2021届高一数学单元测卷北师大版必修第一册第四章 对数运算与对数函数(基础过关原卷版)
2021-2022学年北师大版数学必修第一册单元测试附答案第四章对数运算与对数函数.docx
第四章对数运算与对数函数考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 若对数logu-1)(4A —5)有意义，则x 的取值范围是()A.B. §>x>2C. ^>.v>2 或 x>2D. 2S S A <32. 已知 log7 [log3 (log 2X )] =0,那么『2 等于( )A. |B.平3 6 C 也 D 吏 s 4"9 3. 若 y=logs6 • log6? • log 78 • log 89 • log 910,贝!J () A.汽(0, 1) B.汽(1,2) C. ye (2, 3)D. 03, 4) 4. 设函数/(x) =10g2%,若六。
+1)>2,则"的取值范围为()A. (—1,3) B. (—8, 3) C. (一8, 1)D. (-1, 1) ］（3。
一1）尤+4。
，x>L5.已知/（x ） =1 是R 上的减函数，那么"的取值范围是（）〔log* x^l6.在同一直角坐标系中，函数y=^,y=log«^r+£）, （o>0且o#0）的图象可能是（1-3 1-7 一︓(O A.A 23A.-百C J-19D- 24八廿In 2 T In 3 In 5)z8.右u—2，b—3 , c—5，贝！J (A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.若10"=4, 10*=25,贝!]( )A. a+/?=2B. b—0=1C. cib>8 (1g 2)2D. Z?—«>lg 610.若0>a>l,则下列四个不等式中成立的是()A. log。
2021北师大版数学必修第一册章末综合测评4 对数运算与对数函数
下列命题： ①h(x)的图象关于原点(0，0)对称； ②h(x)的图象关于 y 轴对称； ③h(x)的最小值为 0； ④h(x)在区间(－1，0)上单调递增． 其中正确的是________．(把正确命题的序号都填上) ②④ [∵f(x)的图象与 g(x)＝2x 的图象关于 y＝x 对称， ∴两者互为反函数，f(x)＝log2x(x>0)， ∴h(x)＝f(1－|x|)＝log2(1－|x|).又 h(－x)＝h(x)， ∴h(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，故 h(x)的图象关于 y 轴对称，∴②正确，而① 不正确． ∵当 1－|x|的值趋近于 0 时，h(x)的函数值趋近于－∞， ∴h(x)的最小值不是 0，∴③不正确． 设－1<x1<x2<0，则 1－|x2|>1－|x1|， 又∵y＝log2x 是单调增函数， ∴log2(1－|x2|)>log2(1－|x1|)，∴h(x2)>h(x1)，∴h(x)在区间(－1，0)上单调递增， ∴④正确．] 四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或
故定义域为(－∞，1).
又∵loga(a－ax)＜logaa＝1， ∴f(x)＜1，即函数值域为(－∞，1). (2)证明：在(－∞，1)上任取 x1，x2，且 x1＜x2， f(x)在(－∞，－1)为减函数，
f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝logaaa－－aaxx12，∵a＞1，x1＜x2＜1， ∴ax1＜ax2＜a， ∴0＜a－ax2＜a－ax1， ∴aa－ －aaxx12＞1，∴logaaa－－aaxx12＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(－∞，1)上为减函数．
第四章 对数运算与对数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷(B卷)(含解析)
对数运算与对数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为( )A. B.C. D.2.以下四种说法中，正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的，C.对任意的，D.不一定存在，当时，总有3.已知函数，若，则( )A. B. C. D.14.已知函数，若，使得恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B.，C. D.5.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. B. C. D.6.已知是奇函数，若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值域为( )2()ln()f x x x =-(,0)(1,)-∞+∞ ][(),01,-∞+∞ (0,1)[0,1]0x >log n a x x >0x >log x a a x>0x 0x x >log x n a a x x>>331,0()log (1),0x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩()2f a =(1)f a +=3log 23log 103log 5()2()log a f x x ax a =-+0x ∃∈R ()0()f x f x ≥14a <<04a <<1a ≠01a <<4a ≥13log 2a =2log 3b =0.32c -=a b c>>b a c>>c a b>>b c a>>21()log 1f x x a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭()g x ()f x y x =()g xA. B.C. D.7.已知，，且，则的最小值为( )A.10B.9C. D.8.函数（，，），若，则a 的值为( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.已知函数是R 上的偶函数,且在上单调递增,,,,则下列说法正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.C.函数在区间上单调递减D.函数在处取到最大值11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(,2)(2,)-∞-+∞ (2,2)-1a >1b >lg 12lg a b =-log 2log 4a b +9lg 28lg 2()log (1)log (1)a a f x x x =++-0a >1a ≠x ⎡∈⎢⎣max min ()()1f x f x -=6log 3a =6log 2b =1a b +=3log 2b a=-61log 29a =-26log 241b =+()1y f x =+()f x [)1,+∞()2log 8a f =()ln 2b f =-()ln 2e c f =()y f x =1x =c b a<<()y f x =(],1-∞()f x 1x =C.当时,D.当时,若,则实数a 的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.化简___________.13.设函数.若,则ab 的最小值为________.14.若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m ，函数上是增函数，则的值是____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数.(1)求函数的定义域;(2)求y 的最大值,并求取得最大值时的x 值.16.（15分）已知实数a ，b 满足，.（1）用a 表示；（2）计算的值.17.（15分）已知函数,.（1）当时,判断函数的奇偶性并证明;（2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称?若存在,求出的值（用a 表示）;若不存在,请说明理由.18.（17分）已知函数是偶函数.(1)求k 的值.(2)若函数,,是否存在实数m 使得的最小值为0？若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.()0f x ≥()()2lg 10x f x a x =+-a ∈R 1a =()f x 0a >1a ≠0x x =()f x 0x x =0x 0a ={()()}3N f x g x ⊗=0a <{()()}1N f x g x ⊗=(,1]-∞-13251log 5log 88-⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭()()ln()f x x a x b =++()log a f x x =0a >1a ≠1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()(32g x m =+)+∞a m -()24log 23y x x =+-32a =3log 41b =33log 4log 6-9944a a b b --+++()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()()12421f x x x h x m +=+⋅-[]20,log 3x ∈()h x19.（17分）已知函数（1）求实数k 的值;（2）若对任意都有成立,求t 的取值范围;（3）若存在,,且,使得函数在区间上的值域为,求实数m 的取值范围.()f x =[3,5]x ∈()3f x t >-α(1,)β∈+∞αβ<()f x [,]αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案以及解析1.答案：A解析：函数有意义,,解得或,所以函数的定义域为.故选：A.2.答案：D解析：对于A ，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B 、C ，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.3.答案：B解析：当时，，无解，当时，，所以，故选：B.4.答案：A解析：已知函数，若，使得恒成立，即函数存在最小值，所以的图像与x 轴相离，且函数在上为增函数，所以，解得，所以实数a 范围是.故选：A.5.答案：D解析：因为为减函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；2()ln()f x x x =-20x x ->0x <1x >2()ln()f x x x =-(,0)(1,)-∞+∞ 01a <<1a >0n >0x 0x x >log x n a a x x >>1a >0n >0a <()312a f a =-=0a ≥3()log (1)28f a a a =+=⇒=3(1)(9)log 10f a f +==()2()log a f x x ax a =-+0x ∃∈R ()0()f x f x ≥()f x 2u x ax a =-+log a y u =(0,)+∞21()40a a a >⎧⎨--<⎩104a a >⎧⎨<<⎩(1,4)13log y x =1133log 2log 10a =<=0a <2log y x =22log 321log b =>=1b >因为为增函数，所以，即；所以.故选：D.6.答案：A解析：因为可得或，所以的定义域为或.因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得所以的定义域为.因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，故的值域即为的定义域.故选A.7.答案：C解析：令.因为，，所以，当且仅当的最小值为.故选C.8.答案：C解析：由题意得，，令，则，2x y =0.300221c -<=<=01c<<b c a >>21()log 1f x x a ⎛=+ +⎝110x a x a ++=>+1x a <--x a >-()f x {1xx a <--∣}x a >-()f x 1a a --=a =()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()f x y x =()g x ()f x ()g x ()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 2a m ==log 4b ==a =lg 4b n ==lg 12lg a =-4lg 21n+=1a >1b >lg 24lg 2log 2log 4()1()a b m n m n mn ⎛⎫+=+⨯=+⋅+ ⎪⎝⎭4lg 2lg 25lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2m n nm ⎛⎫=++≥+=+= ⎪⎝⎭4lg 2m n =b ==2log 4a b +9lg 22()log (1)log (1)lo )g (1a a a f x x x x =++-=-x ⎡∈⎢⎣21t x =-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则函数，，即，.当时，在上单调递增，由可得，解得；当时，在上单调递减，由可得，解得9.答案：AC解析：对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，故C 正确；对于D ，，故D 错误.10.答案：ABC解析：由函数是R 上的偶函数,所以函数的图象关于y 轴对称,因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以C 正确;又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的,所以的图象关于对称,所以A 正确;因为,,,因为且函数在上单调递增,所以,即,所以B 正确;因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以函数在处取到最小值,所以D 不正确.故选：ABC.[)1,+∞()()()2ln 23f f f <-<c b a <<()f x [)1,+∞()f x (],1-∞()f x 1x =()2()log 1a f x x =-x ⎡∈⎢⎣()log a g t t =1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1a >()log a g t t =1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦max min ()()1f x f x -=1log 1log 12a a -=2a =01a <<()log a g t t =1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦max min ()()1f x f x -=1log log 112a a -=a =666log 3log 2log 61a b +=+==66632log 2log 3log log 23b a -=-=≠266622log 3log 3log a --=-==666log 241log 412log 212b =+=+=+()1y f x =+()1y f x =+()f x [)1,+∞()f x (],1-∞()1y f x =+()y f x =()y f x =1x =()()2log 83a f f ==()()ln 22ln 2b f f =-=+()()ln 2e 2c f f ==3ln 221>+>()f x当时,,数形结合所以在内有3个整数解当时,作出函数若,即只需满足,即所以时,实数12.答案：0a =()2g x =1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭0a <()f x ={}()()1N f x g x ⊗=log (2)(2)(1)(1)f g f g ⎧⎨<⎩…log 0⎧⎨⎩{()()}1N f x g x ⊗=1-解析：原式.故答案为：.13.答案：解析：当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,综上所述,,即,所以故答案为:14.答案：3解析：当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为2，因此有，，此时在上是减函数，不符合题意.综上所述，，，.故答案为：3.15.答案：(1);(2)y的最大值为1,此时.2a=()g x=()213a m-=--=()logaf x x=()log af x x=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦11log222af⎛⎫==⎪⎝⎭a=44==-()g x=-[)0,+∞2a=1m=-()133ln53ln22231ln2ln5--=-⋅=-=-1-0.251x b≥-+()ln ln10x b+≥=()0f x≥0x a+≥10b a-++≥1b x b-<≤-+()ln ln10x b+≤=()0f x≥0x a+≤10b a-++≤10b a-++=1b a=+()2112ab a a a⎛⎫=+=+⎪⎝⎭== 1a>()log af x x=()log af x x=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2(4)log42af==21log12m==-[)0,+∞01a<<3a m-={13}x x-<<∣1x=解析：(1)由题意,解得,所以函数的定义域为;(2)因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以y 的最大值为1,此时.16.答案：（1）解析：（1）由题意可知，所以.（2）由题得，所以17.答案：（1）偶函数,证明见解析;（2）存在符合题意.解析：（1）当时,,函数为偶函数,证明如下:,又函数的定义域为R ,函数为偶函数;（2）假设存在直线,使得函数的图像关于直线对称,则,3log 2a =33332log 4log 6log log 2113a -==-=-431log 3log 4b ==2230x x +->13x -<<{13}x x -<<∣()2224314x x x =--+-≤+()244log 23log 41y x x =+-≤=1x =1x =1a -3344log 2log 2log 3log 399449944a a b b ----+++=+++()()3322log 2log 2221133322333--=+++=+++=0lg x a =1a =()()2lg 101x f x x =+-()f x ()()()2lg 101xx x f -∴=+---1102lg 10x xx +=+()()2lg 1102lg 10x xx =+-+()()2lg 101x x f x =+-=∴()f x 0x x =()f x 0x x =()()00f x x f x x =+-,即,即,,即,,,即,且,,故存在,使得函数的图像关于直线对称.18.答案：(1)(2)存在,m 的值为-1解析：(1)函数是偶函数,,即,,∴(2)假设存在满足条件的实数m .由题意,可得,.令,则,.令,.的图象开口向上,对称轴为直线,即时,;,即时,,解得（舍去）;()()002lg 10x x a x x +∴+-+()()002lg 10x x a x x -=+--()()00lg 10lg 10x x x x a a x +-+-+=0010lg 10x x x x a x a +-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭00101010x x x x x a a+-+∴=+()00101010x x x x x a a +-+=+01010x x a =+⋅()()000101010x x x a a ∴+-=-0100x a ∴-=010x a =0a > 1a ≠0lg x a ∴=0lg x a =()f x 0x x =12k =- ()f x ∴()()f x f x -=()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++∴()()444441log 41log 41log log 4241x x x x x x kx ---++-+===-=+k =()42x x h x m =+⋅[]20,log 3x ∈2x t =[]1,3t ∈242x x m t mt +⋅=+()2t t mt ϕ=+[]1,3t ∈)t =12m ≥-()()min 11t m ϕϕ==+1=-3<62m -<<-()2min 024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭0m =当,即时,,解得（舍去）.综上,存在实数m 使得的最小值为0,此时实数m 的值为-1.19.答案：（1）（2）, 即对定义域内任意x 恒成立,所以,即,显然,又当时,为满足题意的值. （2）由（1）知可以判断出在上为增函数.所以在上为增函数,对任意都有成立,则有,所以,所以,所以求t 的取值范围为;（3）由（2）知在上为增函数,又因为函数在上的值域为,所以,且,所以,即,32m -≥6m ≤-()()min 3930t m ϕϕ==+=3m =-()h x 1±(),3ln 2-∞-()lnf x =()()0f x f x +-=()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-21k =1k =±1k ≠-1k =1=()f x =12ln ln(1)11x x x -=-++()f x ()1,+∞()f x ()3,5[3,5]x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-31(3)ln 331f t -=>-+3ln 2t <-(),3ln 2-∞-()f x ()1,+∞()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩αβmx =问题等价于方程在上有两个不等实根,令,即211022m mmx x⎛⎫--+-=⎪⎝⎭()1,+∞()2112mh x mx x⎛⎫=--+⎪⎝⎭12m=21124(1)4(1022(1)0mmm mmhmm>->∆=--->=>252mmm m⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或m<<。
2021-2022学年新教材高中数学 第4章 对数运算与对数函数测评(含解析)北师大版必修第一册
第四章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f (x )=11-x+lg(1+x )的定义域是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)f (x )=11-x+lg(1+x )有意义,应满足{1+x >0,1-x ≠0,解得(-1,1)∪(1,+∞).a=0.993,b=log 20.6,c=log 3π,则( ) A.c<a<b B.b<c<a D.b<a<c<a=0.993<1,b=log 20.6<0,c=log 3π>1, 故选D .f (x )=log a (2x +b-1)(a>0,且a ≠1)的部分图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A.0<a -1<b<1 B.0<b<a -1<1 C.0<b -1<a<1 -1<b -1<1,函数f (x )在R 上为增函数,故a>1.y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由题中函数图象可知-1<log a b<0,解得1a <b<1.综上有0<1a <b<1.a ,b 满足2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b ),则1a +1b 的值为( )A.36B.72C.108D.1722+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b ),得log 2(4a )=log 3(27b )=log 6(a+b ).设2)=log 3(27b )=log 6(a+b )=k ,则有4a=2k ,27b=3k ,a+b=6k ,所以108ab=2k ×3k =6k =a+b , 即1+1=108,故选C .5.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )=x 2,f 2(x )=4x ,f 3(x )=log 2x ,f 4(x )=2x ,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ( ) A.f 1(x )=x 2 B.f 2(x )=4x =log 2x D.f 4(x )=2xf (x )=|lnx -12|,若a>0,b>0,且a ≠b ,f (a )=f (b ),则ab 等于( ) B.e -1 C.e D.e 2函数f (x )=|lnx -12|,a ≠b ,f (a )=f (b ),|lna -2|=|lnb -12|,∴ln a-12=ln b-12或ln a-12=12-ln b , 即ln a=ln b 或ln(ab )=1, 解得a=b (舍)或ab=e, .故选C .f (x )=a x +log a x (a>0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )A.1B.14C.2D.4y=a x 与y=log a x 在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x [1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍C .y=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y|0<y ≤1},则函数y=log a |x|的大致图象是( )y=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y|0<y ≤1},则0<a<1,由此可知y=log a |x|A 中的图象.9.若函数f (x )={log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)a>0时,-a<0,若f (a )>f (-a ),则log 2a>lo g 12[-(-a )],即log 2a>lo g 12a ,此时a>1;当0时,-a>0,若f (a )>f (-a ),则lo g 12(-a )>log 2(-a ),此时,-1<a<0.a 的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在区间[0,+∞)上单调递增,若a=f (log √2√3),b=f (log √3√2),c=f (-2),则a ,b ,c 的大小关系是( ) B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a1<log √2√3<log √22=2,0<log √3√2<log √3√3=1, log √3√2<log √2√3<2.因为函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增, 所以f (lo g √3√2)<f (lo g √2√3)<f (2).因为f (x )是偶函数,所以a=f (log √2√3)=f (-log √2√3)=f (log √2√3), b=f (log √3√2)=f (-log √3√2)=f (lo g √3√2),c=f (-2)=f (2),所以b<a<c.y=lo g 12(6+x-x 2)的单调递增区间是( )A.(-∞,12] B.(-2,12] C.[1,+∞) D.[12,3),需6+x-x 2>0,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3).令t=-x 2+x+6=-(x -12)2+254, 则函数t 在区间[12,3)上单调递减,所以函数y=lo g 12(6+x-x 2)在区间[12,3)上单调递增,即函数y=lo g 12(6+x-x 2)的单调递增区间是[1,3).lg 1+2x +(1-a )3x3≥(x-1)lg 3对任意的x ∈(-∞,1]恒成立,则实数a 的取值范围是( ),0] B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)lg 1+2x +(1-a )3x3≥lg3x-1,得1-a )3x 3≥3x-1,1+2x +(1-a )3x ≥3x ,1+2x ≥a ·3x ,即(13)x +(23)x≥a 对任意的x ∈(-∞,1]恒成立.设f (x )=(13)x +(23)x,x ∈(-∞,1], 则f (x )min =f (1)=13+23=1,∴a ≤1.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上) 13设函数f (x )=3x +9x ,则f (log 32)= .(log 32)=3log 32+9log 32=2+4=6.y=f (x )的图象和函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象关于直线y=x 对称,且函数(x-1)-3,则函数y=g (x )的图象必过定点 .y=f (x )的图象和函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象关于直线y=x 对称,x )=a x ,故函数g (x )=f (x-1)-3=a x-1-3,则函数y=g (x )的图象必过定点(1,-2).-2)15.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )<0,则实数a 的取值范围是 .{a >0,log 2a <0或{a <0,log 12(-a )<0,得0<a<1或a<-1.-∞,-1)∪(0,1)R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x+1)=f (1-x ),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +65,则f (log 220)= .f (x+1)=f (1-x )及f (-x )=-f (x ),得f (-x )=f (2+x )=-f (x ), 4)=-f (x+2)=f (x ),又log 224<log 220<log 225,即4<log 220<5, 则4-log 220∈(-1,0),所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-(24-log 220+65)=-(2log 245+65)=-2.2(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)计算下列各式的值:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+lo g √2√22;(2)lg √10lg0.01.:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+lo g √2√22=1-3lg21+lg5-(1+2lg2)+lo g √2(√2)-1=1-3lg21-lg2-2lg2-1=1-3lg21-3lg2-1=0. =lg (8×125)-lg (2×5)lg1012·lg10-2=lg103-lg1012lg10·(-2lg10)=3-112×(-2)=-2. 18.(12分)光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,至少用多少块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们的光线在原强度的13以下?(lg 3≈0.477 1)n 块玻璃时,光线强度在原强度的13以下,得(1-10%)n ≤13,即0.9n ≤13, 即·lg0.9≤lg 13, ∴n ≥lg13lg0.9=lg31-2lg3≈11.故至少用11块这样的玻璃.19.(12分)已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x+3)(a ∈R ). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间.a ,使f (x )的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.∵f (1)=1,4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, ∴f (x )=log 4(-x 2+2x+3).由-x 2+2x+3>0,得-1<x<3,故函数定义域为(-1,3).设函数u=-x 2+2x+3,则函数u 在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减. 又函数y=log 4u (u>0)为增函数,∴f (x )的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3).(2)假设存在实数a ,使f (x )的最小值为0,则函数h (x )=ax 2+2x+3应有最小值1,因此应有{a >0,12a -44a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f (x )的最小值为0.20.(12分)已知函数f (x )=a log 2x+b log 3x ,其中常数a ,b 满足ab ≠0. (1)若a>0,b>0,证明函数f (x )在定义域内为增函数;a=ln(m 2+2m+3),b=ln 10,解不等式f (3x-1)≤f (x+3).(x )=a log 2x+b log 3x ,其定义域为(0,+∞). x 1,x 2∈(0,+∞),x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a log 2x 1+b log 3x 1-(a log 2x 2+b log 3x 2)=a (log 2x 1-log 2x 2)+b (log 3x 1-log 3x 2). ∵0<x 1<x 2且y=log 2x 和y=log 3x 在区间(0,+∞)上为增函数, ∴log 2x 1<log 2x 2,log 3x 1<log 3x 2,当a>0,b>0时,有a (log 2x 1-log 2x 2)<0,b (log 3x 1-log 3x 2)<0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在区间(0,+∞)上为增函数.(2)∵a=ln(m 2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]≥ln2>ln1=0,b=ln10>ln1=0, 由(1)可知函数f (x )在区间(0,+∞)上为增函数,∴f (3x-1)≤f (x+3)⇔{3x -1>0,x +3>0,3x -1≤x +3,∴13<x ≤2, ∴原不等式的解集为{x |13<x ≤2}.21.(12分)已知函数f (x )=lg kx -1x -1(k ∈R ). (1)若y=f (x )是奇函数,求k 的值,并求该函数的定义域;y=f (x )在区间[10,+∞)上是增函数,求k 的取值范围.∵f (x )是奇函数,-x )=-f (x ),即lg -kx -1-x -1=-lg kx -1x -1, ∴-kx -1-x -1=x -1kx -1,1-k 2x 2=1-x 2,∴k 2=1,k=±1,而k=1不合题意,舍去,∴k=-1.由-x -1x -1>0,得函数y=f (x )的定义域为(-1,1). (2)∵f (x )在区间[10,+∞)上是增函数,∴10k -110-1>0,∴k>110.又f (x )=lg kx -1x -1=lg (k +k -1x -1), 故对任意的x 1,x 2,当10≤x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2), 即lg (k +k -1x 1-1)<lg (k +k -1x 2-1),∴k -1x 1-1<k -1x 2-1,∴(k-1)·(1x 1-1-1x 2-1)<0. 又∵1x 1-1>1x 2-1,∴k-1<0,∴k<1.综上可知k ∈(110,1).22.(12分)已知a ∈R ,f (x )=log 2(1x +a)(x>0).(1)若函数f (x )过点(1,1),求函数f (x )的解析式;(2)若函数g (x )=f (x )+2log 2x 只有一个零点,求实数a 的取值范围;(3)设a>0,若对任意实数t ∈[13,1],函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值的差不1,求实数a 的取值范围.∵a ∈R ,函数f (x )=log 2(1x +a)(x>0)的图象过点(1,1), =log 2(1+a )=1,解得a=1,∴函数f (x )=log 2(1x +1)(x>0).(2)g (x )=f (x )+2log 2x=log 2(1x +a)+2log 2x=log 2(x+ax 2). ∵函数g (x )=f (x )+2log 2x 只有一个零点, ∴ax 2+x=1在区间(0,+∞)上只有一个解. 令h (x )=ax 2+x-1.∴当a=0时,h (x )=x-1,只有一个零点1,成立;当a ≠0时,h (x )=ax 2+x-1在区间(0,+∞)上只有一个零点,又h (0)=-1<0,∴a>0,或{a <0,Δ=1+4a =0,即a>0,或a=-14. 综上,实数a 的取值范围为{a |a ≥0,或a =-14}.(3)f (x )=log 2(1x +a)=log 2(1+axx ). 任取0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log 2(1+ax 1x 1)-log 2(1+ax 2x 2)=log 2x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2. 由于x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2>1,所以log 2x 2+ax 1x 2x 1+ax 1x 2>0,所以f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数,∴函数f (x )在区间[t ,t+1](t ∈[13,1])上的最大值与最小值分别是f (t )与f (t+1). 由题意,得f (t )-f (t+1)≤1,即1+at t ·t+11+at+a≤2, 整理,得a ≥1-tt 2+t .设Q (t )=1-t t 2+t ,任取13≤t 1<t 2≤1, 则Q (t 1)-Q (t 2)=1-t 1t 12+t 1−1-t 2t 22+t 2=(t 2-t 1)[t 1+1+t 2(1-t 1)](t 12+t 1)(t 22+t 2)>0,∴Q (t 1)>Q (t 2), ∴函数Q (t )在t ∈[13,1]上为减函数, ∴a ≥Q (13),即a ≥1-13(13)2+13,a ≥32, ∴实数a 的取值范围是[32,+∞).。
北师大版高中数学必修第一册章末质量检测(四)对数运算与对数函数课件
(2)若函数F(x)＝f(x)－ln [(2－a)x＋3a－3]有唯一零点，求实数a的取 值范围；
6．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象 正确的是( )
答案：B
答案：B
答案：C
9．已知x，y为正实数，则下列等式错误的是( ) A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y
4．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D
答案：C
解析：对于函数f(x)＝3ax－1－1(a>0，且a≠1)， 令x－1＝0，求得x＝1，y＝2，可得它的图象恒过定点(1，2)， 所以m＝1，n＝2. 对于函数g(x)＝log2(x2－x－6)，则t＝x2－x－6>0， 所以x<－2，或x>3，故函数的定义域为{x|x<－2，或x>3}． 函数g(x)＝log2(x2－x－6)的单调递增区间，即t＝x2－x－6在定义域 内的增区间， 由二次函数的性质可得，t＝x2－x－6>0在定义域内的增区间为(3， ＋∞)．故选C.
(3)当a取何值时，图象在y轴的左侧？
解析：由图象在y轴的左侧可知：当x<0时，ax－1>0，解得0<a<1.
17．(15分)已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求实数k的值；
(2)若f(2)<0，求使不等式f(kx＋x2)＋f(x＋1)<0对一切x∈R恒成立的 实数k的取值范围；
2021届高一数学单元测卷北师大版必修第一册第四章 对数运算与对数函数(基础过关解析版)
第四章 对数运算与对数函数基础过关第I 卷（选择题）一、单选题1．计算式子ln 21lg 2lg 5e --的值为（ ）A ．—1B ．12 C ．3D ．—5 【答案】A【解析】【分析】根据对数的基本运算求解即可.【详解】ln 211lg 2lg lg 22155e ⎛⎫--=÷-=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.2．已知实数ln3a =，2ln 3e b =，4log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】A【解析】【分析】利用对数函数ln y x =的单调性比较a 、b 的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出a 、c 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，因为233e <，所以2e ln ln 33b a =<=， 0ln 2ln 1e <<=，ln30>，42ln 3log 9log 3ln 3ln 2c a ===>=，所以b a c <<， 故选：A.【点睛】 本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.3．函数()()log 431a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点为（ ）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据函数log ay x =过定点()1,0，令431x -=求解. 【详解】因为函数log a y x =过定点()1,0，令431x -=，解得1x =，而()()1log 41311a f =⨯-+=，所以()f x 的图象恒过的定点为()1,1.【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】A【解析】【分析】 先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可．【详解】解：由210x ->得1x <-，或1x >，则函数的定义域为()(),11,-∞-+∞， 又函数21y x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为(),1-∞-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域，属于易错的基础题．5．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ） A ．2B ．3或13C ．4或12D ．2或12【解析】【分析】分别讨论1a >和01a <<，然后利用对数函数的单调性，代入计算即可得出答案.【详解】①当1a >时，函数()log a f x x =在定义域内为增函数，则由题意得()2log 2log 2a a a a -=，解得2a =；①当01a <<时，函数()log a f x x =在定义域内为减函数，则由题意得()2log log 22a a a a -=，解得a =； 综上可得：2a =. 故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于一般难度的题.6．设13,3()log (2),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则f [f (11)]的值是（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e -【答案】B【解析】【分析】由分段函数解析式，结合对数函数及指数函数求值即可.【详解】解：由分段函数解析式可得：233(11)log (112)log 32f =-==，则[(11)](2)f f f e ==，故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了对数函数及指数函数求值问题，属基础题.7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D ，从而选B .【详解】 因为11011ln 1f e e e e⎛⎫==> ⎪⎝⎭--，所以A 错； 因为11()0ln 12f e e e e ==>---，所以C 错；因为()222211()ln 13f e f e e e e ==<---，所以D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题.8．函数()lg 1f x x =-的定义域是( ) A ．[)4+∞， B ．()10+∞，C ．()()4,1010，⋃+∞ D ．[)()4,1010，⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】 由函数()lg 1f x x =-有意义，可得40lg 100x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩，解不等式组可得定义域. 【详解】要使函数()f x =40lg 100x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪>⎩， 解得：41100x x x ≥⎧⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩，即4x ≥且10x ≠， 所以函数的定义域为：[)()4,1010,⋃+∞.故选D.【点睛】本题考查函数的定义域，一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.9．设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．-2C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】 利用1(2)2f =求出a ，求出()f x 即可求解. 【详解】 由()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =， 所以1(2)log 22a f ==，即122a = 解得4a =，所以4()log f x x =， 所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查了求对数函数的表达式，指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.10．化简()1002lg lg 2lg(lg )a a +的结果是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】由对数运算性质可知100l l g 100g aa =，再利用lg(100lg )lg100lg(lg )a a =+，化简计算可得结果.【详解】 原式2lg(100lg )2[lg100lg(lg )]22lg(lg )2lg(lg )a a a a +===++. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算性质，考查计算能力，属于基础题.11． 已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝lg x ，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意，得2lg 0a b =≥，即1b ≥；故选C ． 12．在同一坐标系中，函数1()xy a =与log ()a y x =-（其中0a >且1a ≠）的图象的可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】对底数a 讨论．如果a>1，则指数函数单调递减，对数函数递减，没有选项符合．当0<a<1,则指数函数递增，对数函数递减，故选择C第II 卷（非选择题）二、填空题13．设102a =，lg3b =，则5log 12=________. 【答案】21a b a【解析】【分析】首先变指数式为对数式求得a ，把2log 6运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有2lg 和3lg 的式子，代入a 和b 后可的结果．【详解】解：由102a =，得：2a lg =，又因为3b lg =， 所以()25lg 32lg12lg32lg 22log 1210lg5lg10lg 21lg 2b a a ⨯++====--⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：21b a a+-． 【点睛】本题主要考查对数值的求法，以及对数的运算，考查了对数的换底公式，关键是从102a =，求得a 的值，属于基础题．14．函数()21log 2y x =-的定义域是__________． 【答案】()()2,33,+∞【解析】【分析】 根据题意可得出x 所满足的不等式组，进而可解得原函数的定义域.【详解】由题意可得()320log 20x x ->⎧⎨-≠⎩，即2021x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且3x ≠. 因此，函数()21log 2y x =-的定义域是()()2,33,+∞.故答案为：()()2,33,+∞.【点睛】 本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.15．设函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则()2log 20f =________. 【答案】45-【解析】【分析】 先确定2log 20的范围，然后由周期性的奇函数定义可求值．【详解】易知24log 205<<，①函数()f x 是以4为周期的奇函数，①()2log 20f =225(log 204)(log )4f f -=2254(log )(log )45f f =--=-=24log 5425-=-． 故答案为：45-． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性和周期性，解题时利用对数函数性质确定2log 20所在的相邻两个整数之间，然后利用周期性把自变量变小，再由奇函数性质转化到区间[1,0)-上，然后求值．16．已知2x ＝7y ＝196，则11x y+=_____． 【答案】12． 【解析】【分析】把已知的等式指数幂形式转化对数形式，求出,x y ，再用换底公式，即可求出结论.【详解】2727196,log 196,log 196x y x y ==∴==，219619614111log 2log 7log 142x y +=+==. 故答案为:12【点睛】本题考查指数幂和对数之间的关系，考查换底公式，属于基础题.三、解答题17．计算下列各式的值:(1)lg 4lg 25+; (2)(3)752log 4)2(⨯; (4)2(lg 2)lg 20lg 5+⨯.【答案】(1)2 (2)25(3)19(4)1 【解析】【分析】（1）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（2）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（3）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.（4）利用对数运算公式，化简求得表达式的值.【详解】(1)lg 4lg 25lg(425)lg1002+=⨯==.(2)1512lg100lg10055===. (3)757522222log 42log 4log 27log 45log 2725119()⨯=+=+=⨯+⨯=. (4)2210(lg 2)lg 20lg 5(lg 2)lg(102)lg 2⎛⎫+⨯=+⨯⨯ ⎪⎝⎭2(lg 2)(1lg 2)(1lg 2)=++⨯-22(lg 2)1(lg 2)=+-1=.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知定义在R 上的函数f （x ）＝kx +log 9（9x +1）（k ①R ）（1）若k ＝0，求函数f （x ）的值域；（2）若函数f （x ）是偶函数，求实数k 的值．【答案】（1）（0，+∞）；（2）k 12=-． 【解析】【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性进行求解即可；（2）利用偶函数的性质进行求解即可.【详解】（1）k ＝0时，()()991x f x log =+， ①9x ＞0，①9x +1＞1，①()99log 91log 10x +=＞，①f （x ）的值域为（0，+∞）；（2）①f （x ）是偶函数，①f （﹣x ）＝f （x ），①()()()()()9999919119191x x x x kx log kx log x k x log kx log --++=-++-=-+++=++， ①﹣（k +1）x ＝kx ，①﹣（k +1）＝k ，解得k 12=-． 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了偶函数的性质，考查了数学运算能力.19．已知对数函数()f x 过点()8,3.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的定义域；（2）若()()11f x f x ->+，求x 的取值范围. 【答案】（1）2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）设()log a f x x =，代入点()8,3计算即可；（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.【详解】解：（1）设()log a f x x =，log 83,2a a =∴=，所以2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）由已知得1010,1011x x x x x ->⎧⎪+>⇒-<<⎨⎪->+⎩，所以x 的取值范围是(1,0)-.【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.20．已知函数f(x)=log a (2−x)+log a (4+x)(a >0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−2，求实数a 的值．【答案】(1) f(x)定义域为{x|−4<x <2}；(2)a =13．【解析】【分析】(1)由对数式的真数大于0联立不等式组求解；(2)利用导数的运算性质化简函数f(x)，结合f(x)的最小值为−2可得log a 9=−2，由此求得a 值．【详解】解：(1)要使函数有意义，必有{4+x >02−x>0 ，得−4<x <2．∴f(x)定义域为{x|−4<x <2}；(2)∵f(x)=log a [(2−x)(4+x)]，∴f(x)=log a (−x 2−2x +8)=log a [−(x +1)2+9]，∴f(x)min =log a 9=−2，即a −2=9，解得a =13或a =−13．又∵a >0且a ≠1，∴a =13．【点睛】本题考查对数型函数的定义域及其值域的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是基础题． 21．设==a b c x y z ，且111a b c +=，求证：z xy = 【答案】证明见解析.【解析】【分析】首先设===a b c x y z k ，得到log =x a k ，log =y b k ，log =z c k ，根据111a b c+=得到111log log log +=x y z k k k，再利用换底公式即可证明. 【详解】设===a b cx y z k ，0k >，则log =x a k ，log =y b k ，log =z c k . 因为111a b c+=，所以111log log log +=x y z k k k ， 即log log log +=k k k x y z .所以()log log =k k xy z ，即z xy =.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于简单题.22．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<【解析】【分析】 （1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若1m =，()()22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809m ≤<【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
第4章对数运算和对数函数 综合测试-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第一册期末复习
北师大新版数学必修第一册第四章对数运算和对数函数综合测试题一、单选题1．函数()()lg 4f x x =-的定义域是（ ） A ．()2,4 B ．()3,4 C ．()(]2,33,4 D ．[)()2,33,42．下列函数中在区间(),0-∞上是递增的函数的是（ ）A ．1y =B ．2log y x =C ．21y x =-+D ．1y x= 3．已知函数()2lg 1,0()(3),0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()3f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．10 4．设a ＝(12)0.5，b ＝30.5，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c <a <b B ．a <b <c C ．b <a <c D ．a <c <b 5．若a ，b ，c 是实数，则“a b >”是“ln ln c a c b >”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件6．设4log 52m =，则4m = （ ） A ．125 B ．25 C ．15 D7．为了得到函数3log y =可将函数3log y x =的图象上所有的点（ ） A ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变，再向右平移2个单位长度B ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度C ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度D ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度8．若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．()2,5 B ．()1,2- C ．()2,+∞ D ．(),2-∞ 9．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．22log log a b > D ．22a b < 10．已知函数()2ln 3f x x x =++,若()3log 4f a ≤,则a 的取值范围为（ ）A ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．(]11133⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， D ．[)3+∞，11．若函数()()()()2,12log ,1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()0,112．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ）A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-13．若251log log 2a b ==，则lg ab =________． 14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=，又当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则12log 7f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于______.15．若函数()()2log 3a f x x ax =-+（0a >且1a ≠），满足对任意的1x 、2x ，当122a x x <≤时，()()120f x f x ->，则实数a 的取值范围为___________． 16．已知函数()21,1,4log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩函数是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．解下列方程.（1）()22log log 232x +=⎡⎤⎣⎦；（2）21.842xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 18．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-．（1）判断函数()()()F x f x g x =-的奇偶性并证明； （2）若()0F x >成立，求x 的取值范围．19．已知()()()33log 2log 2f x x x =+--（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）解不等式()1f x >.20．已知1a >，函数131()log 1log 222a a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值. 21．已知函数()2ln 2ax f x x +=+，且()f x 不恒为0． （1）若()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）若()()x f g x e =，且函数()g x 在()0,1上单调递减，求实数a 的取值范围．22．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.（1）求()f x 的函数解析式：（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围.参考答案1．D【分析】根据函数解析式，利用分式、根式、对数的性质即可求函数定义域.【详解】要使函数有意义，则203040x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即23x ≤<或34x <<，故函数的定义域为[)()2,33,4．故选：D ．2．C【分析】根据各选项的函数类型判断其单调性可得选项．【详解】对于A 选项：1y =是常函数，在区间(),0-∞上是递增不成立，故A 不正确；对于B 选项：2log y x =的定义域为()0,+∞，所以函数在区间(),0-∞上是递增不成立，故B 不正确；对于C 选项：21y x =-+在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，故C 正确； 对于D 选项：1y x=在(),0-∞和()0,+∞上单调递减，故D 不正确， 故选：C ．3．B【分析】根据分段函数的解析式直接计算即可.【详解】(3)(0)(3)lg101f f f -====.故选：B.4．A【分析】借助中间值0和1，进行比较大小.【详解】 因为0.5011122⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0.5102⎛⎫> ⎪⎝⎭，00.5133>=，33log 0.2log 10<=；所以b a c >>；故选：A.5．B【分析】根据必要不充分定义进行判断可得答案.【详解】当0c 时ln ln c a c b =，ln ln c a c b >不成立， 当ln ln c a c b >时，得()ln ln 0c a b ->，所以ln ln 0a b ->即a b >.故选：B.6．D【分析】由对数化为指数可得答案【详解】由4log 52m =，可得4log m =4m =故选：D.7．A【分析】 将函数转化为()31log 23y x =-，再利用伸缩变换和平移变换求解. 【详解】因为()331log log 23y x ==-， 所以将3log y x =纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到， 故选：A8．A【分析】令245t x x =-++，则13log y t =，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.【详解】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵13log y t =在定义域上单调递减， 由复合函数的单调性可得：()213()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选：A.9．C【分析】利用二次函数2y x 的单调性可判断A 选项的正误；利用反比例函数1y x=的单调性可判断B 选项的正误；利用对数函数2log y x =的单调性可判断C 选项的正误；利用指数函数2x y =的单调性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于二次函数2y x 在()0,∞+为增函数，且0a b >>，则22a b >，A 选项错误；对于B 选项，由于反比例函数1y x =在()0,∞+上为减函数，且0a b >>，则11a b<，B 选项错误；对于C 选项，由于对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，且0a b >>，则22log log a b >，C 选项正确；对于D 选项，由于指数函数2xy =为R 上的增函数，且0a b >>，则22a b >，D 选项错误.故选：C.【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，再解不等式即可【详解】由题意知()2ln 3f x x x =++的定义域为{}0x x ≠，且()()2-ln 3=f x x x f x =++为偶函数，易知当0x >，()2ln 3f x x x =++为单调递增函数，且()14f = ，则()()33331log 1log 1log 411log 0a a f a f a a -≤≤⎧≤⎧≤=∴∴⎨⎨≠≠⎩⎩，，解得：1[,1)(1,3]3a ∈⋃ 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是判断函数的单调性及奇偶性，发现()14f =11．C【分析】()f x 是R 上的增函数，则每个分支所对应的函数是增函数，分段点处的函数值需满足(2)1log 12a a a -⨯-≤，列出不等式组即可得到答案. 【详解】 因为()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以201(2)1log 12a a a a a ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-⨯-≤⎩，解得423a ≤< 故选：C关键点睛：在处理分段函数的单调性时，除了每个分支所对应的函数具有单调性外，还要注意分段点处的函数值的大小.12．A【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则 ()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.13．12【分析】先由指对互化求出ab ，再利用对数的运算得出结果． 【详解】由题意因为251log log 2a b ==，所以根据指对数互化可得122a ==125b ==1211lg lg10lg1022ab =====，故答案为：12． 14．34-【分析】由题可知函数的周期为2，结合奇函数性质可得11227log 7log 4f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解. 【详解】()()2f x f x +=，()f x ∴是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴1111222277log 7log 72log log 44f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12277log log 44731212414-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.故答案为：34-. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解，解题的关键是判断出函数的周期为2，利用周期性和奇函数的性质得出11227log 7log 4f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再代入解析式求解. 15．( 【分析】由题意可知，函数()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，利用复合函数的单调性分析出外层函数()log a y u x =的单调性，再由02a u ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，函数()f x 在,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，由于内层函数()23u x x ax =-+在区间,2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，外层函数()log a y u x =单调递增，则1a >，且当,2a x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，()0u x >恒成立，即2223302224a a a a u ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1a >，解得1a <<因此，实数a的取值范围是(.故答案为：(. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点： （1）对底数a 进行分类讨论；（2）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性； （3）不要忽略了真数要恒大于零. 16．1142a ≤≤ 【分析】由112011114a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪⎪--≥-⎩解得结果即可得解. 【详解】因为函数()21,1,4log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数， 所以112011114a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪⎪--≥-⎩，解得1142a ≤≤.故答案为：1142a ≤≤. 【点睛】解决分段函数的单调性时，需考虑函数在每一段区间上的单调性，还需考虑函数在各区间的端点处的函数值的大小关系.17．（1）132x =；（2）25x =. 【分析】（1）利用对数与指数的转化由外到内可解出x 的值； （2）利用指数的运算性质可得出524x =，由此可解得x 的值. 【详解】 （1）()22log log 232x +=⎡⎤⎣⎦，()22log 2324x ∴+==，则423216x +==，解得132x =； （2）由21.842xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()2354222x x x -=⋅=，52x ∴=，解得25x =.18．（1）()F x 是奇函数；证明见解析；（2）3(0,)2x ∈. 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义证明即可；（2）由()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，再由对数函数的单调性可得32320x x ，从而可求出x 的取值范围【详解】解：（1）()F x 是奇函数.由320320x x +>⎧⎨->⎩，得定义域为33(,)22Ix I ∀∈，都有x I -∈()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-∴()F x 是奇函数（2）由()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +--> 即ln(32)ln(32)x x +>- 由函数的单调性得32320x x ，则3(0,)2x ∈.19．（1）奇函数；证明见解析；（2）()21-，.【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断；（2）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意，因为()()()33log 2log 2f x x x =+--，所以2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得－2<x <2，所以函数()f x 的定义域为()22-，，关于原点对称， 因为()()()()()()3333log 2log 2log 2log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 为()22-，上的奇函数； （2）因为()()()3332log 2log 2log 2xf x x x x+=+--=-， 所以22232x x x-<<⎧⎪+⎨>⎪-⎩，解得－2<x <1，所以不等式()1f x >的解集为()21-，.20．（1）()2,3-；（2）43. 【分析】（1）由真数大于0可得定义域；（2）由2113()log 442a f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，可求真数2113442t x x =-++在51,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时最小值，进而可得解. 【详解】（1）由已知110231022x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，∴23x x >-⎧⎨<⎩，∴23x -<<，∴定义域为()2,3-.（2）2131113()log 1log 222442a a f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-++⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵51,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2211311254424216t x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭当52x =时min 916t =，且1a >，∴min 9()log 216af x ==-， ∴2916a-=，∴2169a =，∴43a =.21．（1）1-；（2）21a -≤<.【分析】（1）由条件可知()()f x f x -=-，由此列出关于a 的方程，求解出a 的值；（2）先计算出()g x 的解析式，采用分离常数的方法对()g x 进行变形，然后结合单调性和对数的真数大于零列出关于a 的不等式组，求解出a 的取值范围. 【详解】（1）由奇函数的定义可知：()()f x f x -=-，即222lnln ln 222ax ax x x x ax -+++=-=-+++，则：2222ax x x ax -++=-++22244x a x ⇔-=-1a ⇔=±，又当1a =时，()f x 恒为0，矛盾，所以1a =-．（2）()()f xg x e=在()0,1x ∈上单调递减，()202ax g x x +∴=>+在()0,1x ∈上恒成立，且()22222ax ag x a x x +-==+++在()0,1x ∈上单调递减，()()min 2103a g x g +∴==≥且220a ->， 解得：21a -≤<. 【点睛】结论点睛：常见函数的单调性分析：（1）一次函数()()0f x kx b k =+≠：当0k >时，在R 上递增，当0k <时，在R 上递减； （2）反比例类型的函数()()0kf x k x a=≠-，当0k >时，在(),a -∞和(),a +∞上递减；当0k <时，在(),a -∞和(),a +∞上递增；（3）二次函数()()20f x ax bx c a =++≠：当0a >时，在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当0a <时，在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减. 22．（1）()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.【分析】（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ；（2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】（1）设0x <，0x ->，()232f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++.综上：()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()2232log 1x x -<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()()0,12,3x ∈，同理可知：0x <，()2232log 1x x +<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---，综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.【点睛】求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.。
第四章 对数运算和对数函数 章末检测试卷(四)(含解析)高中数学 北师大版(2019)必修 第一册
章末检测试卷(四) [时间:120分钟 分值:150分]一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列函数中,随着x的增大而增加速度最快的是( )A.y=1e x B.y=100x100C.y=x100D.y=100×2x2.计算:log225·log522等于( )A.3B.4C.5D.63.函数y=log a(3x-2)(a>0,a≠1)的图象过定点( )A.(0,23)B.(1,0)C.(0,1)D.(23,0)4.函数y=lg x+lg(5-3x)的定义域是( )A.[0,53)B.[0,53]C.[1,53)D.[1,53]5.函数f(x)与g(x)=a x互为反函数,且g(x)过点(-2,4),则f(1)+f(2)等于( )A.-1B.0C.1D.146.设a=log0.14,b=log504,则( )A.2ab<2(a+b)<abB.2ab<a+b<4abC.ab<a+b<2abD.2ab<a+b<ab7.某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快,对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现,该植物在水面的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间t(单位:月,t∈N)的关系为y=8×)t,则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间为(43(参考数据:lg 4≈0.125)( )3A.20个月B.22个月C.24个月D.26个月8.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.函数f (x )=log a (bx )的图象如图,其中a ,b 为常数.下列结论正确的是( )A.0<a <1B.a >1C.b >1D.0<b <110.若ab >0,给出的下列四个等式,不一定成立的有( )A.lg(ab )=lg a +lg bB.lg ab =lg a -lg b C.12lg (a b)2=lg a b D.lg(ab )=1log ab 1011.关于函数f (x )=|ln|2-x ||,下列描述正确的有( )A.函数f (x )在区间(1,2)上单调递增B.函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称C.若x 1≠x 2,但f (x 1)=f (x 2),则x 1+x 2=4D.函数f (x )有且仅有两个零点三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.不等式log 2x <1的解集是 .13.若a =log 23,b =log 32,则ab = ,lg a +lg b = .14.已知f (x )={(3a ―1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是 .四、解答题(本题共5小题,共77分)15.(13分)求值:(1)log89·log2732-(3―1)lg1+log535-log57;(6分)(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.(7分)16.(15分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间[19,6]上的最大值.17.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-lo g12(x+1).(1)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式;(6分)(2)求不等式f(log12x)+f(log2(2x-1))<0的解集.(9分)18.(17分)已知函数f(x)=log3(4x―1)+16―2x的定义域为A.(1)求集合A;(7分)(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.(10分)19.(17分)设f(x)=lo g121―axx―1为奇函数,a为常数.(1)求a的值;(5分)(2)证明:f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;(6分)(3)若在区间[3,4]上的每一个x,不等式f(x)>(12)x+m恒成立,求实数m的取值范围.(6分)答案精析1.A2.A3.B4.C5.A6.D ［因为a=log0.14，b=log504，所以a<0，b>0，所以ab<0，1 a +1b=log40.1+log450=log45∈（1，2），即1<1a +1b<2，所以2ab<a+b<ab.］7.C ［刚投放时的面积为y=8×(43)0=8，设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，则8×(43)t=8×1000，即t=lo g431000=3lg 43≈30.125=24.］8.B ［由函数y=log a x的图象过点（3，1），得a=3.选项A中的函数为y=(13)x，则其函数图象错误；选项B中的函数为y=x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y=（-x）3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y=log3（-x），则其函数图象错误.］9.BC ［∵函数单调递增，∴a>1，又f（1）>0，即log a b>0=log a1，∴b>1.］10.ABD ［∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴AB中的等式不一定成立；∵ab>0，∴ab >0，12lg(ab)2=12×2lg a b =lg ab ，∴C 中等式成立；当ab =1时，lg （ab ）=0，但log ab 10无意义，∴D 中等式不一定成立.］11.ABD ［函数f （x ）=|ln|2-x ||的图象如图所示.由图可得，函数f （x ）在区间（1，2）上单调递增，A 正确；函数y =f （x ）的图象关于直线x =2对称，B 正确；若取f （x 1）=f （x 2）=1，则存在x 1∈（2，3），x 2>3，所以x 1+x 2≠4，C 错误；函数f （x ）有且仅有两个零点，D 正确.］12.｛x |0<x <2｝ 13.1 014.[17，13)解析 ∵f （x ）=log a x （x ≥1）是减函数，∴0<a <1，且f （1）=0.∵f （x ）=（3a -1）x +4a （x <1）为减函数，∴3a -1<0，解得a <13.又∵f （x ）={(3a ―1)x +4a,x <1,log a x,x ≥1是R 上的减函数，∴（3a -1）×1+4a ≥0，解得a ≥17，综上可得17≤a <13，即实数a 的取值范围是[17，13).15.解 （1）原式=lg9lg8×lg32lg27-1+log 5357=2lg33lg2×5lg23lg3-1+1=109.（2）原式=［（log 66-log 63）2+log 62·log 6（2×32）］÷log 64=[(log 663)2+log 62·（log 62+log 632）]÷log 622=［（log 62）2+（log 62）2+2log 62·log 63］÷2log 62=log62+log63=log6（2×3）=1.16.解 因为f（x）=|log3x|={log3x,x≥1,―log3x,0<x<1,所以在［1，+∞）上，f（x）的图象与y=log3x的图象相同，在（0，1）上，f（x）的图象与y=log3x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象，如图所示，由图象可知，函数f（x）的值域为［0，+∞），单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）.当x∈[19，6]时，f（x）在区间[19，1)上单调递减，在（1，6］上单调递增，又f(19)=2，f（6）=log36<2，故f（x）在区间[19，6]上的最大值为2.17.解 （1）当x<0时，-x>0，又f（x）为R上的奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-［-x-lo g12（-x+1）］=x+lo g12（-x+1）.所以函数f（x）在（-∞，0）上的解析式为f（x）=x+lo g12（-x+1）.（2）当x≥0时，f（x）=x+log2（x+1）为增函数，所以f（x）在R上为增函数.由f（lo g12x）+f（log2（2x-1））<0得f（log2（2x-1））<-f（lo g12x）=f（-lo g12x）=f（log2x），所以log2（2x-1）<log2x，所以{0<2x―1,2x―1<x,所以{x>12,x<1,所以12<x<1，所以不等式f(log12x)+f（log2（2x-1））<0的解集为(12，1).18.解 （1）由题意得{4x―1≥1,16―2x≥0,解得12≤x≤4，所以集合A={x|12≤x≤4}.（2）设t=log2x，因为x∈[12，4]，所以t∈［-1，2］，所以y=t2-2t-1=（t-1）2-2，t∈［-1，2］.所以当t=1，即x=2时，g（x）取最小值-2，当t=-1，即x=12时，g（x）取最大值2.19.（1）解 ∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由1―axx―1>0，得（x-1）（1-ax）>0.令（x-1）（1-ax）=0，得x1=1，x2=1a，∴1a=-1，解得a=-1.经验证，a=-1满足题意.（2）证明 由（1）可知f（x）=lo g12x+1 x―1=lo g12(1+2x―1)（x>1），令u（x）=1+2x―1（x>1），对任意1<x1<x2，有u（x1）-u（x2）=(1+2x1―1)-(1+2x2―1)=2（x2―1）―2（x1―1）（x1―1）（x2―1）=2（x2―x1）（x1―1）（x2―1）.因为1<x1<x2，所以x1-1>0，x2-1>0，x2-x1>0，所以2（x2―x1）（x1―1）（x2―1）>0，即u（x1）-u（x2）>0.在（1，+∞）上单调递减.所以u（x）=1+2x―1又因为y=lo g1u（x）在（0，+∞）上单调递减，2所以f（x）在（1，+∞）上单调递增.（3）解 f（x）>(12)x+m在［3，4］上恒成立，即m<f（x）-(12)x在［3，4］上恒成立，令g（x）=f（x）-(12)x.由（2）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）在［3，4］上单调递增.所以g（x）min=g（3）=f（3）-(12)3=-98，所以m<-9，8即实数m的取值范围为(―∞，―98).。
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第四章 对数运算与对数函数基础过关
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．计算式子ln 21
lg 2lg 5e --的值为（ ）
A ．—1
B ．1
2 C ．
3 D ．—5
2．已知实数ln3a =，2
ln 3e b =，4log 9c =，则（ ）
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a b c << 3．函数()()log 431a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点为（ ） A ．()1,0 B ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,1 D ．3
,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．函数()()2lg 1f x x =-的单调递减区间为（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),0-∞
C ．()0,∞+
D ．()1,+∞ 5．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值多2，则a =（ ）
A ．2
B ．3或1
3 C ．4或1
2 D ．2或1
2
6．设13,3()log (2),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则f [f (11)]的值是（ ）
A ．1
B ．e
C ．2e
D ．1e - 7．已知函数1
()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数()lg 1
f x x =-的定义域是( ) A ．[)4+∞，
B ．()10+∞，
C ．()()4,1010，⋃+∞
D ．[)()4,1010，⋃+∞ 9．设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）. A ．2 B ．-2 C ．12- D ．12
10．化简()
1002lg lg 2lg(lg )a a +的结果是（ ）
A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
11． 已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝lg x ，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
12．在同一坐标系中，函数1
()x
y a =与log ()a y x =-（其中0a >且1a ≠）的图象的可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．设102a =，lg3b =，则5log 12=________. 14．函数()
21log 2y x =-的定义域是__________． 15．设函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则()2log 20f =________. 16．已知2x ＝7y ＝196，则11x y
+=_____． 三、解答题
17．计算下列各式的值:
(1)lg 4lg 25+;
(2)
(3)752log 4)2(⨯; (4)2(lg 2)lg 20lg 5+⨯.
18．已知定义在R 上的函数f （x ）＝kx +log 9（9x +1）（k ∈R ） （1）若k ＝0，求函数f （x ）的值域；
（2）若函数f （x ）是偶函数，求实数k 的值．
19．已知对数函数()f x 过点()8,3.
（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的定义域； （2）若()()11f x f x ->+，求x 的取值范围.
20．已知函数f(x)=log a (2−x)+log a (4+x)(a >0且a ≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为−2，求实数a 的值．
21．设==a b c x y z ，且
111a b c +=，求证：z xy =
22．已知函数()()
22log 32f x mx mx =-+，m R ∈. （1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。