如下：由题意可知，AB ∥CD ，AD ∥BC ，所以∠DAC=∠BCA ，∠BAC=∠ACD ，所以∠B=∠D 3.4个，9个 §15.2旋转（一）一、1.D 2.C二、1.中心，方向，角度 2.180°3.点C,∠ACD(答案不唯一)的度数，D 、E ，EC ，∠DCE三、1.（1）点A ， 60° （2）AC 边上的中点（3）等边三角形2.能，点A ， 120°3.（1）垂直（2）13㎝2§15.2旋转（二）一、1.C 2.D 3.B二、1.中心,角度,距离 2.点B ，点C ，BC 边的中点3. 4,△ABO 与△CDO 、△ADO 与△CBO 、△ABC 与△CDA 、△ABD 与△CDB4.60三、1.略 2.略§15.2旋转（三）一、1.C 2.D 3.B 二、1.略 2.120 3.2π三、1.（1）点D （2）正方形 , 64 （3）30C DC '∠=，CDA '∠=60° 2.略§15.2旋转（四）一、1.B 2.C二、1.轴对称，平移，旋转 2.B , D ,旋转3.线段的中点 , 180°,对角线的交点, 90°,180°,270°,圆心 ,任何度数4. 4.5 三、1.图略 2.CG=CE ，理由如下：由题意可知，DE=BF=BG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD=AB ，∵CG=BC-BG ，CE=CD-DE ，∴CG=CE §15.3中心对称（一）一、1.B 2.D二、1. A ，B 2.略 3. HINOXZ, BCHIMOUX , HIOX三、1.图略 2.能，对称中心是点C ，对应线段有：DC 与CE ，AD 与EF ，AB 与GF ，BC 与GC ；对应角有：∠D 与∠E ，∠A 与∠F ，∠B 与∠G ，∠DCB 与∠GCB 3.图略 4.图略 §15.3中心对称（二）一、1.A 2.B二、1.OA=OD ，OB=OC 2.2㎝ , 1.5㎝ 3.关于点O 成中心对称三、1.图略； 2.图略； 3.图略，成中心对称； 4. 图略 §15.4图形的全等一、1.C 2.B二、1.12； 2.55； 3.120 , 4 ； 4.①②③④三、1.（1）△ADE ≌△ABC ，对应边有：AB 与AD , BC 与DE , AC 与AE ，对应角有：∠BAC 与∠DAE ，∠B与∠D ，∠C 与∠E （2）∠C=30° ∠B=110° ∠BAE=100°2.（1）AC=BD AO=OB OC=OD （2）∠D=32° （3）AC ∥BD ，∵AO=OB ，CO=OD ， ∴ △AOC 与△BOD 是关于点O 成中心对称的, ∵AC ∥BD.3.CD=3㎝第16章平行四边形§16.1平行四边形的性质（一）一、1.D 2.B 3.B二、1.110，70，110 2.120，60 3.115°三、1. ∠A=50°，∠B=130°，∠C=50°，∠D=130°；2. ∠ADE=30°，∠EDF=60°，∠FDC=30°.3. AE⊥BE,∵∠DAB+∠ABC=180°，∴12∠DAB+12∠ABC=90°，即∠EAB+∠ABE=90,∴∠AEB=90°,即AE⊥BE§16.1平行四边形的性质（二）一、1.D 2.C二、1.2cm 2.16 3.5，7三、1. 21cm 2. 8cm；3.8cm§16.1平行四边形的性质（三）一、1.B 2.D二、1.10 2.40° 3.7.三、1. 24cm； 2. 略； 3.略§16.1平行四边形的性质（四）一、1.B 2.B二、1.55 2.3 3.100°，80°三、1.16 2. 略§16.2矩形、菱形与正方形的性质（一）一、1.C 2.A 3.B二、1.7 2.28 3.90，45三、1. 2cm； 2. 5cm 3.45°§16.2矩形、菱形与正方形的性质（二）一、1.A 2.B二、1.32 cm 2.60°，120°， 60°，120° 3.30 4.5三、1. 8cm；2. 面积24cm2，周长20cm3.60°，120°,60°，120°.§16.2矩形、菱形与正方形的性质（三）一、1.C 2.B二、1.22.5° 2.67.5三、1.15°；2. 提示：因为四边形EFOG为矩形，所以EF=OG，只要说明EG=GB即可. §16.2矩形、菱形与正方形的性质（四）一、1.D 2.B二、1.4cm 2.5cm 3.1 4.12三、1.20cm 2.150° 3.（1）提示：∠FBC=∠BCE=45°（2）AE=DF ，理由略. §16.3 梯形的性质(一) 一、1.D 2.C二、1. 60 2.10 3. 26 4.110 三、1. 60°，120°， 60°，120° ；2. 24cm §16.3 梯形的性质(二) 一、1.B 2.B二、1.6 2.9 3. 5＜a ＜13三、1.(1)等边三角形，理由略 (2)25； 2. 108°，72°，108°，72° ； 3.(1)略（2）∠A=108°,∠B=72°,∠C=72°,∠ADC=108°4．∵CE ∥BD ，AE ∥DC ，∴四边形BECD 是平行四边形，∴DB=CE ，又∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD ，∴AC=CE ，即三角形CAE 是等腰三角形5.2(10cm。

八年级数学上册全册导学案(XX新版人教版)

八年级数学上册全册导学案（XX新版人教版）分式方程一、学教目标：1.了解分式方程的概念，和产生增根的原因..掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.四、自主探究：前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？前面我们已经学过了方程。

一元一次方程是方程。

—兀一次方程解法步骤是：①去;②去_________ ;③移项；④合并______ :⑤______ 化为1。

如解方程：探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。

未知数在_____ 的方程是分式方程。

未知数不在分母的方程是________ 方程。

前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？解分式方程的基本思路是将分式方程转化为方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。

如解方程：= ................ ①去分母：方程两边同乘以最简公分母_________________ , 得00=60 ............... ②解得V_________ .观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？①由于是分式方程v工________ ,②而②是整式方程v可取 ______ 实数。

这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。

2021—2022学年人教版数学八年级上册全册导学案

2021—2022学年人教版数学八年级上册全册导学案一、总体信息•课本名称：人教版数学八年级上册•出版社：人民教育出版社•学年：2021-2022二、教材概览数学八年级上册共包括以下八个单元：1.复习与认识2.整式的基本概念和性质3.一元二次方程的解法4.平面直角坐标系5.一次函数的初步研究6.相交线与平行线7.图形的对称性8.统计图及其应用每个单元的内容涵盖整合知识、概念解释、例题讲解、习题练习等方面。

三、导学教学目标及重点1.科学思考：培养学生的科学思维和解决实际问题的能力。

2.知识传授：掌握数学的基本概念、基础方法和技能，积累精选数学例题，掌握数学学科知识，并联合生活与实际中的问题进行深入探究。

3.技能训练：培养学生的做题方法、技巧，掌握常用的运算技能，提高计算的准确性。

4.交际拓展：在交际中形成良好的合作意识和集体协作能力，增强探究问题、解决问题的信心和自信。

四、单元内容介绍1. 复习与认识本单元主要是对七年级的复习和一些知识的介绍。

重点包括：整数、分数、小数及有理数的概念、化简带有多项式的复合分数、坐标系的概念与使用、正负数在图形中的应用、小数转分数、小数的意义等。

2. 整式的基本概念和性质本单元主要介绍整式的基本概念、常见整式的运算法则及其基本性质。

包括多项式的概念、同类项与合并同类项、多项式的加减法、多项式的乘法、因式分解、差的平方公式和完全平方公式等。

3. 一元二次方程的解法本单元主要介绍一元二次方程，包括方程的概念、一元二次方程的一般形式及求解方法，特别是通过因式分解法和配方法解一元二次方程，以及求解实际问题中的一元二次方程。

4. 平面直角坐标系本单元主要介绍平面直角坐标系，包括平面直角坐标系及其要素、点的坐标、直线的斜率、不等式和坐标系等知识，强调掌握直线的斜率与性质、直线方程的求法等。

5. 一次函数的初步研究本单元主要介绍一次函数的初步研究，包括一次函数的概念、函数图象、方程及其特点、斜率及其意义和应用等知识，重点突出函数的斜率和函数图象之间的关系。

人教版八年级数学上册全册导学案

人教版八年级数学上册全册导学案第一单元有理数导学目标- 掌握有理数的概念和表示方法；- 理解有理数的大小比较规则；- 能够进行有理数的加法和减法运算。

导学内容1. 有理数的概念：有理数是一种可以表示为分数形式的数，包括整数和分数。

2. 有理数的表示方法：- 整数可以用正负号和数字表示，如正整数用"+"表示，负整数用"-"表示；- 分数可以用分子和分母表示，分子表示分数的数值，分母表示分数的单位。

3. 有理数的大小比较规则：- 两个有理数大小比较时，可以先化为相同分母的分数，然后比较分子的大小；- 同号的有理数比较大小，绝对值大的数更大；异号的有理数比较大小，正数更大。

4. 有理数的加法和减法运算：- 加法：同号有理数相加，先相加后保持原符号；异号有理数相加，先相减后取绝对值较大的符号；- 减法：减去一个有理数等于加上它的相反数。

导学步骤1. 引入话题：通过举例子和学生互动引入有理数的概念。

2. 讲解表示方法：介绍整数和分数的表示方法，结合练让学生掌握如何表示有理数。

3. 比较大小规则：通过例题引导学生理解有理数的大小比较规则。

4. 运算操练：设计一些加法和减法的练题，让学生运用所学的规则进行计算。

5. 总结归纳：请学生总结有理数的概念、表示方法和运算规则，并进行相互讨论。

导学评价本节导学案主要介绍了有理数的概念、表示方法以及大小比较规则和运算规则。

通过学生的活动参与和练习题的操练，可以评价学生是否掌握了有关内容。

可以在课堂上进行小组讨论和个别辅导，帮助学生消化和理解所学内容。

初中新课程问题解决导学方案数学八8年级上册配人教版

导学方案：初中数学八年级上册一、问题概述1.1 问题背景初中数学是中学阶段数学的重要组成部分，对学生的数学基础和数学思维能力有着重要的影响。

然而，在教学过程中，我们发现了一些问题。

本文旨在解决初中新课程数学八年级上册配人教版的教学问题，提出相应的导学方案。

1.2 问题分析数学八年级上册内容较多，既有很多抽象的概念，也有一些需要运用具体技巧的题目。

与此学生对数学知识的理解水平差异较大，有的学生掌握得较好，有的学生掌握得较差。

1.3 目标我们的目标是帮助学生掌握数学八年级上册的重点知识，提高他们的数学解题能力以及抽象思维能力。

二、问题解决方案2.1 教学内容分解我们需要对数学八年级上册的教学内容进行分解，找出重点知识点以及难点知识点。

对每个知识点进行详细的剖析和解释，帮助学生理解概念，并掌握解题技巧。

2.2 知识点梳理对于每个知识点，我们需要提供清晰的定义、性质以及相关的例题以及解析，帮助学生建立知识体系，深入理解概念。

2.3 案例分析除了基础知识的讲解外，我们还需要结合实际案例进行分析，引导学生运用所学知识解决实际问题，加深他们对知识的理解。

2.4 解题技巧针对数学解题的一些常见技巧，我们也需要进行详细的讲解和示范，帮助学生掌握解题的方法和技巧。

2.5 强化练习我们将设计大量的练习题，供学生在课下进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。

三、实施过程3.1 教学设计在教学过程中，我们将采用多种教学方法，包括讲解、示范、案例分析、小组讨论等，帮助学生在不同的场景中理解和掌握知识点。

3.2 课堂管理在教学过程中，我们将严格控制课堂纪律，保证学生的学习效果。

注重学生的个性发展，鼓励学生提出问题和不同的见解。

3.3 反馈和评价教学过程中，我们将定期进行课堂测验和作业，及时掌握学生的学习情况。

也会及时对学生的表现进行反馈和评价，帮助他们及时发现问题并加以改正。

四、预期效果4.1 学生对知识的掌握通过本导学方案的实施，我们预期学生将能够更好地掌握数学八年级上册的重点知识，理解相关概念，并能够运用所学知识解决实际问题。

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八年级(上)数学期末复习(6)数据的集中程度一、知识点：1、平均数：一般地，对于n 个数x 1，x 2，…，x n 我们把nx x x x n21+++=叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，平均数，它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字，也就是说这组数据都“接近”哪个数。

补充公式：⑴如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次，… …x n 出现f n 次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f n =n ），这n 个数的平均数可表示为：nf x f x f x f x x nn 332211+++=⑵如果一组数据x 1，x 2，x 3，……，x n 的平均数为x '，则一组新数据：x 1+a ，x 2+ a ，x 3+ a ，……，x n + a 的平均数为：a x x +'=举例说明：某班第一小组的同学的身高如下：（单位：㎝）：158，160，160，170，158，170，168，158，160，160，168，170。

计算这组同学的平均身高。

（精确到1㎝）方法⑴ 16332433170216841603158x ≈+++⨯+⨯+⨯+⨯=方法⑵ 将各个数据同时减去160，得到-2，0，0，10，-2，10，8，-2，0，0，8，8再计算这组新数据的平均数，得2.3)88002810210002(121x =++++-++-+++-=' 1632.163160x x ≈=+'=2、加权平均数：在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它数据更重要。

所以，我们在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权 ”。

加权平均数：如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次，……x k 出现f k 次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f k =n ），则nf x f x f x f x x kk 332211+++=其中f 1、f 2、f 3、……f k 叫做权。

（看例1） 3、中位数和众数：一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。

一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。

二、举例：例1：一家公司对A 、B 、C 三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？（2）根据实际需要，广告公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩。

你选谁？例2：⑴设有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是1.8元，2.5元，3.2元，现取甲种食品50公斤，乙种食品40公斤，丙种食品10公斤，把这三种食品混合后每公斤的单价是多少？⑵江同学期中考试数学成绩为78分，期末考试数学成绩为82分，如果计算学期总评分时，只考虑这两次成绩，且期中与期末分数之比是4：6，求江同学的数学学期总评分。

测试成绩测试项目 67 45 88 语言 70 74 50 综合知识67 85 72 创新 C B A⑶某校九年级在一次英语测验中，一班40个学生的平均分数为72.6，二班42个学生的平均分数为80，三班43个学生的平均分数为75.2。

求全年级这次英语测验的平均分。

例3：⑴5个数据的和是400，其中两个数据的和是157，则另外三个数据的平均数为_______；⑵已知4，8，2，a四个数的平均数为5。

而13，4，2，a，b的平均数为6，则b=______；⑶初二年级两个班一次数学考试的成绩如下：二⑴班m人，平均成绩为a，二⑵班n人，平均成绩为b，则这两个班的平均成绩为；⑷一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的平均数为，众数为，中位数为；⑸一个射手连续打靶20次，其中2次射中10环，7次射中9环，8次射中8环，3次射中7环，这个射手每次射中环数的众数是，中位数是；⑹某校10名初中毕业生的中考体育考试成绩如下：25 26 26 26 26 27 28 29 29 30 ，这些成绩的中位数是（）A、25B、26C、26.5D、30⑺小明期未语、数、英三科的平均分为92分，她记得语文是88分，英语是95分，但她把数学成绩忘记了，你知道小明数学多少分吗（）(A) 93分(B) 95分(C) 92.5分(D)94分要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购（）的皮鞋。

A、160元B、140元C、120元D、100元⑼某销售部门有7名员工，所有员工的月工资情况如下表所示（单位：元）。

则比较合理反映该部门员工工资的一般水平的数据是（）A、平均数Ｂ、平均数和众数Ｃ、中位数和众数Ｄ、平均数和中位数⑽我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：A 、18，17B 、17，18C 、18，17.5D 、17.5，18例4：三五三七鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况，对红华中学初二（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下表：（1）写出男生鞋号数据的平均数、中位数、众数；（2）在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是什么？例5：甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：⑴请填写下表： ⑵请从下列三个不同的角度对测试结果进行分析：①从平均数和中位数结合看（谁的成绩好些）； ②从平均数和9环以上的次数看（谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击环数的走势看（分析谁更有潜力）．例6：为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10乙甲次数环数十九八七六五四三二一10987654321（1）请你填写下表：（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： ①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）。

（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由。

例7：为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动活动小组对该班50名学生进行了调查。

有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题： (1) 该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？(2) 这组数据的中位数、众数分别是多少？请你根据(1)、(2)的结果，用一句话谈谈自己的感受。

例8：某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：根据上表解答下列问题：（1）完成下表：（5分）（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？（3分）（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由（2分）例9：我国淡水资源短缺问题十分突出，已成为我国经济和社会可持续发展的重要制约因素，节约用水是各地的一件大事．某校初三学生为了调查居民用水情况，随机抽查了某小区20户家庭的月用水量，结果如下表所示：（1）求这20户家庭月用水量的平均数、众数及中位数；（2）政府为了鼓励节约用水，拟试行水价浮动政策．即设定每个家庭月基本用水量a（吨），家庭月用水量不超过a （吨）的部分按原价收费，超过a（吨）的部分加倍收费．①你认为以平均数作为该小区的家庭月基本用水量a（吨）合理吗？为什么（简述理由）？②你认为该小区的家庭月基本用水量a（吨）为多少时较为合理？为什么（简述理由）？例10：某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况,随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查,结果如下:(单位:分)40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45 （1）补全频率分布表和频率分布直方图.（3名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况,你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适?三、作业：1、某班10位同学为支援“希望工程”，将平时积攒的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童，捐款金额如下(单位：元)：18.5 20 21.5 20 22.5 17.5 19 22 18 21这10位同学平均捐款多少元?2、某校规定学生的体育成绩由三部分组成, 早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%,体育理论测试占30%, 体育技能测试占50%,小颖的上述三项成绩依次是92分,80分, 84分, 则小颖这学期的体育成绩是多少?3、小颖和小明一学期的成绩统计如下：小明小颖考核成绩 85 92 上课、作业及问问题情况考核项目 2）填空:在这个问题中，总体是 __,样本是 ,这组数据的平均数是38.35（分），众数是 _，中位数是 _。

（1）如按三项成绩的平均成绩来考核，那么谁的成绩高？（2）假如将上课,作业及问问题情况,平时学习成果和期末考试成绩按4:3:3来确定期末成绩,那么此时谁的成绩高？4（1（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.5、某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示。

（1）根据右图填写下表；（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好？（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些，说明理由。

参考答案：例1：解：（1）A的平均成绩为（72+50+88）/3=70分。

B的平均成绩为（85+74+45）/3=68分。

C的平均成绩为（67+70+67）/3=68分。

由70>68，故A将被录用。

（2）根据题意，A的成绩为（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1）=65.75分。

B的成绩为（85×4+74×3+45×1）/（4+3+1）=75.875分。

C的成绩为（67×4+70×3+67×1）/（4+3+1）=68.125分。

因此候选人B将被录用例6：解：（1）②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些。