导数及其应用
导数在生活中的意义
导数在生活中的意义导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在这一点处的切线斜率。
导数的意义非常广泛，不仅仅存在于数学中，在生活中也有着重要的应用。
1.速度和加速度。
导数的最典型的应用就是描述物体在某一时刻的速度和加速度。
速度是物体在单位时间内所经过的路程，而导数描述了这个路程在某一瞬间的变化率，即速度。
而加速度则是速度的变化率，也就是速度随时间的导数。
在交通工具中，比如汽车，我们可以通过计算速度的导数来得到车辆的加速度，这对于提高车辆的性能和安全性非常重要。
2.经济分析。
在经济学中，导数被广泛应用于市场模型、成本和收益的估算以及货币政策的决策。
比如，股票市场中的价格变动无时不刻，导数可以帮助分析股票价格的涨跌规律，进而决定投资策略。
此外，导数还可以用来计算成本和收益的变化率，帮助企业制定最优的价格策略，提高利润率。
3.医学应用。
医学中也用到了导数，比如在病人的心电图中，导数可以用来计算心率以及诊断心跳问题，同时在医疗器械的设计中也需要使用导数。
更进一步的，导数可以用于血压和脉搏波等多种体征的分析，以此帮助医生诊断和治疗病患。
4.物理领域。
物理学也是一个广泛运用导数的领域，比如刚体运动描述，光学中的曲率计算和电磁学中的电场力的计算等等。
在运动描述中，导数被用来描述运动轨迹、加速度、速度和位移等量，为我们对物体的运动提供了深入理解。
所以导数在研究物理学的规律性和发展物理学理论方面，有着不可代替的作用。
综上所述，虽然导数是一门抽象而复杂的数学学科，但是它在生活中有着非常重要的应用。
从速度、加速度到经济和医学应用，再到物理学的探索，导数都有广泛的用途。
因此，我们应该学习微积分中的导数概念，更好地发掘和利用其在生活中的意义。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
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高中数学总复习教学案第4单元 导数及其应用一、知识结构应用二、重点、难点教学重点：运用导数方法判断函数的单调性和运用导数的几何意义解决曲线的切线方程问题。
教学难点：灵活运用导数知识解决实际问题三、关注的问题对导数概念的理解不到位，对复合函数求导不准确，对函数单调区间、极值、最值过程不够熟悉，导致不能灵活解决导数有关问题。
四、高考分析及预测导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。
主要考查导数有关的概念、计算和应用。
利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。
§4.1导数的概念及运算新课标要求了解导数概念的某些实际背景瞬时速度,加速度等),掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义,理解导函数的概念.熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数的导数.重难点聚焦重点:理解导数的概念及常见函数的导数难点:理解导数与复合函数的导数.导 数导数几何意义导数的运算法则曲线的切线 函数的单调性函数的极值、最值多项式的导数高考分析及预测在高考中,常以选择或填空的形式考查导数的概念,及几何意义,也以解答题的形式考查与切线有关的综合性题目,难度不大.再现型题组的图像是折线段ABC,其中 A.B.C 的坐标分别为)4,6()0,2()4,0(、、,则=))0((f f ，xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim＝ .2. 在高台跳水运动中,t 秒时运动员相对于水面的高度为105.69.4)(2++-=t t t h ,则运动员在1秒时的瞬时速度为 ,此时运动状态是巩固型题组= ...提高型题组.）的任意）A1+n n B 12++n n C 1-n n D nn 1+反馈型题组10.23)(23++=x ax x f ,若,4)1(/=-f 则a= .11.若曲线4x y =的一条切线l 与084=-+y x 垂直,则l 的方程为12.曲线xe y21=在),4(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .13设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( ) A sinx B –sinx C cosx D -cosx14.点P 是曲线x x y ln 2-=上任一点，则点P 到直线2-=x y 的距离的最小值是 。
4.2函数的单调性与导数1.借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系。
能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
的子集。
题组设计。
的单调区间。
4.已知函数1)(3--=axxxf在实数集R上单调递增，求a的取值范围。
5. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-= （1）求)(x f 的单调递减区间；（2）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值A.0>aB.01<<-aC.1>aD.10<<a 10．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④11.若在区间),(b a 内有,0)(>'x f 且,0)(≥a f 则在),(b a 内有（ ） A.0)(>x f B.0)(<x f C.0)(=x f D.不能确定 12.已知函数axe xx x f --+=11)(. （1）设0>a ,讨论1)(>=x f y 的单调性；（2）如对任意)1,0(∈x 恒有1)(>x f ，求a 的取值范围。
13. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
§4.3 函数的极值、最值及优化问题新课标要求12、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．3通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．重点难点聚焦1)0>， ，则5、设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 。
6、已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
7、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千,9、已知定义在正实数集上的函数2()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同。
（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）。
10、函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>12、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为 ；13、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为 ， 。
14、用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？15、设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．第4单元 导数及其应用45分钟单元综合测试题一、选择题1、函数f(x)=31x 3+ax+1在（-∞,-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)为( ) A 37 B.1 C.31D.-1 2、已知二次函数的导数为，，对于任意实数有则的最小值（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．4设在内单调递增，，则是的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29C ．13D ．236、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 二、填空题7、若函数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围 8、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则___．9、已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________。
10、P 是抛物线2x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线121+-=x y 垂直，则过P 点处的切线方程是____________。
三、解答题 11、设，．令，讨论在内的单调性。
12、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I ）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积的最大值．§4.1导数的概念及运算答案或提示再现型题组1 [答案或提示] 2；2[基础知识聚焦] 函数在某一点处的导数的定义为xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/及其变形,特别注意函数值的增量与自变量的增量.)(0x f 几何意义表示曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率.2．[答案或提示]-3.3m/s 以3.3m/s 的速率下降。
[基础知识聚焦] 此题考察导数的物理意义,速度是位移对时间的导数 3. [答案或提示] 42+-=x y[基础知识聚焦]此题考察函数在某一点处的切线方程的求法。
即求切线的斜率)(0x f4．[答案或提示]（1）2632/++=x x y （2） )12sin(42/+-=x x y （3）2/sin cos xxx x y -=[基础知识聚焦]要熟记常见函数的求导公式及导数运算的法则。
在求复合函数的导数时关键是分清函数的复合关系逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数。
5 .[解] 点M 在221+=x y 上 25)1(=∴f 又21)1(/=f ∴3)1()1(/=+f f[点评] 切点既在曲线上又在切线上,以及切线得我斜率为)(0x f ,这三点往往用在解与切线有关的题目. 6.[解](1)2/1xy -= ,P(1,1)是切点 ∴ 1)1(/-==f k∴ 曲线在P 处的切线方程是2)1(1+-=--=-x y x y 即(2)显然Q(1,0)不在曲线上,则可设过该点的切线的切点是)1,(aa ,则该切线的斜率是2/11)(aa f k -==.则切线的方程为)(112a x aa y --=- 将Q(1,0)代入上面方程得21=a ,故所求方程为44+-=x y .(3).设切点得坐标为A )1,(a a ,则切线得斜率为31122-=-=ak ,解得).33,3()33,3(,3--∴±=或A a 所以切线方程为 03230323).3(13)3(13=++=-++-=+--=-y x y x x y x y 或即或 [点评] 不管是求函数图像在某点处得切线方程还是求过某点得切线方程,首先都要求(或设)切点得坐标))(,(00x f x ,得出切线得斜率)(0/x f ,在解决问题. 解：求k 的最大值就是求x y kx y ln ==与相切时切线的斜率1k 设切点为)ln (0,0x x ,则001ln 1x x x k ==, ek e x 1,10== [点评] 把所求问题转化为与切线有关的问题. 选A. [解] 由1)()()()(12121212<---<-x x x f x f x x x f x f 得,即-1<k<1,A 中2/1)(xx f -=,当)2,1(∈x 时41)(1/-<<-x f 满足题意.B 中=)(x f ⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ⎩⎨⎧-≥=0,1,1)(/x x x f 不满足题意C 中)2,1(,2ln 2)(/∈=x x f x ,当x =2时,22ln )2(4/>=f ,不满足题意.D 中)4,2()(),2,1(,2)(//∈∈=x f x x x f 不满足题意.[点评]本题考查函数的性质及导数的应用. 9.[解]选A.由题意得x x x f a m ==∴==2)(1,2所以数列)()(1*N ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n f 的前n 项和为：1111)111()3121()211()1(1321211+=+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n n n s n[点评] 本题考查函数的导数的定义及数列的求和 反馈型题组10．[答案或提示]310上单)x 为)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。