新课标八年级数学竞赛讲座：第六讲 实数的概念及性质
实数知识点归纳
实数知识点归纳数学作为一门重要的学科，包含着许多的知识点。
其中一个关键的概念就是实数。
实数是数学中的一种基本概念，它们是我们日常生活中经常使用的数字。
本文将对实数的定义、性质以及实数的分类进行归纳和分析。
一、实数的定义和性质实数是指包括正数、负数和零的所有有理数和无理数的集合。
具体地说，实数是一个无穷的、密度很高的数轴。
根据实数的定义，我们可以得出一些关键性质。
首先，实数集合是一个无限的集合。
无论你选择多少个实数，总是可以找到更多的实数。
这反映了实数的无穷性。
其次，实数集合是一个连续的集合。
任意两个不相等的实数之间，总是可以找到无穷多个其他的实数。
我们可以通过不断逼近来证明这一点。
最后，实数集合是一个稠密的集合。
对于任意给定的两个实数，总是可以找到其他的实数位于它们之间。
也就是说，实数在数轴上是无处不在的。
二、实数的分类实数可以根据其性质和特点进行分类。
常见的实数分类有有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的实数。
有理数可以是正数、负数和零。
例如，整数、分数和循环小数都属于有理数的范畴。
有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
无理数是无法用两个整数的比值表示的实数。
无理数是无限不循环的小数，它们无法精确表示为分数形式。
例如，π和根号2就是无理数。
无理数在数轴上是不可数的，即无法用有限个数字进行描述。
实数的分类还可以根据是否为代数数进行划分。
代数数是满足代数方程的实数，它是有理数和无理数的交集。
而超越数是无理数中的一类特殊数，它们不满足任何代数方程。
例如，e和π就是超越数。
三、实数在实际应用中的意义实数在数学中具有重要的作用，同时也广泛应用于实际生活中。
在几何学中，实数用于测量距离、长度和面积等概念。
实数的连续性以及实数的代数运算性质为几何学提供了基础。
在物理学中，实数用于描述运动、速度和力等物理量。
实数在精确计量和建立物理模型方面起着关键作用。
在经济学和金融学中，实数用于进行精确计算和分析。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
实数的概念与性质
实数的概念与性质实数是数学中的一个重要概念，它包括整数、有理数和无理数。
实数的性质是指实数所具有的一些特点和规律。
本文将从实数的定义、种类和性质等方面进行论述。
一、实数的定义实数是数学上最基本的数集，包括了所有的有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和纯循环小数等；而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数，如π和根号2等。
实数集通常用R表示。
二、实数的种类实数可以分为有序实数和无序实数。
有序实数是可以按大小进行比较的，它们包括正实数、负实数和零；而无序实数则是无法进行大小比较的，例如无理数。
有序实数的性质更具体、更明确，后文将重点论述有序实数的性质。
三、实数的性质1. 实数的闭包性：实数集在四则运算下仍然保持封闭，即实数的加、减、乘、除的结果仍然是实数。
2. 实数的稠密性：有理数和无理数在实数集中是密集排列的，对于任意两个实数a和b（a<b），必然存在一个有理数和一个无理数，它们位于a和b之间。
3. 实数的无限性：实数集是无限的，既没有最大值也没有最小值。
任意正实数都可以找到一个比它更大的实数，任意负实数也都可以找到一个比它更小的实数。
4. 实数的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，b<c，则必有a<c。
这一性质是实数大小比较的基础。
5. 实数的稳定性：实数在加法和乘法下具有稳定性，即实数的加法和乘法不受运算顺序的影响。
6. 实数的有界性：实数集在区间上具有有界性，即如果一个实数区间存在上界，则必然存在最小上界；如果一个实数区间存在下界，则必然存在最大下界。
7. 实数的分割性：实数集具有分割性，即如果一个实数区间中的两个子集A和B，如果A中的任意数都小于B中的任意数，并且A和B 无交集，则存在一个实数可以将AB分开。
8. 实数的等价性：实数的大小可以用等号或不等号进行表示，不等号的成立性是根据实数的大小关系而决定的。
通过以上的论述，我们可以了解到实数的概念与性质。
实数知识点
实数知识点实数是数学中重要的概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从实数的概念、性质、分类以及实数在数学和实际生活中的应用等方面进行详细介绍。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数集之一，包括有理数和无理数。
它们可以用数轴来表示，数轴上的每个点都对应着一个实数。
实数具有以下性质：1. 实数的有序性：对于实数集中的任意两个数a、b，必定存在三种关系：a＜b，a＝b或a＞b。
这个性质使得实数可以进行大小比较。
2. 实数的稠密性：对于任意两个实数a、b (a＜b)，必定存在一个实数c (a＜c＜b)，即实数集中不存在空隙。
这个性质可以用来证明实数集的连续性。
3. 实数的无穷性：实数集是无界的，即没有最大和最小值。
无论给定多大或多小的数，总可以找到比它更大或更小的数。
4. 实数的完备性：实数集中满足某个性质的数列必定收敛于一个实数。
这个性质使得实数集可以用来描述物理量的测量结果。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
有理数可以表示为无限循环小数，例如1/3＝0.3333...。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数表示无限不循环。
常见的无理数有开方数（如√2）和圆周率π。
无理数在数轴上是无限不重复的。
三、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，同时也贯穿于实际生活的各个领域。
1. 几何学：实数可以用来度量和描述几何图形的属性，例如线段的长度、角的度数等。
实数的大小和比较关系可以帮助我们确定图形的大小和位置。
2. 物理学：实数可以用来表示物理量的不同数值，例如速度、质量和能量等。
实数的运算规律可以帮助我们进行物理量的计算和分析。
3. 经济学：实数可以用来表示货币的数额、价格的变动等经济指标。
实数的运算可以用于货币的兑换和经济指标的计算。
4. 统计学：实数可以用来表示数据的测量结果，例如年龄、身高、体重等。
实数的竞赛知识点总结
实数的竞赛知识点总结一、基本概念1. 实数的定义：实数是可以用小数表示的数，包括有理数和无理数两大类。
2. 有理数：有限小数、有限小数循环小数、无限循环小数都是有理数。
例如，1，-2，$\frac{3}{4}$，1.23，-0.5，0.3333…等都是有理数。
3. 无理数：无法用有限小数或循环小数表示的数称为无理数。
例如，$\sqrt{2}$ ，π ，e，$\sqrt{3}$ 等都是无理数。
4. 实数的大小比较：实数的大小可以用大小关系符号来表示，包括大于（>）、小于（<）、大于或等于（$\geq$）、小于或等于（$\leq$）等四个符号。
5. 实数的运算：实数的加法、减法、乘法、除法等运算规则。
6. 实数的绝对值：表示实数到零点的距离，又叫做模。
可以用符号 |x| 来表示，x的绝对值为大于等于0的数。
7. 实数的递增与递减：实数序列中，若对于任意相邻的两项都有a_n+1 ≥ a_n，则称该序列为递增的；若对于任意相邻的两项都有a_n+1 ≤ a_n，则称该序列为递减的。
8. 实数的零点：指函数的零点，即函数取值为0时的x的值。
二、实数的性质1. 实数的加法性质：结合律、交换律、分配律等。
2. 实数的乘法性质：结合律、交换律、分配律等。
3. 实数的闭包性：加法闭合性、乘法闭合性。
4. 实数的比较性：对于实数a， b，如果a > b，则一定有 $a^2$ > $b^2$。
5. 实数的连续性：实数轴上的连续性，有理数与无理数之间的无限稠密性。
6. 实数的数轴表示：实数在数轴上的表示方法，包括绝对值、大小比较、递增与递减等。
7. 实数的等式与不等式的性质：根据实数的性质求解等式与不等式的方法和技巧。
8. 实数的分解表示：实数可以分解为有理数与无理数的和。
9. 实数的有序性：任意两个实数都可以用大小关系符号进行比较。
三、实数的应用1. 实数的代数运算：包括实数的加减乘除、开方运算、指数运算、对数运算等。
实数的概念与性质
实数的概念与性质实数是数学中的一种数集，包括有理数和无理数两部分。
有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则无法精确表示为有理数的比值。
实数的概念与性质对于数学的发展和应用起着重要的作用。
下面将对实数的概念和性质进行探讨。
一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括所有的有理数和无理数。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，它们可以无限制地进行有限的或无限循环的小数表示。
无理数是不能表示为有理数之比的数，例如根号2和π等。
实数的概念可以用数轴来表示，数轴是一条直线，上面的每个点都与实数对应。
实数可以根据其在数轴上的位置进行分类，比如正数、负数和零等。
二、实数的性质1. 实数的稠密性：实数的稠密性指的是，对于任意两个实数a和b （a<b），一定存在一个实数c满足a<c<b。
换句话说，实数在数轴上没有间隙，任意两个实数之间都可以找到其他实数。
2. 实数的有序性：实数可以根据大小进行比较。
对于任意两个实数a和b，有以下关系：a=b、a<b或a>b。
这种有序性使得实数可以进行数值大小的比较和排序。
3. 实数的闭区间性：实数可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。
闭区间指的是包含了区间两端点的实数集合，开区间不包含两端点，而半开半闭区间则包含一个端点但不包含另一个端点。
4. 实数的运算性质：实数具有加法、减法、乘法和除法等运算。
实数的运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
5. 实数的无理数性质：无理数具有无限不循环的小数表示，并且无理数之间可以进行加法、减法和乘法等运算。
无理数的加法和乘法结果仍为无理数。
6. 实数的有理数性质：有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，并且有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
有理数的运算结果仍为有理数。
总结：实数是数学中最基本的数集，包含有理数和无理数。
实数具有稠密性、有序性、闭区间性、运算性质、无理数性质和有理数性质等特点。
这些性质使得实数在数学中有着广泛的应用，同时也为数学的发展奠定了基础。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。
比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。
而无理数，则是那些无限不循环小数。
比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。
二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。
对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。
2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。
3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。
也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。
而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。
结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。
分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。
三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。
例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。
四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。
实数ppt课件
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
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第六讲 实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p
q
的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数
p
q
的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解
【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．
注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )
A ．小于0的有理数
B ．大于0的有理数
C ．小于0的无理数
D ．大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且0320
91412)121341()233
1(=---++
b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程
组．
【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)
(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．
注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：
(1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．
【例5】 已知在等式
s d
cx b
ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r
1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．
注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．
学力训练 1．已知x 、y 是实数，
096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ．
(2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程
0185=++-+y y x 的解是 ．
4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．
(济南市中考题)
5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( )
A ．12-
B ．21-
C ．22-
D ．22- (江西省中考题)
6．已知x 是实数， 则π
ππ1
-+-+-x x x 的值是( )
A ．π
1
1-
B ．π
1
1+
C ．
11
-π
D ．无法确定的
( “希望杯”邀请赛试题)
7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)
8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．
(山西省中考题)
9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，2
22=S ；41)3(2=+，2
3
3=
S ；… (1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 10的长；
(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足
04
1
2212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)2
3
1()3
2
1(=--+++ππ
πy x ，那么x －y 的值是 ．
( “希望杯’邀请赛试题)
12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)
13．已知正数a 、b 有下列命题：
①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则2
3≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则2
5
≤
ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a
+1
的值为( ) A ．
25 B ．2
5- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)
15．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )
A ．5151
B ．5150
C ．5050
D ．5049
( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则
b
a b
a -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题)
17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：
2
2
2
)(1)(1)(1a c c b b a -+
-+
-为有理数．
18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量
为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．
19．阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：
①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a b =N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=8
1，所以log 28
1=－3．
(1)根据定义计算:
①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a N
M ，并说明理由．
(泰州市中考题) 20．设d
cx b
ax y ++=
，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证： (1)当bc=ad 时，y 是有理数；
(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．
设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。