3静定梁
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第3章 静定梁
ql qx 2 =M° M x2 2 Q q( l - x)cos Qo cos 2 N -q( l - x)sin -Qo sin 2
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
15
RB=7kN
16
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
q(l - 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l - 2 x) M B - x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3- 3 6 l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得： x
25
MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
14
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
03静定梁
3 静定梁
3kN m
A
【例3.4】作图示伸臂梁的弯矩图。 【解】 （1）计算控制截面弯矩
M A 3kN m (上侧受拉)
4kN
C B
1kN/m
D
2.5m
3
(5)
2.5m
2
2m
M B 1 2 1 2kN m
(上侧受拉)
(0.5) 0.5
MD 0
（2）用分段叠加法作弯矩图
6 16 m) M (kN·
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3 静定梁
4kN m
【例】试求图示梁的弯矩图。 【解】 1、求支反力
RA 11kN( ) RD 23kN( )
10kN
B C
5kN/m
D E
4kN
A
2m
RA 11kN
4
2m
4m
2m
RD 23kN
8
2、定弯矩值
M A 4kN m (下侧受拉)
求支座反力：
ql M A 0, VB 2 ql M B 0, VA 2 X 0, H A 0
求内力：
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3 静定梁
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3 静定梁
1. 静定多跨梁的组成 承载的部分。
附属部分--不能独 立承载的部分。
3.4 静定多跨梁约束力计算与几何组成 基本部分--能独立
A
2.5
m) M (kN·
4kN
C
B
1kN/m
B D
1 M 4 5 5kN m 4
1 M 1 22 8 0.5kN m
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3 静定梁
16kN
静定梁习题
0
D
10kN
E
15kN
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10kN
5kN/m
A B
3 静定梁
20kN m
C F
10kN
D E
2m
2m
2m
2m
2m
2m
0
2m
20kN m
10kN
0
5kN/m
A 25kN
(2.5)
5kN F
C B 10kN 12
5kN
0
30kN.m
D
3、作弯矩图
20 m) M (kN·
10kN 15kN
2m
6 Q (kN) 38 18 6 m) M (kN·
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3 静定梁
10kN m
C
3.4
4kN m
A
2kN/m
8kN
D B
2m
2m
YB 8.75kN
【解】
YA 7.25kN
7.25
0.75
Q (kN) 8.75 m) M (kN·
3.625m
4
9.14 9 19 17.5
30
E
7.5 A B 10 C F
10 D E
4、作剪力图
Q
(kN) 10
15
5
10
A
B
5
C
F
D
15
E
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3 静定梁
3.28 根据静定多跨梁的受力特点和荷载与内力微分关系，直 接画出M图。 P
B A C D E
F
【解】
a
a
a
Pa
a
a
a
3静定梁和静定刚架
2a 2a
NCA VCA MCA
4qa - 2qa
AC杆弯矩图的做法：
16qa2
8qa2
C
A 16qa2
AC杆剪力图的做法： A端剪力的确定
X 0,VAC 4qa
12qa -
VAC
+ 4qa
NAC VAC 4qa
-2qa
AC杆轴力图的做法：
NAC
2qa
A端轴力的确定
Y 0, NAC 2qa 0
q
MDC
D
VDC P
NDC
D
VDA
MDA
NDA
NDA
VDA
MDA
D
A FAX
FAY
FCY
C
FCX
内力求出后，用图形表示杆各截面的内力变化：
把内力的大小按一定的比例尺， 以垂直于杆轴的方向标出
且规定： 剪力和轴力画在杆的任一侧，标明正负号、大小； 弯矩画在杆件的受拉纤维一侧，标明大小，不标明正负号；
∑Y=0，VDC= -2qa ； ∑X=0，NDC= -12qa
∑M=0,MDC= -24qa2（上侧受拉）
VA
2a 2a
MDC
NDC
VDC
HA
CD杆弯矩图做法 由于CD杆没有作用荷载，两端连线即可
16qa2
24qa2
C 4q
A
6qa2
D 12qa
B
4a
1.5a 1.5a
2a NDB
2a y
3、在D结点的右侧作截面，取BD为研究对象，
桁架，铰结点约束
刚架，有刚结点约束
（二）、基本形式 1. 悬臂刚架
细石混凝土
2. 简支刚架
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学 第3章静 定梁、平面刚架受力分析
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
第3章静定梁
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§3-2 简支斜梁的计算
§3-2 简支斜梁的计算
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§3-2 简支斜梁的计算
1.斜梁承受竖向均布荷载时的两种表示方法
M B 0,VA
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§3-1 静定单跨梁的计算
2.
作 剪 力 图
-
QAD QDA 18kN QDE 18 8 10 kN
QE QDE 10 kN
QF 6kN
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本章小结
本章基本内容是静定单跨梁和多跨梁 的支座反力、内力的计算及内力图的绘制。
（1）计算步骤。 （2）截面内力有弯矩、剪力、轴力，应注意 其定义及正负号规定。 （3）计算截面内力的基本方法是截面法。 （4）绘制弯矩图的基本方法是分段叠加法。 （5）内力图的纵坐标垂直于杆轴线画。
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§3-1 静定单跨梁的计算
不同教材中内力分量的两种表达形式:
Q
N
Q’
N’
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§3-1 静定单跨梁的计算
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§3-2 简支斜梁的计算
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作 剪 力 图
-
QAD QDA 18kN QDE 18 8 10 kN
QE QDE 10 kN
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本章小结
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（1）计算步骤。 （2）截面内力有弯矩、剪力、轴力，应注意 其定义及正负号规定。 （3）计算截面内力的基本方法是截面法。 （4）绘制弯矩图的基本方法是分段叠加法。 （5）内力图的纵坐标垂直于杆轴线画。
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截面1以左隔离体进行分析。
在这个隔离体上有集中力矩
2Pa，三个未知力为：
P P 2Pa M1
U
1.5a
Q1
U
N1
U
x 0
U N1 P
y0
M1 0
Q1U P 0
Q1U P
M 1U 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5 Pa
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第三章 静
定
梁
结构力学
第三章
静
定
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梁
第三章 静
定
梁
结构力学
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，
熟练掌握静定梁内力图的作法。
分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，
把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析 问题。
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第三章 静
定
梁
结构力学
§3-1 单跨静定梁的内力分析
3. 利用平衡条件计算未知力时，隔离体上只能有本身所受到的力；
4. 不要遗漏力； 5. 受力分析时，未知力一般假设成为正号方向，数值是代数值； 已知力按实际方向画，数值是绝对值； 计算所得的未知力的正负号即为实际的正负号。
8 淮海工学院土木工程系
第三章 静
定
梁
结构力学
三、荷载、内力之间的关系
q(x)
M
A
0
8FRB 10 4 4 4 8 1 14 0 FRA FRB 8 4 4 0
FRA 18kN
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Y 0
第三章 静
定
梁
结构力学
18
FQ图 kN
10
14
M图 kN m
6
4
14
26.5 22
6 16
M
A
q
YB
MB
MA
O
YA
YB
M
M
MA
MB
M M M
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第三章 静
4kN· m
定
梁
4kN
结构力学
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN· m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
M
M0
o
FX
M M
FN
FY
FQ
y dx
FQ FQ
FN FN x
FN FX FQ FY M M 0
⑤ 纵向集中力作用点处，轴力图发生突变； ⑥ 横向集中力作用点处，剪力图发生突变； ⑦ 集中力偶作用点处，弯矩图发生突变；
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第三章 静
定
梁
结构力学
qy
M
o
qx
M dM
FQ dFQ
FN
FQ
FN dFN x
y dx
① qx=0时，轴力图为矩形图； ② qx=常数时，轴力图为斜直线； ③ qy=0时，剪力力图为矩形图，弯矩图为斜直线； ④ qy=常数时，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；
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第三章 静
定
梁
结构力学
（2）增量关系
L MF 7 1 16 23(kN m) R MF 7 1 7(kN m)
4 4 2 26 30 MD 36(kN m) 8 2
由数学计算：CE段Mmax=36.1kN· m
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第三章 静
定
梁
结构力学
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。 [分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值
分析多跨静定梁的一般步骤：
1）做层次图
2）附属部分分析（从高到低） 3）基本部分分析 4）每部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和 剪力图 。
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第三章 静
定
梁
结构力学
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系， 并确定内力计算顺序。 注意： q P 多跨静定 C E G H A B D F 梁的内力 q 计算顺序 P E G H F 也可根据 C D A B 作用于结 P q 构上的荷 F A B C D E 载的传力 P q 路线来决 F 定。 A B C D E
（1）微分关系
dFQ dFN qx q y dx dx
dM FQ dx
d 2M q y 2 dx
dx
qy
M
o
qx
M dM
FQ dFQ
FN
FQ
FN dFN x
y dx
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第三章 静
定
梁
结构力学
微分关系
dFN dx qx dFQ q y dx dM dx FQ
E
B
F
附属部分
如图所示梁:AB不依赖其它部分，与大地组成几何不变部分，称为基（础）本部分；
BC依靠AB、CD依靠AC才能保证几何不变性，相对AB 它为附属部分。
第三章 静
定
梁
结构力学
受力分析的角度
A
E B
先附属，后基础
F
C C
D D
A
基础部分
E
B
F
附属部分
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第三章 静
定
梁
结构力学
解：
（1）先计算支座反力
（2）求控制截面弯矩值
取AC部分为隔离体，可计 算得： 取GB部分为隔离体，可计 算得：
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
P=8kN q=4 kN/m
R A 17 kN
RB 7kN
M C 17 1 17kN
M G 7 1 7 kN
根据静力平衡条件求截面 未知力： x 0 N1Z P
y0 Q1Z P 0 Q1Z P
P
1.5a P
1.5a
P
P
P 1.5a
M1
Z
N1 Q1
Z
Z
M1 0
M1Z P 1.5a 0
M1Z 1.5Pa
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第三章 静
定
梁
结构力学
计算右截面的内力,也可取
一、截面上内力符号的规定：
FN FN
轴力：杆轴切线方向
伸长为正
FQ FQ
剪力：杆轴法线方向
顺时针方向为正
M M
弯矩: 应力对形心力矩之
和
矩图画在受拉一侧，
淮海工学院土木工程系第三章 静定 Nhomakorabea梁
结构力学
二、用截面法求指定截面内力
计算如图所示结构截面 1 的内力
P 2Pa
1
先计算左截面的内力，可取
a
截面1以左隔离体进行分析。
计算时拆成单跨梁
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第三章 静
定
梁
结构力学
先计算附属部分FD，再计算梁DB，最后计算梁BA。
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第三章 静
定
梁
结构力学
A
P
C
B D E F
G
2a
a
a
a
a
0.5a
60kN
A B
12 kN
C
（3）积分关系
qy
MA FNA
xB
MB
FQA
A
qx
B
FQB
FNB
FNB FNA qx dx FQB FQA q y dx
xA xB xA xB
积分关系的几何意义： B端的轴力=A端的轴力-该段荷载qx图的面积。 B端的剪力=A端的剪力-该段荷载qy图的面积
M B M A FQ dx
xA
B端的弯矩=A端的弯矩+此段剪力图的面积
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第三章 静
定
梁
结构力学
几种典型弯矩图和剪力图
P m q
l /2
l /2
l /2
l /2
ql 2
l
P 2
P 2
m l m 2
ql 2
Pl 4
m 2
ql2 8
1、集中荷载
M图有夹角
2、集中力矩 M图有一突变
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3、均布荷载 M图为抛物线
第三章 静
定
梁
结构力学
计算截面 2 的内力
P
a P 1.5a
(a)
现取截面 2 左边的隔
离体进行分析，根据三个
平衡条件就可得出截面 2
上的三个未知力：
3
2Pa
1
P
1.5a
2
P P M2 N2 N2 a
P P 1.5a
2Pa 1.5a
(d)
2
M2
也可取截 面 2 右边 隔离体计算
N 2 P, Q2 P, M 2 Pa.
D
1m 2m 2m
E
1m
F 4m
G 2m 85 40 10 20k N/m
H
55 40 20 40 20
50
50 40k N
M 图（k N· m）
25 25
5 35
55 40
85
15