正弦定理

课前预习·巧设计
第 一 章 解 三 角 形
1.1 正弦 定理 和余 弦定 理 1.1.1
正弦定 理
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[读教材· 填要点]
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， a b c ＝sin B＝sin C sin A 即 .
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对
边a，b，c叫做三角形的 元素 ．已知三角形的几个元
素求其他元素的过程叫做解三角形．
3．正弦定理的应用
正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和 另一角． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其 他的角和边．
cos A cos B cos C 在△ABC 中，若 a ＝ b ＝ c ，试判断△ABC 的形状．
[巧思 ]
cos A cos B cos C a b 条件 a ＝ b ＝ c 可变形为 ＝ ＝ cos A cos B
c a b c ，联想正弦定理 ＝ ＝ ，可考虑设法消掉 cos C sin A sin B sin C a，b，c，从角的角度判断△ABC 的形状．
(2)正确．
2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.

[研一题]
[例1] 已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
∴B＝105° ，b＝10( 6＋ 2)，c＝20
[悟一法] 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一 角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和
定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[小问题·大思维] 1．下列关于正弦定理的命题是否正确？
(1)在△ABC中sin A＝sin B，则A＝B；
(2)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
提示：(1)由于在△ABC中，sin A＝sin B，有a＝b，则A ＝B，故(1)正确；
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
求B，b，c.
[自主解答]
∵A＝30° ，C＝45° ，
asin B ∴ B ＝ 180° － (A ＋ C) ＝ 105° ，由正弦定理 b ＝ sin A ＝ 20sin 105° ＋60° )＝10( 6＋ 2)； sin 30° ＝40sin(45° asin C 20sin 45° c＝ sin A ＝ sin 30° ＝20 2， 2.
∴sin Acos A＝sin Bcos B．即 sin 2A＝sin 2B. ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π， π 即 A＝ B 或 A＋ B＝ 2 . ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[悟一法] (1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手， 也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定 理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的
sin A sin B sin C 即cos A＝cos B＝cos C.∴tan A＝tan B＝tan C. 又∵A、B、C∈(0，π)， ∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
关系或大小，从而作出准确判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要 特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三 角形”的区别． a b (3)若 R 为△ABC 的外接圆半径，则 ＝ sin A sin B c ＝ ＝2R. sin C
asin C 2 3sin 90° 当 B＝60° 时，C＝90° ，c＝ sin A ＝ sin 30° ＝4 3； asin C 2 3sin 30° 当 B＝120° 时，C＝30° ，c＝ sin A ＝ sin 30° ＝2 3. ∴B＝60° ， C＝90° ， c＝4 3或 B＝120° ， C＝30° ， c＝2 3.
＝2sin C· cos C.
∴2sin(A＋B)· cos(A－B)＝2sin C· cos C.
∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C， ∴sin(A＋B)＝sin C≠0.∴cos(A－B)＝cos C. ∴cos(A－B)＋cos(A＋B)＝0. ∴2cos Acos B＝0⇒cos A＝0或cos B＝0. 即A＝90°或B＝90°.∴△ABC是直角三角形.
[通一类] 1．已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的 长为1，求最小边的长．
解： 设△ABC 三内角 A＝45° ， B＝60° ， 则 C＝75° . ∵C>B>A，∴最小边的长为 a. c· sin A 1×sin 45° ∵c＝1，∴由正弦定理得 a＝ sin C ＝ sin 75° ＝ 3－1，即最小边的长为 3－1.
妙解
法一：由正弦定理，
a b c 令 ＝ ＝ ＝k(k>0)， sin A sin B sin C 得 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k≠0)， cos A cos B cos C 代入已知式子得 ＝ ＝ . ksin A ksin B ksin C
sin A sin B sin C ∴cos A＝cos B＝cos C. ∴tan A＝tan B＝tan C. 又∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C. ∴△ABC 为等边三角形．
[通一类]
3．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
满足acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
解：acos A＋bcos B＝ccos C① a b c 又由正弦定理，sin A＝sin B＝sin C＝2R>0， ∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．代入①中 得 2Rsin Acos A＋2Rsin Bcos B＝2Rsin Ccos C. 即 sin Acos A＋sin Bcos B＝sin Ccos C. 由二倍角公式得 sin 2A＋sin 2B＝sin 2C， 即 sin [(A＋B)＋(A－B)]＋ sin [(A＋B)－(A－B)]
[通一类] 2．根据下列条件解三角形： (1)a＝10，b＝20，A＝60° ； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30° .
解：(1)由正弦定理得：sin B＝ ＝ 3＞1，∴三角形无解．
bsin A 20· sin 60° ＝ a 10
bsin A 6sin 30° 3 (2)由正弦定理得：sin B＝ a ＝ ＝2， 2 3 ∴B＝60° 或 120° .
a b c 法二：由正弦定理得sin A＝sin B＝sin C. cos A cos B cos C 又∵ a ＝ b ＝ c ， a cos A b cos B c cos C ∴sin A· a ＝sin B· b ＝sin C· c . cos A cos B cos C ∴ sin A ＝ sin B ＝ sin C .
[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 12 5π csin B ∴B＝12，b＝ sin C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
[研一题] [例3] 在△ABC中，a2tan B＝b2tan A，试判断三
角形的形状．
[自主解答]
在△ABC 中，由正弦定理，
a b 得sin A＝sin B， a sin A a2 sin2A ∴b＝sin B.∴b2＝sin2B.
2 2 a tan A tan A sin A 2 2 又∵a tan B＝b tan A，∴b2＝tan B，∴tan B＝sin2B.