第60课时 椭圆(2)
椭圆的定义及标准方程第二课时
宝应县范水高级中学备课纸学科：数学 执教者：卢浩 执教班级：高二（4）（5） 日期： 年 月 日 教学内容: 椭圆标准方程(二)教学目的要求；1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；教学重点；椭圆的标准方程及定义教学难点：椭圆标准方程的推导教学方法：学导式学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。
3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程一、基础题： １已知椭圆方程为1112022=+y x ,那么它的焦距是（ ） A.6 B.3 C.331 D.312、1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 .3、已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （23,25-）， 则椭圆标准方程是______.二、例题讲授：例1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.（3）已知椭圆经点33(1,),(3,2，求椭圆方程。
练习：(1) 两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，且经过点(5，0)的椭圆方程为___________；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26的椭圆的标准方程为______________________。
例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹例3、P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=60°， 求△PF 1F 2的面积.例4、求过点A （-1，-2）且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程练习1、 方程22212x y m m +=-表示椭圆的充要条件是_______________。
椭圆及其几何性质课件-高三数学一轮复习
B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c， 从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)， 令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离 心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2
椭圆的简单性质(第2课时)课件(北师大选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
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第二章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
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第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
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第二章 圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
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第二章 圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推 进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问 飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地 点是解题的关键．
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．,椭圆的简单几何性质1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．32B．34C ．22 D ．23答案：A4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．答案：[－5，5]椭圆的简单几何性质求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，所以a ＝3，b ＝2，所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－a ，0)，(a ，0)，(0，－b )，(0，b )，焦点坐标是(－c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝ca，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2，0)，B 2(2，0)．利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由题意知a ＝3， 又因为e ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3， 又因为e ＝63，所以a 2－b 2a 2＝e 2＝23.即a 2－9a 2＝23.所以a 2＝27.所以椭圆方程为y 227＋x 29＝1.求椭圆的离心率(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】 法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12.【答案】 B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1.(2017·青岛高二检测)A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．解析：如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点． 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， 所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率e ＝3－1. 答案：3－12．(2017·日照高二检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤ 2c ， 因为e ＝ca ，0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，11．椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示，即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．2．椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O 为坐标原点，点P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋b 2a 2（a 2－x 2）＝c 2x 2＋a 2b 2a.因为－a ≤x ≤a ，所以当x ＝0时，|PO |有最小值b ，这时点P 在短轴的端点B 1或B 2处；当x ＝±a 时，|PO |有最大值a ，这时点P 在长轴的端点A 1或A 2处．3．椭圆离心率的意义1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：选B.椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1解析：选A.圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.4．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．解析：根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 又因为a 2－b 2＝c 2， 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.答案：45, [A 基础达标]1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3解析：选B.过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.故选B.2．(2017·泉州高二检测)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或153解析：选B.当k ＞5时，e ＝c a ＝k －5k ＝105，k ＝253.当0＜k ＜5时，e ＝c a ＝5－k 5＝105，k ＝3.故选B.3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：选D.因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为长轴长为12，所以a ＝6.又椭圆的离心率为13，即c a ＝13，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32，故椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，22解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为10，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最大值与最小值之和为________．解析：椭圆的长半轴长为10，短半轴长为5，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为5，最大值为10，其和为15.答案：157．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3. 解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， 所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.10．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， 所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2，所以－2＜t ＜－1.所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．[B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63. 答案：6313．(2017·武汉高二检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2， 即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c 2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12② 由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c 2b， 即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c 2b. 因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c 2b＝0， 可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12， 所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1， 即x 2＋2y 2＝1.。
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
VB6.0程序设计教案_第59、60课时
5.2 绘制圆、椭圆和扇形上课时间：2014年 6月 4日备课时间：2014年 6月 1日【教学目标】1、掌握circle的使用方法；【教学重点】circle的使用方法【教学难点】circle的使用方法【教具】多媒体、计算机【教学过程】一、复习1、Pset和Line语句的用法？二、导入上一节讨论了Visual Basic中学习了Pset和Line语句的用法。
本节课我们来通过制作小程序，学习circle语句的用法。
三、自主学习在本任务中，通过调用CIRCLE方法在图像框中绘制出圆、椭圆和扇形。
Circle方法用于在对象上画圆、椭圆或弧，语法格式如下：Object.circle [step] (x,y),radius, [color,start,end,aspect]其中object是一个可选参数，用于指定执行circle方法的对象，如果省略该参数，则以当前具有焦点的窗体作为执行对象。
Step是一个可选项，用此项可将圆、椭圆或弧的中心指定为相对坐标，参考点的坐标即为当前对象的CurrentX和CurrentY属性值。
（x,y）和radius都是必选参数，它们的值为单精度浮点型。
（x,y）用于指定圆、椭圆或弧的中心坐标。
Radius用于指定圆、椭圆或弧的半径。
圆心坐标和半径所用的度量单位由对象的ScaleMode属性决定，默认值为1，此时的度量单位是缇（TWIP）。
Color是一个可选参数，其值是一个长整型数，用于指定圆周的RGB颜色，可以用VISUAL BASIC预定义的符号常量来设置color参数，也可以用RGB函数或QBColor函数指定颜色。
如果省略color参数，则使用窗体的ForeColor属性值。
使用Circle方法时，应注意以下几点。
1、如果要填充圆或椭圆，应把所属对象的FillStyle属性设置为除1（透明）以外的其他值，并选择适当的FillColor属性。
只有封闭图形才能填充，这里所说的封闭图形包括圆、椭圆和扇形。
3.1.1 椭圆及其标准方程备课笔记
3.1.1 椭圆及其标准方程本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。
以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置 教材第105页教材第109页新教材 内容 分析 椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。
通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，培养数学抽象的核心素养．2.掌握椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养．3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点：运用标准方程解决相关问题（一）新知导入椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
探究取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F 1,F 2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？（二）椭圆及其标准方程 知识点一 椭圆的定义◆椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 集合语言表示：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}【思考】(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？【做一做】下列说法正确的是（ ）A ．到点12(4,0),(4,0)F F 的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆知识点二 椭圆的标准方程【探究2】根据椭圆的形状，我们怎样建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单呢？你能推导出椭圆的标准方程吗？椭圆的标准方程√(x +c)2+y 2+√(x −c)2+y 2=2a . ①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得√(x +c)2+y 2=2a −√(x −c)2+y 2，②对方程②两边平方，得(x +c)2+y 2=4a 2 −4a√(x −c )2+y 2+(x −c)2+y 2， 整理得a 2−cx =a√(x −c )2+y 2， ③对方程③两边平方，得a 4−2a 2cx +c 2x 2=a 2x 2−2a 2cx +a 2c 2+a 2y 2， 整理得 (a 2−c 2)x 2+a 2y 2= a 2(a 2−c 2) ， ④ 将方程④两边同除以a 2(a 2−c 2)，得x 2a 2+y 2a 2−c 2=1. ⑤ 由椭圆的定义可知2a >2c >0 ，即a >c >0，所以a 2−c 2>0. 观察下图，你能从中找出表示a ，c ，√a 2−c 2的线段吗？由图可知，|PF 1|=|PF 2|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c , |PO |=√a 2−c 2 令b = |PO |=√a 2−c 2,那么方程⑤就是x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) ⑥称焦点在x 轴上的椭圆方程.类似的方法，将焦点置于y 轴时，可得焦点在y 的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).◆椭圆的标准方程【做一做1】已知椭圆中a ＝5, c ＝3, 焦点在x 轴上，则椭圆标准方程为________． 【做一做2】椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)【做一做3】(教材P109练习1改编)设P 是椭圆x 216＋y 225＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若P 到焦点F 1的距离是3，则P 到另一焦点F 2的距离等于( )A ．10B ．8C ．7D ．51.求椭圆的标准方程例1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142.【类题通法】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0).(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c 的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．再根据条件确定m 、n 的值．3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．将点的坐标代入解方程组求得系数．【巩固练习1】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．2.椭圆标准方程的判定例2.若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72C.72<m <16 D ．m >72【类题通法】方程x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，n ＞0，m ＞n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＜n .【巩固练习2】命题p ：方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A ．3<m <5B ．4<m <5C ．1<m <5D ．m >13.椭圆的定义及应用例3.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 先根据方程求出a 、b 、c 的值，再利用椭圆的定义和余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|的值．最后利用三角形的面积公式求出S △F 1PF 2.【类题通法】1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a . 2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． 【拓展】椭圆焦点三角形的性质1．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、解三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．如求△F 1PF 2的面积问题，|PF 1|·|PF 2|的最值问题．2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量．3．关于椭圆中的焦点三角形△F 1PF 2，常出现的结论有： (1)△F 1PF 2的周长为2a ＋2c ；(2)若点P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积S ＝b 2tan θ2.在选择题、填空题中可以直接使用此公式求椭圆焦点三角形的面积．(3)对于椭圆上的点P ，∠F 1PF 2随着点P 从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2最大．【巩固练习3】如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[分析] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．4.与椭圆有关的轨迹问题例4.如图，一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[分析] 根据两圆内切的特点，得出|MA|＋|MB|＝6＞|AB|＝4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进而求出a2，b2即可得点M的轨迹方程．【类题通法】定义法求轨迹方程如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．【巩固练习4】已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．1.已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 29＋y 24＝1C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 2.椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．83.若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．4.如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.1椭圆及其标准方程 -A 基础练一、选择题 1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过左焦点F '作倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，则PQF △的周长为（ ）A ．B ．C ．6D ．83.（2020·天津一中期中）若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2，0)，则a =（ ）A B C D 4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）5．（多选题）已知椭圆22:13620x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，定点(1,4)A ，若点P是椭圆E 上的动点，则1||PA PF +的值可能为（ ）A ．7B ．10C ．17D ．196．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上一点，12,F F 是其两个焦点，则12F PF ∠的大小可能为（ ）A ．34πB ．23πC ．2πD ．4π二、填空题7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为 .8.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为 .9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______．10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示，12F F 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 2b 的值为 .三、解答题11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)c ∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C ，它的中心在坐标原点，左焦点为F （﹣，0），且过点D （2，0）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知点A （1，），当点P 在椭圆C 上变动时，求出线段PA 中点M 的轨迹方程．3.1.1 椭圆的标准方程 -B 提高练一、选择题1．（202010=的化简结果为（ ）A ．2212516x y += B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=2.如果方程x 24−m +y 2m -3=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A.(3,4)B.(72,+∞) C.(3,72)D.(72,4)3．（2020全国高二课时练习）“15m <<”是“方程22215x y m m+=--表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2020·东辽县第一高级中学校高二期中）已知在ABC ∆中，点()2,0A -，点()2,0B ，若tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．22148x y +=B ．22148x y +=（2x ≠±） C ．22148x y -=D ．22184x y +=（2x ≠±）5．（多选题）已知P 是椭圆22194x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，且121cos 3F PF ∠=，则（ ）A ．12PF F △的周长为12B ．12PF F S ∆=C ．点P 到xD ．122PF PF ⋅=6．（多选题）设P 是椭圆C :x 22+y 2=1上任意一点,F 1,F 2是椭圆C 的左、右焦点,则( )A.|PF 1|+|PF 2|=2√2B.-2<|PF 1|-|PF 2|<2C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2D.0≤PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1 二、填空题 7．（2020怀仁市高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 顶点(3,0)A -和(3,0)C ，顶点B 在椭圆2212516x y +=上，则sin sin 2sin A C B+=_ _． 8. （2020·九江市第三中学期中）已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是__．9.（2020全国高二课时练）如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .10．（2020·宁夏银川一中期中）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若2232AF BF =，122BF BF =，则椭圆C 的方程为 . 三、解答题11.（2020全国高二课时练）（2020全国高二课时练）已知椭圆M 与椭圆N :x 216+y 212=1有相同的焦点,且椭圆M 过点(-1,2√55). (1)求椭圆M 的标准方程;(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆M 上,且△PF 1F 2的面积为1,求点P 的坐标.12．如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点M (43,13),且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若R ,S 是椭圆C 上的两个点,线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ,O 为坐标原点,求证:P ,O ,M 三点共线.。
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第60课时 椭圆（2）
一、 考纲要求
二、知识梳理
3.椭圆中的通径与焦半径分别指的是什么？
三、自主研习
1.椭圆13
42
2=+y x 的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于 ．焦点在 轴上，焦点坐标分别是 和 ；离心率=e ；左顶点坐标是 ；下顶点坐标是 ；椭圆上点),(00y x P 的横坐标的范围是 ，纵坐标的范围 ．
2．若椭圆2214x y m +=，则实数m = ． 3. 如果方程k ky x =+2
2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ．
4. 椭圆x 225＋y 2
9＝1上有一点P ，它到左准线的距离是5
2
，则点P 到右焦点的距离是 ．
5．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（a ＞b ＞0）的左焦点为F, C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连结,,
AF BF 若4
10,8,cos 5AB BF ABF ==∠=，则C 的离心率e =__________.
6．在平面直角坐标系中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点P 是椭圆上一点，l
为左准线，,PQ l ⊥垂足为.Q 若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.
四、合作探究
【例1】已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF AB ⊥,
则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 ．
变式(1) 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，如果21BF BF ⊥，那么椭
圆的离心率为 ．
变式(2) 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为1F ，2F ，如果椭圆上存在点P ，满足21PF F ∠︒=90，
则椭圆离心率的取值范围为 ．
【例2】已知F 是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点． （1）求PA ＋3
2
PF 的最小值，并求点P 的坐标；
（2）求PA ＋PF 的最大值和最小值．
变式：设P 是椭圆15
92
2=+y x 上一点，M 、N 分别是两圆：1)2(22=++y x 和1)2(22=+-y x 上的点，则PN PM +的最小值为 ，最大值分别为 ．
【例3】如图，椭圆22
22+=1(>>0)x y C a b a b
：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM
的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说
明理由.
第60课时 椭圆（2）同步训练题
1．若椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线方程为4x =-，则该椭圆的标准方程为 __________ ．
2．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
3.如图Rt △ABC 中，AB=AC=1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为 .
4．椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞4)的离心率的取值范围是__________．
5. “0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 条件．
6. 已知椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的离心率为2
，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相
交于,A B 两点，若2AF FB =
，则k =_________.
7．已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的中心、右焦点和右顶点分别为O,F,A ，右准线与x 轴的交点
为H ，则
FA
OH
的最大值为__________. 8.已知A 、B 是椭圆19252222=+a y a x 上的两点，2
F 是椭圆的右焦点，如果,5
8
||||22a BF AF =+ AB 的中点到椭圆左准线距离为
23
，则椭圆的方程 ． 9.如图，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线
AF
2交椭圆于另 一 点B .
(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；
(2)若222AF F B = ，132
AF AB =
，求椭圆的方程．
10．如图，在平面直角坐标系中，椭圆C:)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点(1,0)F ，直线AB 经过点F 交
椭圆C 于A,B 两点.当AB x ⊥轴时，3AB =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点(4,3)P ,记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的最大值.
11. 在平面直角坐标系中，椭圆C:)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为12，右焦点(1,0)F ，点P 在椭圆C
上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222x y b +=相切于点M.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求PM PF 的取值范围；
（3）若OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标t 的值.。