离散数学复习指导1

离散数学复习指导Ⅰ 命题逻辑部分一 学习要求1．理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化；2．理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算;4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则,能用演绎 推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化⑴小王聪明但不用功；⑵ 说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的；⑶ 你不及格就要补考。

⑷ 不经一事，不长一智；解：⑴ 设p ：小王聪明，q ：小王用功，则该命题可符号化为：q p ⌝∧。

⑵ p ：数理逻辑枯燥无味，q ：数理逻辑毫无价值，则：)(q p ∨⌝。

⑶ p ：你及格了；q ：你要参加补考，则：q p ↔⌝。

⑷ p ：经一事；Q ：长一智，则：q p ⌝→⌝。

⑸ 这是简单命题，则p ：李卫与李星是兄弟。

例2 求命题公式r q p ∨∧)(的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。

解：r q p ∨↔)(r p q q p ∨→∧→⇔))()(())(())((r p q r q p ∨→∧∨→⇔)()(r p q r q p ∨∨⌝∧∨∨⌝⇔42M M ∧⇔ （主合取范式）765310m m m m m m ∨∨∨∨∨⇔∑⇔)7,6,5,3,1,0( (主析取范式)公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100 公式为非重言式的可满足式 。

例3 构造下面推理的证明：前提：s q r p q p ∨→⌝∧,, 结论：r s ∧证：(1) q p ⌝∧ P;(2) p T(1)化简规则;(3) q ⌝ T(1)化简规则(4) r p → P;(5) r T(3)(4)假言推理;(6) s q ∨ P;(7) s T(3)(6)析取三段论;(8) r s ∧ T(5)(7)合取式.例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数.解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则前提： ,,,r q r q p ∨⌝⌝→ 结论：.p ⌝证明: (1) )(p ⌝⌝ 结论之否定;(2) p T(1)等值式;(3) q p ⌝→ P;(4) q ⌝ T(2)(3)假言推理;(5) q r ∨⌝ P;(6) r ⌝ T(4)(5)析取三段论;(7) r P;(8) r r ⌝∧ T(6)(7)合取式.三 练习题1． 将下列命题符号化⑴小王不但聪明而且美丽。

⑵不经历风雨，就不能见彩虹。

⑶只有天气又冷又下雨,他才乘车上班。

⑷ 天黑了，我就回家。

2．求下列公式的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断命公式的类型⑴p r q p →→∨))((⑵r q p ↔∨)(⑶)(r q p p ∨∨→⑷)(r q p →→3．构造下述推理的证明⑴前提：r r q q p ⌝∨⌝⌝∧⌝,,)(，结论：⑵前提： ,,,r s q p r p ⌝→∨→ 结论：.q s →⑶前提： r s s p q p ⌝∨↔→,, 结论：.r q ⌝∨4.先将下列相关命题符号化,给出推理证明⑴如是我好好学习,那么我就不要补考.如果我不玩电脑游戏,我就会好好学习.我要补考.所以我玩电脑游戏了.(2) 如果一班不参加篮球赛,那么二班也不参加,如果一班参加篮球赛,那么二班和三班就参加,因此如果二班参加了篮球赛,那么三班也参加了.谓词逻辑部分（信管不考）一 学习要求1．理解谓词逻辑的三要素，掌握命题的符号化；2．理解谓词公式中量词的辖域、约束关系,及公式的解释，能求出在一个解释下公式的真值，能判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住谓词公式的特殊的基本等值式,能进行等值演算;4. 理解前束范式的定义,能利用等值演算求出公式的前束范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,特别记住谓词中的一些推理规则,能用演绎 推理方法进给出推理证明;二 范例例1 将下列命题符号化⑴ 不是所以的人都要补考,但就有人要补考.⑵ 天下乌鸦一般黑。

⑶ 不是所有火车都比汽车快，但有的火车比所有汽车快。

解：⑴)(x P ：x 是人； )(x Q ：x 要补考，则：))()(())()((x Q x P x x Q x P x ∧∃∧→⌝∀ （注意特性谓词的用法） ⑵ 设D={乌鸦}，)(x P ：x 是黑的，则：)(x xP ∀ （本题使用了论域）⑶)(x P ：x 是火车；)(x Q ：x 是汽车；),(y x R ：x 比y 快，则：)),()(()(()),())()(((y x F x Q y x P x y x R y Q x P y x →∀∧∃∧→∧∀⌝∀或：)),()(()(())),()(()((y x F x Q y x P x y x R y Q y x P x →∀∧∃∧→∀→⌝∀。

例2 设解释I 如下:D={2,3},3)2(=f ,2)3(=f ,1)2,2(=F ,0)3,2(=F ,1)2,3(=F ,0)3,3(=F . 试求出下列公式在解释I 下的真值.⑴ ))(,(y f x yF x ∃∀ ⑵),())(,(y x yF x x f x xF ∃∃→∀解: 在解释I 下:⑴ ))(,3())(,2())(,(y f yF y f yF y f x yF x ∃∧∃⇔∃∀)))3(,3())2(,3(()))3(,2())2(,2((f F f F f F f F ∨∧∨⇔ ))2,3()3,3(())2,2()3,2((F F F F ∨∧∨⇔)10())10(∨∧∨⇔1⇔⑵),())(,(y x yF x x f x xF ∃∃→∀)),3(),2(()))3(,3())2(,2((y yF y yF f F f F ∃∨∃→∧⇔))3,3()2,3(())3,2()2,2(())2,3()3,2((F F F F F F ∨∨∨→∧⇔))01()01(()10(∨∨∨→∧⇔1⇔例3 求公式)()(y yQ x xF ∃↔∀的前束范式.解: )()(y yQ x xF ∃↔∀))()(())()((x xF y yQ y yQ x xF ∀→∃∧∃→∀⇔))()(())()((x xF y yQ y yQ x xF ∀∨⌝∃∧∃∨⌝∀⇔))()(())()((x xF y Q y y yQ x F x ∀∨⌝∀∧∃∨⌝∃⇔))()(())()((x xF y Q y x xQ x F x ∀∨⌝∀∧∃∨⌝∃⇔))()(())()((x F y Q x y x Q x F x →∀∀∧→∃⇔))()(())()((z F y Q z y x Q x F x →∀∀∧→∃⇔)))()(())()(((z F y Q x Q x F z y x →∧→∀∀∃⇔ (前束范式)例4 构造推理证明，前题: ))()((x H x F x ⌝→∀，))()((x G x H x ∨∀结论:)()(y yG x xF ∃→∃证明:(1) )(x xF ∃ 附加前题;(2) )(a F T(1) EI 规则;(3) ))()((x H x F x ⌝→∀ P;(4) )()(a H a F ⌝→ T(3) UI 规则;(5) )(a H ⌝ T(2)(4)假言推理规则;(6) ))()((x G x H x ∨∀ P;(7) )()(a G a H ∨ T(6) UI 规则;(8) )(a G T(5)(7)析取三段论.(9) )(y yG ∃ T(8) EG 规则.三 练习题1 将下列命题符号化⑴ 所有的学生都通过了计算机等级考试或英语等级考试.⑵ 是金子都会发光.但发光的不一定是金子.⑶ 如果学生都认真学习了,就不会有毕不了业的学生了.⑷ 如果没有了罪犯,也就没有了警察.⑸ 没有搬不动的山,只有愚死的汉.⑹ 所有人的指纹都不一样.⑺ 不管白猫黑猫,抓住老鼠就是好猫.⑻ 说学生考试不及格是因为学生不聪明或基础太差是不对的。

2. 设解释I 如下:D={0,1}, a =0，b=1，1)0(=f ,0)1(=f ,0)0,0(=F ,0)1,0(=F ,1)0,1(=F ,1)1,1(=F .试求出下列公式在解释I 下的真值.⑴ ))(,(y f x yF x ∃∃⑵ ))(),((),(b f x f xF a x yF x ∃→∀∀。

3．求下列公式的前束范式⑴ )))()(()((z zR y yQ x F x ∃→∃→⌝∀⑵ ),(),(y x yQ x y x yF x ∀∃→∃∀4．构造推理证明，(1)．))()(()()(x G x F x x xG x xF →∀⇒∀→∃(2) )))()(()((x R x Q x P x ∨→∀, ))()((x P x R x ∧⌝∃)(x xQ ∃⇒(3) ⇒∨∀))()((x G x F x )()(x xG x xF ∃→⌝∀5. 将下列命题符号化，并证明之⑴ 没有不守信用的人是可以信赖的.有些可以信赖的人是受过教育的.因此有些受过教育的人是守信用的.⑵ 有些人喜欢所有的花.但人人都不喜欢杂草.所以花不是杂草.⑶ 三好生都是成绩好的学生. 学生干部不一定成绩好,所以学生干部不一定是三好生.。