离散数学复习指导3

离散数学复习指导Ⅲ
代数结构部分
一学习要求
1．理解二元运算的含义及代数系统中的运算的性质及特殊元（单位元、零无、逆元）的定义；
2．了解代数系统的同态与同构的定义；知道满同态下的保持性;
3. 记住半群的定义,掌握特殊半群（独异点、循环半群、可交换半群等）的证明方法。

4. 记住群的定义,了解群的性质，掌握群的证明方法（从定义出发）。

;
二范例
例1. Z为整数集，S={x|)
∧
∈x
x},在S 上定义二元运算*:
Z
≤
-
5
10
(≤
x*y=min{x,y},证明<S，*>是单元可交换半群。

证：⑴对任意x,y S
∈,
∈, x*y=min{x,y}S
∴*是二元运算，<S，*>是代数系统；
⑵对任意x,y,z S
∈
∵(x*y)*z=(min{x,y})*z=min{x,y,z}
x*(y*z)= z * (min{x,y}) =min{x,y,z}
∴*运算满足结合律，<S，*>是半群；
⑶对任意x S
∈，
∵x*10=10*x=x
∴10是单位元，<S，*>是单元半群；
⑷ x*y=min{x,y}= min{y,x}=y*x, ∴*运算满足交换律；
故<S，*>是单元可交换半群。

例2．（10分） Z n={0,1,2,…,n-1 },在Z n上定义二元运算·:
，· >是循环x·y=(x+y) mod n, 其中+、-是普通加法、减法，证明<Z
n
群。

证(1)对任意x,y∈Z n,因
x·y=(x+y) mod n∈Z
n
所以·是二元运算, <Z n，·>是代数系统;（2分）
(2) 对任意x,y,z∈Z
,因
n
(x·y)·z=((x+y) mod n) ·z=(x+y+z) mod n
x·(y·z)=x·((y+z) mod n)=(x+y+z) mod n
有(x·y)·z= x·(y·z)
所以·满足结合律, <Z n，·>是半群;（2分）
(3)对任意x, 因
0·x=x·0=x
所以,0是单位元; （2分）
-,
(4) 0
01=
对任意x∈Z n且0
≠
x时,
x·(n-x)=(n-x) ·x=0
所以 x n x -=-1
由(1)(2(3)(4)知<Z n ，△>是群; （2分）
（5）对任意x ∈Z n 都有x=1x
1是生成元，所以<Z n ，·>是循环群。

（2分）
三 练习题
1．选择题
⑴设F={0,1}，运算∙是普通乘法，则<F,∙> 。

A. 是群
B. 是半群但不是独异点
C. 不是半群
D.是独异点 ⑵ 设自然数集N 上，定义运算∙是普通乘法，则(N,∙) 。

A. 是群 B. 是单元半群但不是群
C. 是环但不是域
D.是域
⑶ 设R 实数，则R 关于如下_____定义的*运算不是二元运算。

A. y
x y x =* B. ),max(y x y x =* C. ),min(y x y x =* D. y x y x -=*
⑷ 有理数集Q 关于普通乘法*不能构成 。

A.代数系统
B.半群
C.独异点
D.群
⑸ 设F={-1，1}，运算∙是普通乘法，则(F,∙) 。

A. 是独异点但不是群
B. 是群但不是阿贝尔群
C. 是阿贝尔群但不是循环群
D. 是阿贝尔群并且是循环群
2．在整数集Z 上定义二元运算*：x*y=x+y-xy,证明<Z ，*>是独异点且*运算满足交换律。

并求所有可逆元素的逆元
3 .Z 7={0,1,2,3,4,5,6},在Z 7 上定义二元运算* x*y=(x+y) mod 7,
其中+是普通加法，证明<Z 7，*>是循环群。

4.. 置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛16723457654321写成不交的轮换乘积是 。

5. S={1,2,3,4}, S 上的置换()124=τ，())24(13=σ，求τσ, 1-στ.
6． 6阶循环群G=<a> ,则G 的生成元为 和 ，G 共有 个子群。