2018届新疆乌鲁木齐地区高三下学期第二次诊断性测验理

新疆乌鲁木齐地区2018届高三第二次诊断性测验 理科数学试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（60分）1、巳知集合A ＝｛x ｜x2＜1}，B ＝［0，1］，则A ∩B =.A 、(0,1） B.〔0，1］ C ．［0,1） D 、［0，1］2.已知复数z1＝a ＋bi 与z2＝c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ，z2≠0），则12z z ∈R的充要条件是A 、ad+bc=0 B. ac+bd.=0 C. ac －bd ＝0 D 、ad －bc ＝03.已知数列{n a ｝是各项均为正数的等比数列，若23452,216,a a a a =+=则＝A 、4B 、8C 、16D 、324、某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ） 可得这个几何休的体积是A 、313cmB 、323cmC 、343cmD 、383cm5、已知函数y ＝f （2x ）＋x 是偶函数，且f （2）＝1， 则f （－2）＝A 、2B 、3C 、4D 、56、阅读如右图所示的程序框图，若输人n 的值为6，运行相应程序， 则输出的n 的值为 A 、3 B 、5 C 、10 D ．167若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且｜a ｜＝1，｜b ｜＝1 ｜c ｜＝3，则｜a ＋b ＋c ｜等于A 、2B 、5C 、2或5D 8、已知⊙A1：（x ＋2）2＋y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P 的轨迹方程为A 、2213x y -= B 、2213x y +=C 、222x y -= D 、221128x y +=9、将函数f （x ）＝sin （2x ＋θ）（一2π＜θ＜2π＝的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）介单位长度后得到函数g （x ）的图象，若若f （x ），g （x ）的图象都过点P （0，2），则ϕ的值可以是A 、53πB 、56πC 、2πD 、6π10，设0.10.20.3log 0.2,log 0.4,log 0.6a b c ===，则A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、b ＞c ＞aD 、c ＞b ＞a11．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为A 、827B 、1927C 、1954D 、355412若直线ax ＋by ＋c ＝0与抛物线y2＝2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ．N ，则直线MN 的方程为A 、4cx －2by ＋a ＝0B 、ax －2by ＋4c ＝0C 、4cx ＋2by ＋a ＝0D 、ax ＋2by ＋4c ＝0第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．设等差数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，若S4＝11，S12＝9，则S20＝＿＿＿＿14如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f （x ）＝sinx 及直线x ＝a （a (0,2)π∈与x 轴围成．向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a ＝＿＿＿．15、直三棱柱ABC 一A1 B1C1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于＿＿＿＿ 16．已知直线x ＋y ＋1＝0与曲线C ：y ＝x3一3px2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为________．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡｝的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）如图，已知OPQ 3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f （x ）。

（I ）求函数f （x ）的解析式，并写出其定义域；（II ）求函数y ＝f （x ）＋f （x ＋4π）的最大值及相应的x 值18、（本题满分12分）如图在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥ BC ，∠BAD ＝90°。

BC ＝2AD ，AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在线PC 、AB 上，CM BNMP NA =＝2（I ）求证：平面MNO ／／平面PAD ；（II ）若平面PA ⊥平面ABCD ，∠PDA ＝60°，且PD ＝DC ＝BC ＝2，求二面角B －AM －C 的余弦值。

19、（本题满分12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球。

（I ）求取出的4个球同色的概率；（II ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望。

20、（本题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F ，离心率为23，短轴长为过点F 引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A 和C ，l2交椭圆于B 和D 。

（I ）求此椭圆的方程；（II ）若｜FA ｜·｜FC ｜＝｜FB ｜·｜FD ｜，试求四边形ABCD 面积的最大值。

21、（本题满分12分） 已知函数1()ln x f x x -=。

（I ）求证：当x ＞1时，f （x ）＞1；（II ）令1()n n a f a +=，1a =112ln 1k k a ++≥请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2BE 。

（I ）求证：BC ＝2BD ；（II ）若CD 平分∠ACB ，且AC ＝2，EC ＝1，求BD 的长。

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1。

（I）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换''2x xy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C，设M（x，y）为曲线'C上一点，求4x2＋xy＋y2的最大值，并求相应点M的坐标。

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）＝｜x－1｜。

（I）解不等式f（x－1）＋f（1－x）≤2；（II）若a＜0。

求证：f（ax）－af（x）≥f（x）。

新疆乌鲁木齐地区高三第二次诊断性测验 理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.1.选C.【解析】由21x <得11x -<<，故()1,1A =-，∴[)0,1A B = .2.选D.【解析】∵()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+，∴12z z ∈R 的充要条件是0ad bc -=.3.选C.【解析】由题意得，123112,216.a q a q a q =⎧⎨+=⎩解得112a q =⎧⎨=⎩，1124a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，又0n a >，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴45116aa q ==. 4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示∴114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 5.选B.【解析】∵()2y f x x =+是偶函数，∴()()()22f x x f x x -+-=+， ∴()()222f x f x x -=+，令1x =，()()2223f f -=+=.6.选B.【解析】循环体执行第一次时：1,3i n ==；循环体执行第二次时：2,10i n ==循环体执行第三次时：3,5i n ==；∴输出5n =.7.选C.【解析】当向量,,a b c 两两成0︒角时，5++=++=a b c a b c ；当向量,,a b c两两成120︒角时，∵22222224++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b c a b a c b c =；∴2++=a b c8.选A.【解析】根据题意有12124PA PA A A -=<=，∴点P 的轨迹是以()12,0A -，()22,0A 为焦点，实轴长为2a =的双曲线，2221b c a =-=，方程为2213x y -=.9.选B.【解析】∵()f x过P ⎛ ⎝⎭，∴sin θ=，又22ππθ-<<，∴3πθ=， ∵()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦过0,2P ⎛ ⎝⎭，∴sin 23πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴23πϕ-+ 23k ππ=+，或22233k ππϕπ-+=+，即k ϕπ=-，或6k πϕπ=--，又0ϕ>，选B.10.选 A.【解析】∵21log 21log n n n =+，当1201n n <<<时，有2122log log 0n n << ∴2122110log log n n >>，即，当01n <<时，n 越大，log 2n n 的值越小，0.10.20.3<<，∴a b c >>.11.选C.【解析】∵从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数有32109648A A -=个；其中，能被3整除的，可以分为“含0”与“不含0”两类； “含”：由这样的数字构成：0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,7;0,4,5;0,4,8;0,5,7;0,7,8，它们组成的无重复数字的三位数有12229C A 个；或由0,3,6;0,3,9;0,6,9构成，它们组成的无重复数字的三位数有12223C A 个，共有122212C A 个“不含0”：由这样的数字构成：⑴含3,6,9中的一个，另外两个数字分别为1,2;1,5;1,8;2,4;2,7;4,5;4,8;5,7;7,8，它们组成的无重复数字的三位数有33333927A A ⨯=个；⑵由3,6,9三个数字构成无重复数字的三位数有33A 个；⑶无3,6,9，由1,4,7;2,5,8组成无重复数字的三位数有332A 个，故，从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除的共有1232231230228C A A +=个，∴能被3整除的概率为2281964854P ==.12.选A.【解析】设1122(,),(,)P x y M x y ，33(,)N x y ，由PM 过焦点F ，易得121y y =-，1214x x =，则有2211,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P x y ，同理3311,4⎛⎫- ⎪⎝⎭Q x y ，将P 点代入直线方程0ax by c ++=，有221104a b c x y ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，两边乘以24x ，得222440bx a x c y -+=，又2222y x =，⇒2222x y y =，所以22240a by cx -+=，同理33240a by cx -+=故，所求直线为240a by cx -+=．二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.13.填20-.【解析】依题意有911119361111559S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，两式相减得，12192a d +=-，∴2012019020S a d =+=-.14.填π.【解析】根据题意，阴影部分的面积为014sin 2a a xdxa ⎛⎫⨯⋅= ⎪⎝⎭⎰，即，()cos cos02a --=，cos 1a =-，又()0,2a π∈，故a π=.15.填20π.【解析】设半径为R 的球内接直三棱柱111ABC A B C -的上下底面外接圆的圆心分别为12,O O ，则球心O 在线段12O O 的中点处，连接11,,OO OA O A ，则222211R OA OO O A ==+211O A =+，在ABC ∆中，2,120AB AC BAC ==∠=︒，∴BC =12sin BC O A BAC =∠，∴122sin O A BAC ==∠，∴R =∴此球的表面积等于2420R ππ=.16.填1.【解析】曲线32:3C y x px =-，则236y x px '=-，设()()1122,,,A x y B x y ，依题意知21136m x px =-…⑴，22236m x px =-…⑵，∴12,x x 是方程2360x px m --=的两个根∴122x x p +=…⑶，下证线段AB 的中点在曲线C 上，∵()()()223232121212121211223323322x x x x x x p x x x x x px x px⎡⎤⎡⎤++--+--+-⎣⎦⎣⎦=33381222p p p -==-，而323231212223322222x x x x p p p p p ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴线段AB 的中点在曲线C 上，由⑶知线段AB 的中点为(),1p p --323132p p p p p --=-⋅=-，解得1p =.三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）在Rt COB ∆中，CB x =，OB x =tan 30tan 30sin OA DA CB x =︒=︒=，sin AB OB OA x x =-=-())sin f x AB BC x x x =⋅=-23sin cos x x x=⋅)3sin 21cos 2226x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ …6分（Ⅱ）由03x π<<，043x ππ<+<，得012x π<<而()4y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭246x ππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 2cos 266x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦5212x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵012x π<<，∴026x π<<，5572121212x πππ<+<，∴52122x ππ+=，即24x π=时，max y =…12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴::2OC OA BC AD ==， 又2BN NA =，∴NO ∥BC ∥AD在PAC ∆中，∵::2OC OA BC AD ==，2CM MP =，∴OM ∥AP ∴平面MNO∥平面PAD ； (6)分（Ⅱ）在PAD ∆中，2222cos 3PA PD AD PD AD PDA =+-⋅∠=∴222PA AD PD +=，即PA AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD∴PA ⊥平面ABCD ，而90BAD ∠=︒故，如图，以点A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD 中，22CD BC AD ===，90BAD ∠=︒，∴AB =则有()()()()(0,0,0,,,1,0,0,A B C D P ，由13PM PC =，得12,3333AM PC AP ⎛=+= ⎝⎭ ，()(),AB AC ==，设平面ABM 的法向量为(),,a b c =1n ，由00AB AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，得020a =++=⎪⎩，令c =0,3b a ==，∴(3,0,=1n同理，可得平面ACM的法向量为()3,=-2n设二面角B AM C --的平面角为θ，易知02πθ<<，∴1212cos θ⋅==n n n n ．…12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有4735C =种情形，若取出的4个球都是黑色，共有4870C =种情形，故取出的4个球同色的概率为4478415113C C C +=； …6分（Ⅱ）依题意知0,1,2,3,4ξ=()04874151039C C P C ξ===；()138********C C P C ξ===；()228741528265C C P C ξ===； ()3187415563195C C P C ξ===；()40874152439C C P C ξ===∴ξ的分布列为∴182856232012343939651953915E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）根据题意有232c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩222a b c =+，解得3,2a b c ===∴椭圆M的方程为22195x y += …5分（Ⅰ）不妨设F 为椭圆M 的右焦点()2,0当直线1l 的斜率1k 存在时，1l 的方程为()()11122y k x k x m m k =-=+=- …⑴，设()11,A x y ，()22,C x y ，把⑴代入椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程：()2221159189450k xmk x m +++-= …⑵∵1x ，2x 是方程⑵的两个实数解，∴211212221118945,5959mk m x x x x k k --+==++ …⑶又()1112y k x =-，()2122y k x =- ∴12FA ==-，同理22FC =-，∴()()211112124FA FC k x x x x ⋅=+-++ …⑷把⑶代入⑷得，()22112211189451245959mk m FA FC kk k --⋅=+-+++ …⑸记1θ为直线1l 的倾斜角，则11tan k θ=，由⑸知212594cos FA FC θ⋅=- …⑹当1l 的斜率不存在时，190θ=︒，此时,A C 的坐标可为52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭和52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴259FA FC ⋅= …⑺ 由⑹⑺知，当直线1l 的倾斜角为1θ时212594cos FA FC θ⋅=- …⑻同理，记直线2l 的倾斜角为2θ时222594cos FB FD θ⋅=- …⑼由FA FC FB FD⋅=⋅得，2212cos cos θθ=， 120,θθπ<<，∴12θθ=或12θπθ=-，依题意12θθ≠，∴12θπθ=- 当190θ≠︒时，AC ==()()22112211301301tan 5959tan k k θθ++===++213094cos θ=- …⑽当190θ=︒时，510233AC =⨯=…⑾由⑽、⑾知当直线1l 的倾斜角为1θ时，213094cos AC θ=- …⑿同理，()2211303094cos 94cos BD πθθ==--- …⒀由⑿、⒀知，四边形ABCD 的面积为()11221450sin 21sin 2294cos S AC BD θθθ=⋅=-令()()22sin 294cos g θθθ=-，∵21cos 2cos 2θθ+=，∴()()2sin 272cos 2g θθθ=-则()()()()()2322cos 21cos 24sin 272cos 272cos 2g θθθθθθ'⎛⎫-+'== ⎪ ⎪--⎝⎭∵0θπ<<， ∴022θπ<<，当023πθ<<，或5223πθπ<<时，()0g θ'>，()g θ递增，当5233ππθ≤≤时，()0g θ'≤，()g θ递减，∴当23πθ=6πθ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()g θ取最大值，即()max6g g πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴当6πθ=时，四边形ABCD的面积max 4S =…12分21．（本小题满分12分） （Ⅰ）令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x -'=-=当01x <<时，()0g x '>，∴函数()y g x =在01x <<时为增函数， ∴01x <<时，()()10g x g <=，即ln 10x x -+<当1x >时，()0g x '<，∴函数()y g x =在1x >时为减函数，∴1x >时，()()10g x g <=，即ln 10x x -+<，则，当1x >时，0ln 1x x <<-，∴11ln x x ->，()1f x >； …5分（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2ln 1nn a ≥ⅰ）当1n =时，1a =，知12ln 1a ==，∴1n =时，命题成立ⅱ）假设n k =时，命题成立．即2ln 1kk a ≥要证明1n k =+时，命题成立．即证明112ln 1k k a ++≥，只需证明1121k k a e ++≥依题意知11ln k k k a a a +-=，即证明：121ln k k a ea -≥()()()22111ln 1ln 11ln ln ln x x x x x f x x x x +--+-'-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭当1x >时，有101x <<，由（Ⅰ）可知11ln 10x x -+<，即11ln 10x x -+->∴当1x >时，()0f x '>，∴函数()y f x =，1x >时为增函数由归纳假设2ln 1k k a ≥，即121kk a e ≥>， ∴()11122212111ln 2kk kkk k e e f a f ee ⎛⎫-->== ⎪ ⎪⎝⎭ …⑴依题意知()1k k a f a +=，故又只需证明()112k k f a e +≥，即只需证明11122k k f e e +⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭，构造函数()21x x h x e xe=--，()2222122x x x xxx x h x e e e e e ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭21x e >，由（Ⅰ）知22ln 10x x e e -+<，即2102x xe -->，∴()0h x '>∴函数()y h x =，0x >为增函数，∴()1002kh h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即1112221102kk ke e ⋅-->则111222112k k e f e e ⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭ …⑵，由⑴⑵及题意知121k a e +≥，即112ln 1k k a ++≥ 综合ⅰ）ⅱ）知，对*n ∀∈N ，都有2ln 1n n a ≥成立．22．选修4—1：几何证明选讲（Ⅰ）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，所以DBE ∆∽CBA ∆，即有BE BDAB BC =，又2AB BE =，所以2BC BD = …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE EDAB AC =，又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅ 即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …10分23．选修4－4：坐标系与参数方程（Ⅰ）直线l的方程为0x y -= 圆C 的方程是221x y +=圆心到直线的距离为1d ==，等于圆半径， ∴直线l与圆C的公共点个数为1； …5分（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴22224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2x xy y θθθθθ+=+⋅+=+ 当4πθ=或54πθ=时，224+x xy y +取得最大值5此时M的坐标为或⎛ ⎝ …10分24.选修4－5：不等式选讲 （Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+. 因此只须解不等式2x x -+2≤.当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =. 当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<. 当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x . 综上，原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. …5分（Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---又a <0时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴a<0时，()()f ax af x -≥()f a . …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。