11.2.3与三角形有关的角第三课时
11.2与三角形有关的角
11.2与三角形有关的角学习目标1.了解三角形的外角概念。
2.掌握三角形内角和定理和外角的性质，初步掌握添加辅助线的方法。
3.会证明三角形的内角和定理，会运用内角和定理与外角的性质进行相关计算。
考点关注1.根据三角形的外角的性质，结合平行线的性质来求角的度数或度数之间的关系。
2.根据三角形的内角和求角的度数或证明角相等的问题。
知识点1 三角形的内角和定理(1)三角形的内角和定理：三角形的内角和是180°.(2)三角形内角和定理的证明思路：利用两直线平行，内ABC为利用两直线平行，内错角及同位角相等，的三个内角利用两直线平行，内ABC为知识点2 直角三角形的性质和判定方法是直角三角形，且知识点3 三角形的外角1.三角形的外角2.常见的基本模型(1) “飞镖”模型：如图11-14（1）所示，结论：. (2) “8”字模型：如图11-14（2）所示，结论：.(3) 如图11-14（3）所示，点P 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线的交点，结论：.ACP A ABP BCP ∠+∠+∠=∠E B D A ∠+∠=∠+∠A P ∠+︒=∠2190(4) 如图11-14（4）所示，点P 是∠ABC 与∠ACE 的角平分线的交点，结论：.(5) 如图11-14（5）所示，点P 是三角形的外角∠FBC 与∠BCE 的角平分线的交点，结论： .注意：以上结论应用时必须证明，不能直接用。
练习：如图11-15所示，∠1=∠2=∠3. (1) 试说明；(2) 若，，求的度数。
A P ∠=∠21A P ∠-︒=∠2190DEF BAC ∠=∠︒=∠70BAC ︒=∠50DFE ABC ∠题型1 三角形内角和定理的应用例1：锐角三角形所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的四分之一，则满足条件的锐角三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个题型2 三角形外角性质与内角和定理的综合应用例2：如图11-16所示，在△ABC 中，，，，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数。
《11-2与三角形有关的角——三角形的内角和》教学设计
《11.2与三角形有关的角——三角形的内角和（1）》教学设计一、内容与内容解析1．内容三角形内角和．2．内容解析与边一样，角（包括内角和外角）是三角形的主要元素，在研究了边的性质后，自然要研究角（内角和外角）的性质，其中内角和是基础．三角形的角的性质是今后研究几何图形的基础．初中研究三角形内角和与小学不同之处是需要用推理的方法证明．因此本节课的重点是三角形内角和定理的证明．二、目标与目标解析1．目标（1）掌握三角形内角和定理．（2）探索发现三角形内角和定理的结论，体会证明的必要性．（3）理解三角形内角和定理的证明过程．2．目标解析达成目标（1）的标志是：能熟练应用三角形内角和定理进行推理和计算．达成目标（2）的标志是：能从结论的一般性与确定性角度体会证明的必要性．达成目标（3）的标志是：能理解三角形内角和定理证明过程的合理性，指导证明过程“步步有据”的要求．三、教学问题诊断分析学生已经知道了三角形内角和定理的内容，但难以体会到证明的必要性；同时，证明三角形内角和定理需要添加辅助线，通过把三角形内角关系转化为平行线的角的性质，是第一次接触，难以理解．通过基于一般三角形下结论是否成立的提问让学生体会证明的必要性，通过分析拼角实验过程发现证明思路，体会怎样作辅助线，帮助学生突破难点．难点：三角形内角定理证明必要性的体会，理解定理的证明过程．四、教学过程设计（一）体会证明的必要性前面，我们研究了三角形的边的性质，接下来我们研究三角形角的性质．问题1 在小学，我们研究过三角形的角，三角形的三个内角有什么关系？师生活动：教师引导学生画出三角形（如图1），回顾三角形内角之间的关系．追问：在小学中，我们是怎样发现这一性质的？师生活动：教师引导学生回顾测量法和拼角实验法．展示学生的拼角方案（如下图）．设计意图：引导学生回顾“三角形内角和等于180º”的结论及研究经验． 追问1：大家测量和实验时研究了多少个三角形？追问2：三角形有多少个？用测量和实验的方法能研究完所有三角形吗？追问3：对若干个具体的三角形进行测量和研究得到的结论，能保证对所有的三角形都成立吗？怎样才能说明结论对所有的三角形都成立？师生活动：教师引导学生考察结论的一般性，从而体会证明的必要性． 设计意图：体会证明的必要性． （二）三角形内角和定理的证明 问题2 怎样证明呢？ 追问1：先说说证明的步骤．师生活动：教师引导学生回顾证明的步骤：先画出图形，写出已知、求证，再写出证明过程．已知：如图5，∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角．求证：∠A +∠B +∠C =180º．并指出，要证明这一结论，需要以已经确认是正确的事实、定理为依据，一步一步有依ABC图1ABC图2A BC图3ABC图4ABC图5据地进行推导，最后推导出最终的结论．追问2：让我们分析一下拼角的操作过程，看看有什么启发．如图5我们把∠B ，∠C 撕下后拼到∠A 上得到一个平角，移动后它们的边AE ，AF 有什么特征？师生活动：教师引导学生发现它们在同一直线EF 上． 追问3：直线EF 与直线BC 有什么关系？由此有什么启发？师生活动：教师引导学生得出EF ∥BC ，这就启发我们通过过顶点A 作BC 的平行线来进行证明（如图6）．图6追问4：怎样书写证明过程？师生活动：教师与学生一起书写证明过程如下： 证明：过点A 作EF ∥BC ． ∵EF ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ；(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠BAC =180º，（平角的定义） ∴∠BAC +∠B+∠C =180º．(等量代换)在此基础上，确认三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º． 设计意图：分析证明思路，书写证明过程，明确定理结论． 追问5：如果按照图3，图4的拼角方案，怎样书写证明过程？ 师生活动：教师引导学生书写相应的证明过程．设计意图：通过一题多解感悟证明过程，培养思维灵活性． 追问6：上述证明过程是怎样想的？师生活动：教师引导学生总结：用平行线性质移动角的位置，使它们拼成一个平角． 设计意图：引导学生感悟数学转化的思想． 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立书写解题过程，教师引导学生相互质疑，保证推理的严谨性．设计意图：应用三角形内角和定理进行角度计算，巩固定理．例2 如图8是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50º的方向，B 岛在A 岛图7A B CE F的北偏东80º方向，C 岛在B 岛的北偏西40º方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？师生活动：教师引导学生分析解题思路，引导学生书写解题过程．设计意图：应用定理解决实际问题，巩固定理． 练习：1．写出下列三角形中∠ 的度数．2．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD （沿着AC 对折后直线AC 两侧部分能完全重合），其中∠A =150º，∠B =∠D =40º，求∠C 的度数．师生活动：学生口答第1题，书写第2题． 设计意图：巩固定理，发展推理能力． （四）课堂小结教师引导学生思考下列问题，回顾并交流本课所学知识． （1）本课学习了哪一个定理？（2）小学中我们已经发现了三角形三内角的和为180º，为了什么要证明这一结论？ （3）你是怎样证明这一结论的？设计意图：比较初中与小学学习三角形内角和的差别，体会证明的必要性，总结证明过程，体会证明的要求．（五）布置作业教科书习题11．2第1，3，7题．有兴趣的同学尝试写出与本课中不同的证明过程． 五、板书设计11.2.1三角形的内角1.三角形内角和：小学的做法：测量、拼角。
人教版数学八年级上册11.2 与三角形有关的角(3课时)教案与反思
11．2 与三角形有关的角知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰11．2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1 图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB ＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN 的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C 岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B 两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．【互动探索】(引发学生思考)D⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF⊥AB∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.又∵∠A＝46°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，不同的三角形中灵活运三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝50°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝25°.又∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED＝50°(对顶角相等)，结合∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A、∠B、∠C的数量关系→△ABC各内角的度数→△ABC的形状．【解答】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.根据题意，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是( B )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝52°.3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2 三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( B )A．120°B．105°C．60°D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．解：左图：∠1＝60°，∠2＝30°；右图：∠1＝50°，∠2＝140°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【互动探索】∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线→利用三角形外角的性质求解．【解答】延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角．∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形外角的性质将已知与未知的角联系起来计算角的度数．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP 并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。
但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。
2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。
操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。
同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。
第十一章 三角形 知识归纳
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段【高、中线（重心）、角平分线】
两边之差＜第三边＜两边之和。
按边分类、三角形的稳定性。
11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
备注：推论和定理一样，可以作为进一步推理的依据。
11.3 多边形及其内角和
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭式图形。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
n边形内角和等于（n-2）×180º。
多边形的外角和等于360º。
11.2.与三角形有关的角(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(3)外角性质的应用：通过具体例题，如“一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和”，让学生通过画图和计算来加深理解，并能够应用于解决类似问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《与三角形有关的角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾、屋顶形状等都是三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角和外角的奥秘。
最后，我发现总结回顾环节对于巩固学生的记忆和理解至关重要。通过这个环节，学生能够对自己在本节课中学到的知识有一个清晰的认识。同时，我也鼓励学生提出疑问，这有助于我发现他们在理解上可能存在的盲点，并及时给予解答。
我也观察到，在小组讨论和实验操作环节，学生们积极参与，乐于分享自己的想法。这表明，合作学习对于提高学生的参与度和深化理解是非常有效的。然而，我也注意到一些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在以后的教学中更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，确保每个人都能跟上课程的进度。
此外，学生在解决与三角形有关的实际问题时，表现出了一定的挑战性。这让我意识到，将理论知识转化为实际应用的能力需要更多的锻炼。在未来的课程中，我会设计更多贴近生活的问题，帮助学生将所学的几何知识应用到解决实际问题中去。
人教版初中数学八年级上册第十一章：三角形(全章教案)
第十一章三角形本章主要内容有三角形的有关线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和．三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础．本章将在学习与三角形有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法．在中考中，本章考查的重点是三角形的有关线段、角，多边形及其内角和．【本章重点】三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式．【本章难点】三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想．如：解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题或与三角形高相关的问题，需要分类讨论．2．体会方程思想．如：根据多边形内角和公式可以建立方程，从而运用方程思想解决相关问题．11．1与三角形有关的线段3课时11．2与三角形有关的角3课时11．3多边形及其内角和2课时11．1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解三角形的表示法、分类法以及三边存在的关系，发展空间观念．【过程与方法】经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最简单、最基本的几何图形，提高推理能力．【情感态度与价值观】培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值．二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系．【教学难点】三角形三边关系的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．3．三角形的表示：顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．4．等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．5．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．6．三角形按边的相等关系分类如下：三角形⎩⎨⎧三边都不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形5．三角形三边关系：三角形的两边的和大于第三边．推论：三角形两边的差小于第三边．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．2,3,5 B ．5,6,10 C ．1,1,3D ．3,4,9【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边．A 中，2＋3＝5，不能组成三角形；B 中，5＋6＞10，能组成三角形；C 中，1＋1＜3，不能组成三角形；D 中，3＋4＜9，不能组成三角形．故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三条线段能否组成三角形，只需判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考)(1)等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论：已知边长是腰长还是底边长→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．【解答】(1)设底边长为x 厘米，则腰长为2x 厘米． 根据题意，得x ＋2x ＋2x ＝18，解得x ＝3.6. ∴三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． (2)分情况讨论：当4厘米长为底边长时，设腰长为x 厘米，则 4＋2x ＝18，解得x ＝7.此时等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；当4厘米长为腰长时，设底边长为x 厘米，则4×2＋x ＝18，解得x ＝10. ∵4＋4<10，∴此时不能构成三角形，故可围成满足条件的等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米．【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰长还是底边长，再解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形任意两边的和大于第三边；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知a、b、c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(D) A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，且它的周长大于14 cm，则第三边长为6 cm.4．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．1.2三角形的高、中线与角平分线(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义．2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三条中线、三条角平分线都分别交于一点．【情感态度与价值观】通过对问题的解决，分别培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线．【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P5的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．画三角形的高．如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直符号和垂足的字母．教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2．画三角形的中线．如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3．画三角形的角平分线．如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，则∠BAD＝∠CAD.讨论3：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下面说法中错误的是(C)A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．3．如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC＝8 cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3 cm，∴BC－AC＝3 cm.又∵BC＝8 cm，∴AC＝5 cm.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11.1.3三角形的稳定性(第3课时)一、基本目标【知识与技能】通过实践活动，使学生掌握三角形的稳定性．【过程与方法】培养学生从周围生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题的能力，使学生体验到数学与日常生活的密切联系．【情感态度与价值观】在活动中培养学生知识迁移的能力和创造性思维．二、重难点目标【教学重点】三角形具有稳定性．【教学难点】三角形的稳定性在实际生活中的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是为了防止窗框变形.3．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.4．下列设备，没有利用三角形的稳定性的是(A)A．活动的四边形衣架B．起重机C．屋顶三角形钢架D．索道支架环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)动手操作探究三角形的稳定性．①如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图1图2图3②如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？③在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连结起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．(2)了解四边形的不稳定性的应用．四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？【互动探索】(引发学生思考)三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变．这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．【解答】(1)①不会改变．②会改变．③不会改变．原因：斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形具有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．从上面的实验得出：三角形具有稳定性．(2)有应用价值，实例不唯一，如：活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中具有稳定性的是(B)A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒活动3拓展延伸(学生对学)【例2】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】①四边形木架至少需要钉上1根木棍；②五边形木架至少需要钉上2根木棍；③六边形木架至少需要钉上3根木棍．如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理一、基本目标【知识与技能】1．理解“三角形三个内角的和等于180°”．2．能运用三角形内角和定理进行计算．【过程与方法】通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能力和语言表达能力．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】三角形内角和定理．【教学难点】三角形内角和定理的推导、验证．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．图1图2图1：30°＋60°＋90°＝180°；图2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形的内角和都为180°.(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．(2)动手把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，如图．用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.(3)把∠B和∠C剪下拼在一起，如图．用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°.(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.3．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？(方法一)分析与解答过程见教材P12～P13.(方法二)【互动探索】(引发学生思考)过点C作AD的垂线，求∠ACB的度数可转化为利用平角为180°来求解．【解答】∠ABC的求法同“方法一”．如图，过点C作CF⊥AD，则CH⊥BE.∵∠ACF＝180°－∠DAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，∴∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.故从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【例2】如图，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于点F ，交AC 于点E .若∠A ＝46°，∠D ＝50°，求∠ACB 的度数．【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠D ＝50°→得∠B 的度数，结合∠A ＝46°→得∠ACB 的度数(三角形内角和定理)．【解答】∵DF ⊥AB ， ∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°， ∴∠B ＝40°. 又∵∠A ＝46°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般要用到三角形内角和定理．解决问题时，要根据图形特点，在不同的三角形中灵活运用三角形内角和定理求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝50°.2．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.3．已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED ＝50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠AED ＝50°. ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝12∠ACB ＝25°.又∵DE ∥BC ，∴∠CDE＝∠BCD＝25°.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.请完成本课时对应练习！第2课时直角三角形的两锐角互余一、基本目标【知识与技能】理解并掌握直角三角形的两锐角互余及其逆定理．【过程与方法】通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．【情感态度与价值观】在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力．二、重难点目标【教学重点】直角三角形的两锐角互余．【教学难点】判断三角形是直角三角形的方法．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P13～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C ＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.2．直角三角形的两个锐角互余.3．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.4．由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．5．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于70°.环节2合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，DF ⊥AB ，∠A ＝40°，∠D ＝43°，则∠ACD 的度数是________.【互动探索】(引发学生思考)DF ⊥AB ，∠A ＝40°→∠AEF ＝50°(直角三角形的两个锐角互余)→∠CED ＝50°(对顶角相等)，结合∠D ＝43°→∠ACD ＝87°(三角形内角和定理)．【答案】87°【互动总结】(学生总结，老师点评)“直角三角形的两个锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数．【例2】在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝13∠C ，那么△ABC 是什么三角形？【互动探索】(引发学生思考)分析法：要判断三角形的形状，应从三角形的边或角入手→已知∠A 、∠B 、∠C 的数量关系→△ABC 各内角的度数→△ABC 的形状．【解答】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x . 根据题意，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形内角的数量关系，可以利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判断三角形的形状．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝∠C ，则△ABC 是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，则∠A ＝52°.3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠1＝∠B ，∠2＝∠3，则图中共有5个直角三角形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．请完成本课时对应练习！11.2.2三角形的外角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．三角形的外角的定义和性质．2．能利用三角形的外角性质解决问题．【过程与方法】通过合作研究三角形的内、外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通、表达能力．【情感态度与价值观】通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯．二、重难点目标【教学重点】与三角形的外角有关的性质．【教学难点】三角形外角性质的推导．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2．试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到点D，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，即∠ACD＝∠A＋∠B.3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？(方法一)见教材P15解答过程．(方法二)【互动探索】(引发学生思考)考虑利用平角的性质与三角形的内角和定理求解．【解答】∵∠BAE＝180°－∠1，∠CBF＝180°－∠2，∠ACD＝180°－∠3，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠3＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝540°－180°＝360°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)由此题可以得出：任意三角形的外角和都等于360°.(2)拓展：任意多边形的外角和都等于360°(同学们可自行进行证明)．活动2巩固练习(学生独学)1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于(B)A．120° B．105°C．60° D．45°2．求下列各图中∠1的度数．解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.3．求下列各图中∠1和∠2的度数．。
“角边角”和“角角边”判定三角形全等 (优质课)获奖课件
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
[生]能． 学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深 对“ASA”的理解． [生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出 AB的边长；
(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB； (3)分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′， ∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA；
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法二： E 由∠1 + ∠2 + ∠3 =180°， A 得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD 1 = 540°- 180° =360°. 3 B 2 C D F
课堂练习
练习
40º
如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B =
八年级
上册
11.2 与三角形有关的角 （第3课时）
课件说明
• 本节课内容是从三角形的内角的概念迁移到三角形 的外角的概念，进而研究三角形的外角的性质，再 通过例题进行巩固运用．
课件说明
• 学习目标： 1．理解三角形的外角的概念． 2．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和． • 学习重点： 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和．
如图， ∵ ∠ACD +∠ACB =180°， ∠A +∠B +∠ACB =180°， ∴ ∠ACD =∠A +∠B． B
A
C
D
探索与证明三角形的外角的性质
三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推 论可以作为进一步推理的依据．
理解三角形的外角的概念
问题1 在△ABC 中，∠A =75°，∠B =40°，∠C 等于多少度？
A
B
C
理解三角形的外角的概念
问题2 如图，把△ABC 的一边BC 延长，得到 ∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
概念： 三角形的一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三角形 的外角．
A
B
C
D
探索与证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角形的外角的性质
问题3 如图，∠ACD 与∠ACB 的位置是怎样的？ ∠ACD 与∠ACB 有什么数量关系？
∠ACD（外角）+ ∠ACB（相邻的内角）=180°．
A
B
C
D
探索与证明三角形的外角的性质
问题4 如图，∠ACD 与∠A，∠B 的位置是怎样 的？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？你能证明 你的结论吗？
课堂练习
练习3
80° 60°
如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数：
2 1 1 40° 2 40°
1
2
30°
（ 1）
（ 2）
（3）
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？
解法一： ∵ ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD B = （∠2 +∠3）+（∠1 +∠3） F + （∠1 +∠2）
∠BAD，∠ADC =80°,∠BAC =70°. 求：（1）∠B 的度数；（2）∠ C 的度数． 40º A
B
D
C
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）怎样探索并证明“三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和”？ （3）你用了哪几种方法解答例题？
布置作业
教科书习题11.2第6、8题．
E A
1 2 3
C
D
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法一： = 2（∠1 +∠2 +∠3）． ∵ ∠1 +∠2 +∠3 =180°， ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° =360°. F E A
1
B
2
3
C
D
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？ 解法二： E 由∠1 +∠BAE =180°， A ∠2 +∠CBF =180°， 1 ∠3 +∠ACD =180°， 得∠1 +∠2 +∠3 + ∠BAE 3 B 2 +∠CBF +∠ACD = 540°． C D F
课堂练习
练习1 如图，口答： （1）∠1 = ∠C + ∠DAC ； （2）∠2 = ∠3 + ∠4 ． A
3
B
4
1 2
D
C
课堂练习
练习2 如图，说出图形中∠1 的度数．
1
（ 1）
30° 1
60°
（ 2）
35°
60°
1
（ 3）
45°
50°
（ 4）
30°
15°
1
图中∠1的度数依次为：90°，85°， 95°，45°．