【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.5(二) 课时作业
高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修41.对于三角函数线,下列说法正确的是( )A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不一定存在D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时,正切线不存在,但对任意角来说,正弦线、余弦线都存在.2.若角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( )A.y轴上 B.x轴上C.直线y=x上 D.直线y=-x上答案 B解析由题意得|cosα|=1,即cosα=±1,角α终边在x轴上,故选B.A.sin1>cos1>tan1 B.sin1>tan1>cos1C.tan1>sin1>cos1 D.tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x,y),∵π4<1<π2,∴0<x<y<1,从而cos1<sin1<1<tan1.4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b答案 C解析作α=-1的正弦线、余弦线、正切线,可知:b=OM>0,a=MP<0,c=AT<0,且MP>AT.∴c<a<b.5.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( )A.sinα+cosα B.tanα+sinαC.cosα-tanα D.sinα-tanα答案 B解析如图,作出sinα,cosα,tanα的三角函数线.显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|.∵MP>0,AT<0,∴MP<-AT.∴MP+AT<0,即sinα+tanα<0.6.已知MP,OM,AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线,则这三条线从小到大的排列顺序是________.答案OM<MP<AT解析如图,在单位圆中,∠POA=75°>45°,由图可以看出OM<MP<AT.7.利用三角函数线比较下列各组数的大小.(1)tan 4π3与tan 7π6;(2)cos 11π6与cos 5π3.解 (1)如图1所示,设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点,角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ,P ′,PO ,P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ,T ′,则tan 4π3=AT ,tan 7π6=AT ′.由图可知AT >AT ′>0,所以tan 4π3>tan 7π6.(2)如图2所示,设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ,P ′,过P ,P ′分别作x 轴的垂线,分别交x 轴于点M ,M ′,则cos 11π6=OM ′,cos 5π3=OM .由图可知0<OM <OM ′,所以cos 5π3<cos 11π6.答案 0,π4∪π2,5π4∪3π2,2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1,利用三角函数线可得θ的取值范围是0,π4∪π2,5π4∪3π2,2π.9.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32; (2)cos α≤-12;(3)tan α≥-1. 解 (1)作直线y =32交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2k π+π3≤α≤2k π+2π3,k ∈Z .(2)作直线x =-12交单位圆于C ,D 两点,连接OC ,OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π+2π3≤α≤2k +4π3,k ∈Z.(3)在单位圆过点A (1,0)的切线上取AT =-1,连接OT ,OT 所在直线与单位圆交于P 1,P 2两点,则图中阴影部分即为角α终边的范围,所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪-π4+k π≤α<π2+k π,k ∈Z,如图.一、选择题1.已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且方向相同,那么α的值为( ) A .5π4或7π4 B .π4或3π4C .π4或5π4D .π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等,方向相同,所以角α的终边在第一或第三象限,且角α的终边是象限的角平分线,又0<α<2π,所以α=π4或5π4,选C .2.若α是三角形的内角,且sin α+cos α=23,则这个三角形是( )A .等边三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时,由单位圆中的三角函数线知,sin α+cos α≥1,而sin α+cos α=23,∴α必为钝角. 3.如果π<θ<5π4,那么下列各式中正确的是( )A .cos θ<tan θ<sin θB .sin θ<cos θ<tan θC .tan θ<sin θ<cos θD .cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小.由于π<θ<5π4,如图所示,正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ,由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ,故选D .4.若0<α<2π,且sin α<32,cos α>12,则角α的取值范围是( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,π3 B .⎝⎛⎭⎪⎫0,π3 C .⎝⎛⎭⎪⎫5π3,2π D .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,2π.由图2知当cos α>12时,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π,∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π. 5.已知sin α>sin β,那么下列命题正确的是( ) A .若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B .若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C .若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D .若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β 答案 D解析 解法一:(特殊值法)取α=60°,β=30°,满足sin α>sin β,此时cos α<cos β,所以A 不正确;取α=120°,β=150°,满足sin α>sin β,这时tan α<tan β,所以B 不正确;取α=210°,β=240°,满足sin α>sin β,这时cos α<cos β,所以C 不正确.解法二:如图,P 1,P 2为单位圆上的两点, 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且y 1>y 2.若α,β是第一象限角,又sin α>sin β, 则sin α=y 1,sin β=y 2,cos α=x 1,cos β=x 2. ∵y 1>y 2,∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确.若α,β是第二象限角,由图知P 1′(x 1′,y 1′),P 2′(x 2′,y 2′),其中sin α=y 1′,sin β=y 2′,则tan α-tan β=y 1′x 1′-y 2′x 2′=x 2′y 1′-x 1′y 2′x 1′x 2′. 而y 1′>y 2′>0,x 2′<x 1′<0, ∴-x 2′>-x 1′>0,∴x 1′x 2′>0,x 2′y 1′-x 1′y 2′<0,即tan α<tan β.∴B 不正确.同理,C 不正确.故选D . 二、填空题6.若α是第一象限角,则sin2α,cos α2,tan α2中一定为正值的个数为________.答案 2解析 由α是第一象限角,得2k π<α<π2+2k π,k ∈Z ,所以k π<α2<π4+k π,k ∈Z ,所以α2是第一或第三象限角,则tan α2>0,cos α2的正负不确定;4k π<2α<π+4k π,k ∈Z ,2α的终边在x 轴上方,则sin2α>0.故一定为正值的个数为2.7.若0≤θ<2π,且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立,则角θ的取值范围是________.答案π2,π 解析 由三角函数线知,在[0,2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4,5π4,使tan θ<sin θ的角θ∈π2,π∪3π2,2π,故θ的取值范围是π2,π.8.若函数f (x )的定义域是(-1,0),则函数f (sin x )的定义域是________. 答案 -π+2k π,-π2+2k π∪-π2+2k π,2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(-1,0),则f (sin x )若有意义,需-1<sin x <0,利用三角函数线可知-π+2k π<x <2k π,且x ≠-π2+2k π(k ∈Z ).三、解答题9.比较下列各组数的大小:(1)sin1和sin π3;(2)cos 4π7和cos 5π7;(3)tan 9π8和tan 9π7;(4)sin π5和tan π5.解 (1)sin1<sin π3.如图1所示,sin1=MP <M ′P ′=sin π3.(2)cos 4π7>cos 5π7.如图2所示,cos 4π7=OM >OM ′=cos 5π7.(3)tan 9π8<tan 9π7.如图3所示,tan 9π8=AT <AT ′=tan 9π7.(4)sin π5<tan π5.如图4所示,sin π5=MP <AT =tan π5.10.设θ是第二象限角,试比较sin θ2,cos θ2,tan θ2的大小.解 ∵θ是第二象限角,∴2k π+π2<θ<2k π+π(k ∈Z ),故k π+π4<θ2<k π+π2(k∈Z ).作出θ2所在范围如图所示.当2k π+π4<θ2<2k π+π2(k ∈Z )时,cos θ2<sin θ2<tan θ2. 当2k π+5π4<θ2<2k π+3π2(k ∈Z )时,sin θ2<cos θ2<tan θ2.。
2014年人教A版必修四教案 1.2.1任意角的三角函数(2)

课 题:1.2.1 任意角的三角函数(二)教学目标:(1)掌握三角函数的符号;(2)根据定义理解与运用公式一,把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°间的三角函数值.(3)初步应用定义分析与解决与三角函数值有关的一些简单问题. 教学重点:三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).教学难点: 理解转化,灵活运用诱导公式(一). 教学设想: 一、复习回顾:任意角的三角函数定义是什么? 二、探究新知:1.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:例1.求证:当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时,角θ为第三象限角.练习:书P15练习42.提问:角的终边落在坐标轴上三个三角函数值是多少? 完成书上P15练习33.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=, cos(2)cos k απα+=,tan(2)tan k απα+= (其中k Z ∈)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.例2.确定下列三角函数值的符号:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π练习: tan(-666°36’)、tan113π例3.求下列三角函数值:(1)9cos4π; (2)11tan()6π-三、学习小结(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(2)请写出各三角函数的定义域;(3)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?。
2014年人教A版必修四课件 1.2 任意角的三角函数

r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】 点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】 终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P
x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎 样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边 上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边 邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练3(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(三)1.已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12,则sin α的值为( ) A .-32B .-12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α=-12,故选B.答案 B2.若角α的终边经过M (0,2),则下列各式中,无意义的是( ) A .sin α B .cos α C .tan αD .sin α+cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上,所以α=π2+2k π,k ∈Z ,此时tan α无意义.答案 C3.下列命题正确的是( )A .若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角B .若α>β,则cos α<cos βC .若sin α=sin β,则α与β是终边相同的角D .若α是第三象限角,则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ=π时,cos θ=-1,此时π既不是第二象限的角,也不是第三象限的角,故A 错误;当α=390°,β=30°时,cos α=cos β,故B 错误;当α=30°,β=150°时,sin α=sin β,但α与β终边并不相同,故C 错误,只有D 正确.答案 D4.若三角形的两内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形必为( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .以上三种情况都可能解析 ∵α,β为三角形的内角,且sin αcos β<0, 又sin α>0,∴cos β<0,∴β为钝角. ∴三角形为钝角三角形. 答案 B5.设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0),则下列式子中正确的是( ) A .sin α=45B .cos α=35C .tan α=43D .tan α=-43解析 ∵a ≠0,∴tan α=4a 3a =43.答案 C6.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1,则θ所在的象限为( )A .第一或第三象限B .第二或第四象限C .第二或第三象限D .第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1,且y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减,∴sin2θ>0,∴2k π<2θ<π+2k π,k ∈Z , ∴k π<θ<π2+k π,k ∈Z .当k =2n ,n ∈Z 时,2n π<θ<π2+2n π,此时θ在第一象限内.当k =2n +1,n ∈Z时,π+2n π<θ<3π2+2n π,n ∈Z ,此时θ在第三象限内.综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限,故选A. 答案 A7.角α终边上有一点P (x ,x )(x ∈R ,且x ≠0),则sin α的值为________. 解析 由题意知,角α终边在直线y =x 上,当点P 在第一象限时,x >0,r =x 2+x 2=2x ,∴sin α=x2x=22.当点P 在第三象限时,同理,sin α=-22. 答案 ±228.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角.解析 要使原式有意义,必须cos αtan α>0,即需cos α,tan α同号,所以α是第一或第二象限角.答案 一或二9.点P (tan2 012°,cos2 012°)位于第____________象限. 解析 ∵2 012°=5×360°+212°,212°是第三象限角, ∴tan2 012°>0,cos2 012°<0,故点P 位于第四象限. 答案 四10.若角α的终边经过P (-3,b ),且cos α=-35,则b =________,sin α=________.解析 ∵cos α=-39+b2,∴-39+b 2=-35,∴b =4或b =-4.当b =4时,sin α=b9+b2=45,当b =-4时,sin α=b 9+b2=-45. 答案 4或-4 45或-4511.计算sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°.解 原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+0°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0° =1+1+1+1=4.12.一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置.试问蚂蚁离x 轴的距离是多少?解 如下图所示,蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中,OP =6,∠AOP =60°, ∴PA =OP sin60° =6×32=3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13.已知角α的终边落在直线y =2x 上,试求α的三个三角函数值. 解 当角α的终边在第一象限时,在y =2x 上任取一点P (1,2),则有r =5,∴sin α=25=255,cos α=15=55,tan α=2.当角α的终边在第三象限时,同理可求得: sin α=-255,cos α=-55,tan α=2.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练4(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(四)1.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系,有( ) A .sin1>sin1.2>sin1.5 B .sin1>sin1.5>sin1.2 C .sin1.5>sin1.2>sin 1 D .sin1.2>sin 1>sin 1.5 解析π4<1<1.2<1.5<π2,画图易知. 答案 C2.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( ) A .sin α+cos α B .tan α+sin α C .cos α-tan αD .sin α-tan α解析 由α为第二象限角知,sin α>0,tan α<0,由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴-tan α>sin α,即sin α+tan α<0. 答案 B3.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4D.3π4或7π4 答案 D4.依据三角函数线,作出如下判断:①sin π6=sin 7π6;②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4=cos π4;③tan π8>tan 3π5;④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个答案 C5.已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A .x 轴的非负半轴上 B .x 轴的非正半轴上 C .x 轴上D .y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段,得cos α=±1,故角α的终边在x 轴上.答案 C6.已知sin α>sin β,那么下列命题正确的是( ) A .若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B .若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C .若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D .若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β解析 方法一:(特殊值法)取α=60°,β=30°,满足sin α>sin β,此时cos α<cos β,所以A 不正确;取α=60°,β=150°,满足sin α>sin β,这时tan α<tan β,所以B 不正确;取α=210°,β=240°,满足sin α>sin β,这时cos α<cos β,所以C 不正确.方法二:如图,P 1,P 2为单位圆上的两点,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且y 1>y 2.若α,β是第一象限角,又sin α>sin β,则sin α=y 1,sin β=y 2,cos α=x 1,cos β=x 2.∵y 1>y 2,∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确.若α,β是第二象限角,由图知P ′1(x ′1,y ′1),P ′2(x ′2,y ′2),其中sin α=y ′1,sin β=y ′2,则tan α-tan β=y ′1x ′1-y ′2x ′2=x ′2y ′1-x ′1y ′2x ′1x ′2. 而y ′1>y ′2>0,x ′2<x ′1<0, ∴-x ′2>-x ′1>0,∴x ′1x ′2>0,x ′2y ′1-x ′1y ′2<0, 即tan α<tan β.∴B 不正确.同理,C 不正确.故选D.答案 D7.若角α的正弦线的长度为34,且方向与y 轴的正方向相反,则sin α的值为________.答案 -348.比较大小:sin1155°________sin(-1654°)(填“<”或“>”). 答案 >9.已知α∈(0,4π),且sin α=12,则α的值为________.解析 作出满足sin α=12的角的终边,如图:直线y =12交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则终边在OA ,OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α=π6+2k π或α=5π6+2k π,k ∈Z .又α∈(0,4π),所以α=π6或5π6或13π6或17π6答案π6或5π6或13π6或17π610.在(0,2π)内,使sin α>cos α成立的α的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π4,54π11.试作出角α=7π6的正弦线、余弦线、正切线.解 如图:α=7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ,MP ,AT .12.利用三角函数线比较下列各组数的大小. (1)sin 2π3与sin 4π5;(2)tan 2π3与tan 4π5.解如图所示,角2π3的终边与单位圆的交点为P ,其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ,作PM ⊥x 轴,垂足为M ,sin 2π3=MP ,tan 2π3=AT ;角4π5的终边与单位圆的交点为P ′,其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′,作P ′M ′⊥x 轴,垂足为M ′,则sin 4π5=M ′P ′,tan 4π5=AT ′,由图可见,MP >M ′P ′,AT <AT ′,所以(1)sin 2π3>sin 4π5.(2)tan 2π3<tan 4π5.13.利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合: (1)tan α=-1;(2)sin α<-12.解 (1)如图①所示,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点P 和P ′,则OP 和OP ′就是角α的终边,∴∠xOP =3π4=π-π4,∠xOP ′=-π4,∴满足条件的所有角α的集合是{α|α=-π4+k π,k ∈Z }.①②(2)如图②所示,过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12作x 轴的平行线,交单位圆于点P 和P ′,则sin ∠xOP =sin ∠xOP ′=-12,∴∠xOP =11π6,∠xOP ′=7π6,∴满足条件的所有角α的集合是{α|7π6+2k π<α<11π6+2k π,k ∈Z }.。
2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第一章 1.4 1.4.4 三角函数的性质与图象(习题课)

分析:要注意观察函数式的“模样”,不同的“模样”可采 取不同的方法.
π π π 2π 解析:(1)由 x∈ 0,2 ,得 x+ ∈6, 3 , 6
π π 3 π 2π 当 x+ = ,即 x=0 时,ymax= ;当 x+ = , 6 6 2 6 3 π 1 即 x= 时,ymin=- , 2 2
栏 目 链 接
和 y=m 的图象,结合图象可使问题得到解决.
π 13π π 解析:令 x+ =t,则 g(t)=sin t,t∈6, 6 .在同一坐标系 6
中作出 y=sin t 和 y=m 的图象,如图所示.
栏 目 链 接
1 1 从图象可以看出,当 <m<1 和-1<m< 时,两图象有两个交 2 2 点,即方程 g(t)=m,也就是方程 f(x)=m 在 x∈ [0,2π]上有两解. 1 π π 由图象的对称性, 当 <m<1 时, t1+t2=π, 即 x1+ +x2+ = 2 6 6 π,∴x1+x2= 2π ; 3
栏 目 链 接
题型1
函数的最值问题
例1 求下列函数的最值:
π π (1)y=cosx+6,x∈0,2;
栏 目 链 接
(2)y=cos2x-4cos x+5; sin x-2 (3)y= . sin x-1
栏 目 链 接
π x∈0,2时,f(x)的值域为[-5,1].
(1)求常数 a,b 的值;
π (2)设 g(x)=fx+2且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.
分析:(1)已知 f(x)的值域,根据条件列出关于 a,b 的方程, 进而求出 a,b.(2)利用(1)写出 g(x)的表达式,利用整体代换.
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值: (1)sin 230°+cos 230°; (2)sin 245°+cos 245°; (3)sin 290°+cos 290°.由此你能得出什么结论?尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想:对于任意角α,有sin 2α+cos 2α=1,下面用三角函数的定义证明:设角α的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则由三角函数的定义,得sin α=y ,cos α=x .∴sin 2α+cos 2α=x 2+y 2=|OP |2=1.思考2.由三角函数的定义知,tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系?答案.∵tan α=y x ,∴tan α=sin αcos α.梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系:sin 2α+cos 2α=1.②商数关系:tan α=sin αcos α (α≠k π+π2,k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α+cos 2α=1的变形公式 sin 2α=1-cos 2α;cos 2α=1-sin 2α. ②tan α=sin αcos α的变形公式sin α=cos αtan α;cos α=sin αtan α.类型一.利用同角三角函数的关系式求值命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限,求角α的其余三角函数值例1.若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值为(..)A.125B.-125C.512D.-512 答案.D解析.∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=1213,∴tan α=sin αcos α=-512,故选D.反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系,其常用的用途是“知一求二”,即在sin α,cos α,tan α三个值之间,知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限,从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1.已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.解.由tan α=sin αcos α=43,得sin α=43cos α.①又sin 2α+cos 2α=1,②由①②得169cos 2α+cos 2α=1,即cos 2α=925.又α是第三象限角,∴cos α=-35,sin α=43cos α=-45.命题角度2.已知角α的某一三角函数值,未给出α所在象限,求角α的其余三角函数值 例2.已知cos α=-817,求sin α,tan α的值.解.∵cos α=-817<0,且cos α≠-1,∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时,则 sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-8172=1517, tan α=sin αcos α=1517-817=-158.(2)当α是第三象限角时,则sin α=-1-cos 2α=-1517,tan α=158.反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时,若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α=-513,求13sin α+5tan α的值. 解.方法一.∵cos α=-513<0,∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角, 则sin α=1-cos 2α =1-(-513)2=1213,tan α=sin αcos α=1213-513=-125,故13sin α+5tan α=13×1213+5×(-125)=0.(2)若α是第三象限角, 则sin α=-1-cos 2α=- 1-(-513)2=-1213,tan α=sin αcos α=-1213-513=125,故13sin α+5tan α=13×(-1213)+5×125=0.综上可知,13sin α+5tan α=0. 方法二.∵tan α=sin αcos α,∴13sin α+5tan α=13sin α(1+513·1cos α)=13sin α[1+513×(-135)]=0.类型二.利用同角三角函数关系化简 例3.已知α是第三象限角,化简: 1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α.解.原式= (1+sin α)(1+sin α)(1+sin α)(1-sin α)-(1-sin α)(1-sin α)(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)21-sin 2α- (1-sin α)21-sin 2α=1+sin α|cos α|-1-sin α|cos α|.∵α是第三象限角,∴cos α<0.∴原式=1+sin α-cos α-1-sin α-cos α=-2tan α(注意象限、符号).反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α+cos 2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.跟踪训练3.化简:(1)cos 36°-1-cos 236°1-2sin 36°cos 36°;(2)1cos 2α1+tan 2α-1+sin α1-sin α(α为第二象限角).解.(1)原式= cos 36°- sin 236°sin 236°+cos 236°-2sin 36°cos 36°=cos 36°-sin 36°(cos 36°-sin 36°)2=cos 36°-sin 36°|cos 36°-sin 36°|=cos 36°-sin 36°cos 36°-sin 36°=1.(2)∵α是第二象限角,∴cos α<0, 则原式=1cos 2α 1+sin 2αcos 2α-(1+sin α)21-sin 2α=1cos 2α cos 2αcos 2α+sin 2α-1+sin α|cos α|=-cos αcos 2α+1+sin αcos α=-1+1+sin αcos α=sin αcos α=tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明例4.求证:tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.证明.∵右边=tan 2α-sin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α-tan 2αcos 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α(1-cos 2α)(tan α-sin α)tan αsin α =tan 2αsin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan αsin αtan α-sin α=左边,∴原等式成立.反思与感悟.证明三角恒等式的过程,实质上是化异为同的过程,证明恒等式常用以下方法:(1)证明一边等于另一边,一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法:即证左边-右边=0或左边右边=1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证:cos x 1-sin x =1+sin xcos x .证明.方法一.(比较法——作差)∵cos x 1-sin x -1+sin x cos x =cos 2x -(1-sin 2x )(1-sin x )cos x =cos 2x -cos 2x (1-sin x )cos x =0, ∴cos x 1-sin x =1+sin xcos x.方法二.(比较法——作商)∵左右=cos x 1-sin x 1+sin x cos x =cos x ·cos x (1+sin x )(1-sin x )=cos 2x 1-sin 2x =cos 2x cos 2x =1. ∴cos x 1-sin x =1+sin xcos x.方法三.(综合法)∵(1-sin x )(1+sin x )=1-sin 2x =cos 2x =cos x ·cos x , ∴cos x 1-sin x =1+sin xcos x.类型四.齐次式求值问题例5.已知tan α=2,求下列代数式的值.(1)4sin α-2cos α5cos α+3sin α;(2)14sin 2α+13sin αcos α+12cos 2α. 解.(1)原式=4tan α-25+3tan α=611.(2)原式=14sin 2α+13sin αcos α+12cos 2αsin 2α+cos 2α =14tan 2α+13tan α+12tan 2α+1 =14×4+13×2+125=1330. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin 2α+cos 2α代换后,再同除以cos 2α,构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α+cos αsin α-cos α=2,计算下列各式的值.(1)3sin α-cos α2sin α+3cos α; (2)sin 2α-2sin αcos α+1.解.由sin α+cos αsin α-cos α=2,化简,得sin α=3cos α,所以tan α=3.(1)原式=3×3cos α-cos α2×3cos α+3cos α=8cos α9cos α=89.(2)原式=sin 2α-2sin αcos αsin 2α+cos 2α+1 =tan 2α-2tan αtan 2α+1+1=32-2×332+1+1=1310.1.若sin α=45,且α是第二象限角,则tan α的值等于(..)A.-43B.34C.±34D.±43答案.A解析.∵α为第二象限角,sin α=45,∴cos α=-35,tan α=-43.2.已知sin α-cos α=-54,则sin αcos α等于(..)A.74 B.-916 C.-932 D.932答案.C解析.由题得(sin α-cos α)2=2516,即sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=2516,又sin 2α+cos 2α=1,∴1-2sin αcos α=2516,∴sin αcos α=-932.故选C.3.化简1-sin23π5的结果是(..) A.cos 3π5B.sin 3π5C.-cos 3π5D.-sin 3π5答案.C 解析.1-sin23π5= cos23π5=|cos 3π5|, ∵π2<3π5<π,∴cos 3π5<0, ∴|cos 3π5|=-cos 3π5,即1-sin23π5=-cos 3π5,故选C. 4.若tan θ=-2,则sin θcos θ= . 答案.-25解析.sin θcos θ=sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan 2θ+1=-25. 5.已知sin α=15,求cos α,tan α.解.∵sin α=15>0,∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时,cos α=1-sin 2α =1-125=265, tan α=sin αcos α=612;当α为第二象限角时,cos α=-265,tan α=-612.1.利用同角三角函数的基本关系式,可以由一个角的一个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简,结果要求:(1)项数尽量少;(2)次数尽量低;(3)分母、根式中尽量不含三角函数;(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中,已知sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α中的一个,可以利用方程思想,求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用技巧:(1)“1”的代换;(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等);(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等);(4)对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos α=-35,α∈(π2,π),sin β=-1213,β为第三象限角,则sin α·tan β等于(..) A.-4825B.4825 C.13 D.-13答案.B解析.∵cos α=-35,α∈(π2,π),sin β=-1213,β是第三象限角,∴sin α=1-cos 2α=45,cos β=-1-sin 2β=-513,即tan β=125,则sin α·tan β=4825.故选B.2.已知α是第二象限角,tan α=-12,则cos α等于(..)A.-55B.-15C.-255D.-45答案.C解析.∵α是第二象限角,∴cos α<0. 又sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α=-12,∴cos α=-255.3.已知A 是三角形的一个内角,sin A +cos A =23,则这个三角形是(..)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案.B解析.∵sin A +cos A =23,∴1+2sin A cos A =49,∴sin A cos A =-518<0,又∵A ∈(0,π),sin A >0, ∴cos A <0,即A 为钝角.故选B.4.函数y =1-sin 2x cos x +1-cos 2xsin x 的值域是(..)A.{0,2}B.{-2,0}C.{-2,0,2}D.{-2,2}答案.C解析.y =|cos x |cos x +|sin x |sin x .当x 为第一象限角时,y =2;当x 为第三象限角时,y =-2; 当x 为第二、四象限角时,y =0. 5.已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为(..) A.-4 B.4 C.-8 D.8 答案.C解析.tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α.∵sin αcos α=1-(sin α-cos α)22=-18,∴tan α+1tan α=-8. 6.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于(..) A.-43B.54C.-34D.45答案.D解析.sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1, 又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45.7.已知cos x sin x -1=12,则1+sin xcos x 等于(..)A.12B.-12C.2D.-2答案.B解析.利用1-sin 2x =cos 2x ,可得1+sin x cos x =-cos x sin x -1=-12.二、填空题8.已知sin α+2cos αcos α=1,则α在第 象限.答案.二或四解析.sin α+2cos αcos α=tan α+2=1,tan α=-1<0,∴α在第二或第四象限.9.已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan α= . 答案. 3或-13解析.因为sin α+2cos α=102,又sin 2α+cos 2α=1, 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α=-1010,cos α=31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α=31010,cos α=1010,故tan α=sin αcos α=-13或3. 10.在△ABC 中,2sin A =3cos A ,则角A = .答案.π3解析.由题意知cos A >0,即A 为锐角. 将2sin A =3cos A 两边平方,得2sin 2A =3cos A .∴2cos 2A +3cos A -2=0, 解得cos A =12或cos A =-2(舍去), ∴A =π3. 11.若sin θ=-22,tan θ>0,则cos θ= . 答案.-22 12.已知sin αcos α=18,且π<α<5π4,则cos α-sin α= . 答案.-32解析.因为π<α<5π4, 所以cos α<0,sin α<0.利用三角函数线知,cos α<sin α,cos α-sin α=-(cos α-sin α)2=- 1-2×18=-32. 三、解答题13.已知tan α=-12,求1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α的值. 解.原式=(sin α+cos α)2sin 2α-cos 2α=sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=-12+1-12-1=-13. 四、探究与拓展14.若sin α+cos α=1,则sin n α+cos n α(n ∈Z )的值为 .答案.1解析.∵sin α+cos α=1,∴(sin α+cos α)2=1,又sin 2α+cos 2α=1,∴sin αcos α=0,∴sin α=0或cos α=0.当sin α=0时,cos α=1,此时有sin n α+cos n α=1;当cos α=0时,sin α=1,也有sin n α+cos n α=1,∴sin n α+cos n α=1.15.已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +2m =0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:(1)m 的值;(2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ的值(其中cot θ=1tan θ); (3)方程的两根及此时θ的值.解.(1)由根与系数的关系可知,sin θ+cos θ=3+12,① sin θ·cos θ=m .② 将①式平方得1+2sin θ·cos θ=2+32, 所以sin θ·cos θ=34,代入②得m =34. (2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ=sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ=3+12. (3)由(1)得m =34,所以原方程化为2x 2-(3+1)x +32=0,解得x 1=32,x 2=12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ=12,cos θ=32.又因为θ∈(0,π), 所以θ=π3或π6.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4

双基限时练(十一)1.把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的图象,则f (x )为( )A .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +712πB .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +34π C .sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +5π12D .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -512π 解析 用x -π12代换选项中的x ,化简得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的就是f (x ),代入选项C ,有f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12+5π12=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3.答案 C2.下列四个函数中,同时具有:①最小正周期是π,②图象关于x =π3对称的是( )A .y =sin(x 2+π6)B .y =sin(2x +π6)C .y =sin(2x -π3)D .y =sin(2x -π6)解析 当x =π3时,y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3-π6=sin π2=1.∴函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的图象关于x =π3对称,且周期T =2π2=π. 答案 D3.要将y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象转化为某一个偶函数图象,只需将y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象( )A .向左平移π4个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移π8个单位D .向右平移π8个单位解析 把y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向左平移π8个单位即得y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8+π4=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2=cos2x 的图象.因为y =cos2x 为偶函数,所以符合题意.答案 C4.函数y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +π6的相位和初相分别是( )A .-x +π6,π6B .x -π6,-π6C .x +5π6,5π6D .x +5π6,π6解析 因为y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +π6=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +π6=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +5π6,所以相位和初相分别是x +5π6,5π6.答案 C5.如下图是函数y =A sin(ωx +φ)+b 在一个周期内的图象,那么这个函数的一个解析式为( )A .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π6-1 B .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1 C .y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3-1 D .y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1 解析 由图象知A =2--2=3,b =-1,T =5π6-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=π. ∴ω=2πT=2,故可设解析式为y =3sin(2x +φ)-1,代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12,-4,得-4=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12+φ-1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6+φ=-1,∴φ+7π6=2k π-π2(k ∈Z ).令k =1,解得φ=π3,所以y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3-1.答案 C6.将函数f (x )=sin(ωx +φ)的图象向左平移π2个单位长度,若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( )A .4B .6C .8D .12解析 由题意可得,sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x +φω+π2 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +φ+π2ω,则π2ω=2k π,k ∈Z ,所以ω=4k ,k ∈Z ,因为6不是4的整数倍,所以ω的值不可能是6,故选B.答案 B7.使函数f (x )=3sin(2x +5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________. 解析 ∵函数f (x )=3sin(2x +5θ)的图象关于y 轴对称, ∴f (-x )=f (x )恒成立,∴3sin(-2x +5θ)=3sin(2x +5θ),∴sin(-2x +5θ)=sin(2x +5θ),∴-2x +5θ=2x +5θ+2k π(舍去)或-2x +5θ+2x +5θ=2k π+π(k ∈Z ),即10θ=2k π+π,故θ=k π5+π10(k ∈Z ). 答案k π5+π10,k ∈Z 8.若函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R (其中ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f (0)=3,则ω=________, φ=________.解析 由原函数的最小正周期为π,得到ω=2(ω>0).又由f (0)=3且|φ|<π2得到φ=π3.答案 2π39.函数y =-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +2π3的图象与x 轴的各个交点中,离原点最近的一点是__________.解析 令-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +2π3=0.则4x +2π3=k π,∴x =k π4-π6,k ∈Z .故取k =1时,x =π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12,010.将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度,所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,0,则ω的最小值是________. 解析 把f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得:y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,0,∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4-π4=0. ∴sin ωπ2=0.∴ωπ2=k π(k ∈Z ). ∴ω=2k (k ∈Z ).∵ω>0,∴ω的最小值为2. 答案 211.设函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6,ω>0,且以π2为最小正周期. (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π6时,求f (x )的最值.解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2,∴ω=2ππ2=4.∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π6,得4x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π6=-12,即x =-π12时,f (x )有最小值-32,当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π6=1,即x =π12时,f (x )有最大值3.12.设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2,y =f (x )的图象的一条对称轴是直线x =π4.(1)求φ;(2)求函数y =f (x )的单调增区间.解 (1)∵x =π4是y =f (x )图象的一条对称轴,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4+φ=±1. ∴π8+φ=k π+π2,k ∈Z . ∵0<φ<π2,∴φ=3π8.(2)由(1)知φ=3π8,∴f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +3π8.由题意得2k π-π2≤12x +3π8≤2k π+π2,k ∈Z ,即4k π-74π≤x ≤4k π+π4,k ∈Z .∴函数y =f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π-74π,4k π+π4(k ∈Z ).13.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,x ∈R ),在一个周期内的图象如下图所示,求直线y =3与函数f (x )图象的所有交点的坐标.解 由图象得A =2,T =72π-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=4π.则ω=2πT =12,故y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2+φ=0,∴φ=π4. ∴y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π4.由条件知3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π4,得12x +π4=2k π+π3(k ∈Z ), 或12x +π4=2k π+23π(k ∈Z ). ∴x =4k π+π6(k ∈Z ),或x =4k π+56π(k ∈Z ).则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π+π6,3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π+5π6,3(k ∈Z ).。
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§1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象(二)课时目标 1.会用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)的图象.2.明确函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A 、ω、φ为常数,A >0,ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义.理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f (x )=A sin(ωx +φ)图象的对称性(如对称轴,对称中心).1.简谐振动简谐振动y =A sin(ωx +φ)中,______叫做振幅,周期T =______,频率f =______,相位是______,初相是______.定义域 R 值域 __________ 周期性 T =____________奇偶性φ=______________时是奇函数;φ=____________________________时是偶函数;当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由__________________________________________得到,单调减区间可由______________________________得到一、选择题1.函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)为偶函数的条件是( )A .φ=π2+2k π (k ∈Z )B .φ=π2+k π (k ∈Z )C .φ=2k π (k ∈Z )D .φ=k π(k ∈Z )2.已知简谐运动f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π3x +φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A .T =6,φ=π6B .T =6,φ=π3C .T =6π,φ=π6D .T =6π,φ=π33.下列函数中,图象的一部分如下图所示的是( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π6B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6C .y =cos ⎝⎛⎭⎫4x -π3D .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6 4.已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则( )A .ω=1,φ=π6B .ω=1,φ=-π6C .ω=2,φ=π6D .ω=2,φ=-π65.函数y =sin(ωx +φ) (x ∈R ,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A .ω=π2,φ=π4B .ω=π3,φ=π6C .ω=π4,φ=π4D .ω=π4,φ=5π46.设函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π2x +π5,若对于任意x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为( )A .4B .2C .1 D.12题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7.函数y =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6与y 轴最近的对称轴方程是__________.8.已知函数y =sin(ωx +φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图所示,则φ=________.9.函数y =sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x =π6φ的最小值是________.10.关于f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 (x ∈R ),有下列命题①由f (x 1)=f (x 2)=0可得x 1-x 2是π的整数倍;②y =f (x )的表达式可改写成y =4cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6;③y =f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫-π6,0对称;④y =f (x )图象关于x =-π6对称.其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上).三、解答题11.已知曲线y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8,2,此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π,0,若φ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2. (1)试求这条曲线的函数表达式;(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.12.已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4,0对称,且在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是单调函数,求φ和ω的值.能力提升13.右图是函数y =A sin(ωx +φ)(x ∈R )在区间[-π6,5π6]上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将y =sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变B .向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14.如果函数y =sin 2x +a cos 2x 的图象关于直线x =-π8对称,那么a 等于( )A. 2 B .- 2 C .1 D .-§1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象(二)答案知识梳理1.A 2πω ω2πωx +φ φ2.[-A ,A ] 2π|ω| k π (k ∈Z ) π2k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π-π2≤ωx +φ≤2k π+π2(k ∈Z ) 2k π+π2≤ωx +φ≤2k π+3π2(k ∈Z ) 作业设计 1.B2.A [T =2πω=2ππ3=6,代入(0,1)点得sin φ=12.∵-π2<φ<π2,∴φ=π6.] 3.D [由图知T =4×⎝⎛⎭⎫π12+π6=π,∴ω=2πT =2.又x =π12时,y =1.]4.D [由图象知T 4=7π12-π3=π4T =π,ω=2.且2×7π12φ=k π+π(k ∈Z ),φ=k π-π6(k ∈Z ).又|φ|<π2,∴φ=-π6.]5.C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1+φ=π2ω×3+φ=π,解得⎩⎨⎧ω=π4φ=π4.]6.B [对任意x ∈R ,f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立. ∴f (x 1)=f (x )min =-2,f (x 2)=f (x )max =2.∴|x 1-x 2|min =T 2=12×2ππ2=2.]7.x =-π6解析 令2x -π6=k π+π2(k ∈Z ),∴x =k π2+π3k ∈Z ).由k =0,得x =π3;由k =-1,得x =-π6.8.9π10解析 由图象知函数y =sin(ωx +φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π-3π4=5π2,∴2πω=5π2,∴ω=45. ∵当x =34π时,y 有最小值-1,∴45×3π4+φ=2k π-π2(k ∈Z ). ∵-π≤φ<π,∴φ=9π10.9.5π12解析 y =sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )=sin 2(x -φ)=sin(2x -2φ).由f ⎝⎛⎭⎫π6=sin ⎝⎛⎭⎫π3-2φ=±1, ∴π3-2φ=k π+π2(k ∈Z ), ∴2φ=-k π-π6,令k =-1,得2φ=56π,∴φ=512π或作出y =sin 2x 的图象观察易知φ=π6-⎝⎛-π4=512π.10.②③解析 对于①,由f (x )=0,可得2x +π3=k π (k ∈Z ).∴x =k 2π-π6,∴x 1-x 2是π2的整数倍,∴①错;对于②,f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3利用公式得:f (x )=4cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫2x +π3=4cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6.∴②对;对于③,f (x )=4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的对称中心满足2x +π3=k π,∴x =k 2π-π6,∴⎝⎛⎭⎫-π6,0是函数y =f (x )的一个对称中心.∴③对; 对于④,函数y =f (x )的对称轴满足2x +π3=π2+k π,∴x =π12+k π2.∴④错.11.解 (1)由题意知A =2,T =4×⎝⎛⎭⎫38π-π8=π,ω=2πT=2,∴y =2sin(2x +φ).又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2+φ=1,∴π4+φ=2k π+π2,k ∈Z , ∴φ=2k π+π4,k ∈Z ,又∵φ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,∴φ=π4.∴y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4(2)列出x 、y12.解 ∵f (x )在R 上是偶函数,∴当x =0时,f (x )取得最大值或最小值.即sin φ=±1,得φ=k π+π2,k ∈Z ,又0≤φ≤π,∴φ=π2.由图象关于M ⎝⎛⎭⎫34π,0对称可知,sin ⎝⎛⎭⎫34πω+π2=0,解得ω=43k -23,k ∈Z .又f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上单调函数,所以T ≥π,即2πω≥π,∴ω≤2,又ω>0,∴当k =1时,ω=23;当k =2时,ω=2.13.A [由图象可知A =1,T =5π6-(-π6)=π,∴ω=2πT=2.∵图象过点(π3,0),∴sin(2π3+φ)=0,∴2π3+φ=π+2k π,k ∈Z ,∴φ=π3+2k π,k ∈Z .∴y =sin(2x +π3+2k π)=sin(2x +π3).故将函数y =sin x 先向左平移π3个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变,可得原函数的图象.]14.D [方法一 ∵函数y =sin 2x +a cos 2x 的图象关于x =-π8对称,设f (x )=sin 2x +a cos 2x ,则f ⎝⎛⎭⎫-π4=f (0)∴sin ⎝⎛⎭⎫-π2+a cos ⎝⎛⎭⎫-π2=sin 0+a cos 0.∴a =-1. 方法二 由题意得f ⎝⎛⎭⎫-π8-x =f ⎝⎛⎭⎫-π8+x ,令x =π8,有f ⎝⎛⎭⎫-π4=f (0),即-1=a .]。