高中数学分章节训练试题：22坐标系与参数方程2
坐标系与参数方程早练专题练习(二)含答案高中数学
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．
5．
6．曲线 的直角坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程是抛物线 ，…4分
设 ， ，将这两个方程联立，消去 ，
得 ， ．……………………………………6分
．…………8分
∴ ， ．………………………………………………………10分
7．解：将 代入 ，
得 ，即 ．………………………………4分
所求最大值为2，最小值为0
当x=0时，y=0；
当 时， ．………………………………………6分
从而 ．………………………………………8分
∵原点 也满足 ，
∴曲线C的参数方程为 （ 为参数）．……………………………10分
8．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：以极点为原点，极轴所在直线为 轴建立直角坐标系.将曲线 与曲线 分别化为直角坐标方程，得直线方程 ，圆方程 ．……6分
所以圆心（－1，0）到直线距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝1．……………………10分
9．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
将极坐标方程转化成直角坐标方程：
ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－ )2＋y2=
ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。
6．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1： 与曲线C2： （t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
7．已知曲线 的方程 ，设 ， 为参数，求曲线 的参数方程．
8．设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，求 的最小值．
9．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
高中数学分章节训练试题：22坐标系与参数方程
高三数学章节训练题22 <坐标系与参数方程2>时量：60分钟 总分值：80分 班级||： 姓名： 计分：个人目标：□优秀 (70’~80’ ) □良好 (60’～69’ ) □合格 (50’～59’ ) 一、选择题 (本大题共6小题 ,每题5分 ,总分值30分 ) 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 ( )A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是 ( )A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为 ( )A ．125 BCD4．假设点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上 ,那么PF 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为 ( )A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 ( ) A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 二、填空题 (本大题共5小题 ,每题5分 ,总分值25分 )1．曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和 ,120t t +=且 ,那么MN = .2．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 . 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数 ,那么此圆的半径为 .4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 . 5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切 ,那么θ= .三、解答题 (本大题共3小题 ,总分值25分 ,第1、2小题各8分 ,第3小题9分 . )1．分别在以下两种情况下 ,把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：(1 )θ为参数 ,t 为常数； (2 )t 为参数 ,θ为常数；2．过点,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ,求PM PN ⋅的最||小值及相应的α的值 .3．曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数 ) , C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数 ) .(1 )化C 1 ,C 2的方程为普通方程 ,并说明它们分别表示什么曲线； (2 )假设C 1上的点P 对应的参数为2t π=,Q 为C 2上的动点 ,求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数 )距离的最||小值 .高三数学章节训练题22 <坐标系与参数方程2>参考答案一、选择题1．D 1xy = ,x 取非零实数 ,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制2．B 当0x =时 ,25t =,而12y t =- ,即15y = ,得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时 ,12t = ,而25x t =-+ ,即12x = ,得与x 轴的交点为1(,0)23．B11221x x t y t y ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩,把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=12125t t -=== ,12t -=4．C 抛物线为24y x = ,准线为1x =- ,PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离 ,即为4 5．Dcos 20,cos 20,4k πρθθθπ===±,为两条相交直线6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-= ,cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴 .即x 轴 ,121222MN p t t p t =-= 2．(3,4)-,或(1,2)-22221()),,22t t +===± 3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩得2225x y +=4圆心分别为1(,0)2和1(0,)25．6π ,或56π 直线为tan y x θ= ,圆为22(4)4x y -+= ,作出图形 ,相切时 ,易知倾斜角为6π ,或56π三、解答题1．解： (1 )当0t =时 ,0,cos y x θ== ,即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时 ,cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-而221x y += ,即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-(2 )当,k k Z θπ=∈时 ,0y = ,1()2t tx e e -=±+ ,即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时 ,0x = ,1()2t ty e e -=±- ,即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时 ,得2cos 2sin t tt t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得222222()()cos sin cos sin ttx y x y e eθθθθ-⋅=+- 即22221cos sin x y θθ-= . 2．解：设直线为cos ()2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数 ,代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++=；那么122321sin PM PN t t α⋅==+ 所以当2sin 1α=时 ,即2πα= ,PM PN ⋅的最||小值为34 ,此时2πα= .3解： (Ⅰ )222212:(4)(3)1,:1.649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是 (4,3)- ,半径是1的圆.2C 为中|心是坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,长半轴长是8 ,短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ )当2t π=时 ,3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2P Q M θθθθ--++故3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==--到的距离从而当43cos ,sin 55θθ==-时 ,5d 取得最小值。
高考数学专题复习第22题 极坐标与参数方程
第22题 极坐标与参数方程基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ，y ′＝μ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为|OM |；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角ρ叫做点M 的极角，记为xOM ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：5．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．考点题型精讲及方法引导 考点题型一 利用参数方程求距离问题例1．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．解：(1)曲线C 的方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，通过先平方再求和得，x 23＋y 2＝1.直线l 的极坐标方程展开得，ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋y ＋m ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2－3＝0，x ＋y ＋m ＝0，消元得4y 2＋2my ＋m 2－3＝0，令4m 2－4×4(m 2－3)＝0，得m ＝2或m ＝－2， 当m ＝2时曲线C 上的点到直线l 的距离最大，此时，直线l ′与曲线C 的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.而直线l 与直线l ′的距离为|2－－4|2＝3 2.∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为32，这个点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.例2．(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程； (2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值．此时，点P 的直角坐标为(3,0)． 针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．(2016·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.3．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解析： (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．考点题型二 利用直线参数方程求与线段有关问题例1．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别为y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1(负值舍去)．例2．(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)ρ＝2cos θ等价于 ρ2＝2ρcos θ.① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.针对训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．2.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解析：(1)消去参数θ得曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3，t 为参数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 3．在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值； (2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． 解析：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝29－3552＝1255．4．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，645．(2016·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝ 2.6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x . (2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16sin α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－4sin α＋cos α，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．7．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．(1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．解：(1)由⎩⎨⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎪⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝232－4×－141＝217.考点题型三 利用极坐标或参数方程求参数值例1.(2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.针对训练1．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析：(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．考点题型四 直线与曲线位置关系问题例1．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcosθ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．例 2.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．针对训练考点题型五 转化为普通方程求解类型题目例1．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛ ρ＞0，3π4＜θ＜⎭⎪⎫5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________． 答案：(2，π) 解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．例2．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案：25解析：直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，得x 2＝12，即x ＝±22，则|AB |＝1＋k 2AB |x A －x B |＝2 5. 针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 3.(2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)． (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.4．(2017·湖北八校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′．(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ，代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1．(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4．考点题型七 其他类型题目例1．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)求C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t为参数，0≤t ≤π)．(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33． 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以，切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．针对训练。
第22题 坐标系与参数方程--2019年高考数学23题试题分析与考题集训含答案
第22题 坐标系与参数方程【考法】本主题考题形式为解答题，主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识，难度为基础题，分值为10分.【考前回扣】1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).t 的几何意义是0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)..5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)【易错点提醒】1. 将参数方程化为普通方程时忽视参数对变量x 、y 范围的限定致错.2.应用直线参数方程时，忽视不是直线参数方程的标准形式而用其参数t 的几何意义致错.【考向】曲线的极坐标方程【解决法宝】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.例【2019届湖南省六校(长沙一中、常德一中等)联考】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于，两点，求的面积.【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数t 能求出l 的直角坐标方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）求得圆心到直线l 的距离，又分析可得弦长MN 即为直径，由此能求出△MON 的面积． 【解析】（1）由消去参数得，直线的普通方程为.由得，，即，曲线的直角坐标方程是圆：.（2）原点到直线的距离.直线过圆的圆心，，所以的面积.【集训】1.【2019届陕西省汉中市二检】已知直线的参数方程为（为参数，），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若直线被圆截得的弦长为时，求的值.（2）直线的参数方程为（为参数），若，垂足为，求点的极坐标.【解析】（1）由得（，为参数）得.∵，，∴由得，，即圆心为，，∴到直线距离为，又弦长为，故，解得.（2）由的方程可得，又得：，解，，，.2.【四川省雅安中学2018届下学期第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为．以平面直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin ρθ=．(1) 求曲线1C 的极坐标方程；(2) 设1C 和2C 交点的交点为A ， B ，求AOB ∆的面积.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为，消去参数的1C 的直角坐标方程为：∴1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）解方程组，有得sin2θ=或当时， ρ=时， 2ρ=∴ 1C 和2C 交点的极坐标∴故AOB ∆3.【2019届广东省佛山市一中期中】已知倾斜角为α且经过点的直线l 与椭圆C ：交于A 、B 两点 （1）若，写出直线l 与椭圆C 的参数方程； （2）若，求直线l 的方程．【解析】（1）直线l 的参数方程为，（t 为参数）椭圆C 的参数方程为，（θ为参数）（2）将直线l 的参数方程代入中，得∴，，∴∵，得，∴，则tanα=±∴直线l 的方程为4.【辽宁省辽阳市2018学届一模】在直角坐标系xOy 中，圆1C ：，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 2C ： 3πθ=（R ρ∈）.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为6πθ=（R ρ∈），设2C 与1C 的交点为O 、M ， 3C 与1C 的交点为O ，N 求OMN 的面积.【解析】（1）因为圆1C 的普通方程为，把cos x ρθ=， sin y ρθ=代入方程得.所以1C 的极坐标方程为，2C 的平面直角坐标系方程为y =.（2）分别将3πθ=， 6πθ=代入，得，.则OMN 的面积为.5.【2019届贵州省凯里一中模拟(三)】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆的极坐标方程； （Ⅱ）射线：与圆的交点为、，与曲线：的交点为，求线段的长.【解析】（Ⅰ）圆的普通方程为，又，，∴圆的极坐标方程为.（Ⅱ）设，则由解得.：化为极坐标方程，设，由解得.∴.6.【2018届广东省揭阳市一模】在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C 的参数方程为为参数,)α;现以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的方程为,(1)求曲线1C 的极坐标方程;(2)设1C 和2C 的交点为M N 、,求MON ∠的值．【解析】(1)由曲线1C 的参数方程知, 1C 是以原点O 为圆心,,其极坐标方程为.(2)联立方程ρ= =,得,于是tan2θ=,解得π24θ=或5π24θ=, 即N M θθ和的值为π5π88和,所以MON ∠=．7.【2019届山东师范大学附中五模】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程： (为参数)，曲线的极坐标方程：，且直线交曲线于两点.（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）巳知点，求当直线倾斜角变化时，的值.【解析】（Ⅰ），∴（Ⅱ）（为参数）代入，8.【山东省枣庄市2018届二模】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）.（Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由.解得{x y ==或，直线l 被曲线C 截得的线段的长度为.（Ⅱ） 11a =时，直线l 的普通方程为.由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线l ：的距离为，其中0θ满足，.由三角函数性质知，当00θθ+=时， d取最小值此时，，.因此，当点M 位于时，点M 到l的距离取最小值9.【2019届四川广元第二次高考适应考】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为：，为参数点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．Ⅰ试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标系下的坐标；Ⅱ设直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，点M 为AB 的中点，求的值．【解析】Ⅰ把，代入，可得曲线C 的直角坐标方程为，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．Ⅱ点P 的直角坐标为，它在直线l 上，在直线l 的参数方程中，设点A ，B ，M 对应的参数为，，，由题意可知．把直线l 的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．因为，所以．10.【山西省2018年高考考前适应性测试】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为： {x cos y sin θθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：'{'x x y ==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线l ： {x tcos y tsin αα==（t 为参数）与1C ， 2C 相交于A ， B 两点，且，求α的值.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ ρθα==得1A ρ=，由得.而，∴1cos 2α=±. 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 11.【2019届安徽省毛坦厂中学4月联考】已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于，两点，求的值.【解析】（1）直线的参数方程为（为参数），消去，得，即直线的普通方程为.又曲线，即，，曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）得，直线的标准参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程得，，，，.12.【湖南省郴州市2018届二质监】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）, （Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换2{x xy y='='得到曲线C'，曲线C'任一点为(),M x y，求点M直线l的距离的最大值.【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程为，∵∴∴221 4xy+=故曲线C的直角坐标方程为221 4xy+=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得2214xy+=，经过伸缩变换2{x xx y='='得到曲线C'的方程为，所以曲线C'的方程22116xy+=，可以令(α是参数)，根据点到直线的距离公式可得,故点M 到直线l . 13.【2019届四川省成都市外国语学校一诊】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．【解析】（1）∵曲线的极坐标方程为，∴，∴曲线的直角坐标方程，即.∴曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，，∴，，，∴的最小值为.14.【湖南省三湘名校教育联盟2018届三联考】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为（ 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为()2,2，求AP BP+的最小值.【解析】（1）∵，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为；∵，∴曲线1C的普通方程为.15.【2019届安徽省马鞍山二质量监测】在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求以为直径的圆的方程.【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得．所以．因直线过抛物线的焦点所以．由题设知，又，故因此的方程为．的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为．16.【山西省2018届一模】在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为：{x cosy sinθθ==（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：{x x y ''==得到曲线2C .（1）以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且，求α的值.【解析】（1）1C 的普通方程为，把代入上述方程得，，∴2C 的方程为，令，所以2C 的极坐标方程为； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，由1{ρθα==，得1A ρ=， 由，得，而，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 17.【2019届南昌外国语学校适应性测试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为45°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】（Ⅰ）由∴的普通方程为，由，可得， ∴， ∴，即，此即的直角坐标方程．（Ⅱ）在曲线上任意取一点则到的距离为 ，则，即当时，|P A|取最大值为12；当时，|PA|取最小值为4.18.【河南安阳2018届二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程； （2）射线OP ： 6πθ=与圆C 的交点为O ， A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.【解析】（1）在中，令cos x ρθ=， sin y ρθ=.得，化简得.即为直线l 的极坐标方程. 由4sin ρθ=得，即.，即为圆C 的直角坐标方程.（2）所以.19.【2019届河南省天一大联考阶段性测试（五)】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若，求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）当时，直线的参数方程为.所以其普通方程为. 对于曲线，由，得，所以其直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意得，直线过定点，为其倾斜角，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的圆.当时，直线为，此时直线与圆不相交.当时，设表示直线的斜率，则：.设圆心到直线的距离为.当直线与圆相切时，令，解得或. 则当直线与圆有两个不同的交点时，. 因为，由，可得，即的取值范围为.20.【宁夏石嘴山市第三中学2018届一模】已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求的最大值．（2）根据题意，M （x ，y ）为椭圆一点，则设M （2cosθ，4sinθ），|2x+y ﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin （θ+）﹣1|，分析可得，当sin （θ+）=﹣1时，|2x+y ﹣1|取得最大值9．。
坐标系与参数方程二轮复习专题练习(二)带答案高中数学
高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．直线l 的参数方程是x=1+2t()y=2-t t R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量是d可以是 【答】（C ）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.（汇编年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)3．直线y =2x －21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos sin y x （ϕ为参数）的交点坐标是_____.（汇编上海理，10）评卷人得分三、解答题4．【题文】[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．【结束】5．在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.6．求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.7．已知某圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos(θ－4π)＋6=0． （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．9．从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使12OM OP ⋅=.(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．(为参数)3．（）解析：①代入②得y ＝1－2x22x2＋y ＝1解方程得：∴交点坐标为（） 解析：（21,21） 解析：⎩⎨⎧-=-==⇒⎩⎨⎧==ϕϕϕϕϕ22sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=122122y x x y解方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x∴交点坐标为（21,21） 评卷人得分三、解答题①②4． 5．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为413-=，即235a =+，因为0a >，所以152a =-. ………………………………………10分6． 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；……4分22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -= ,…… 6分 223203202(1)d ⨯--==+-，…… 8分即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.…… 10分7．解：（1）x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0；22cos 22sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩6分（2）x ＋y ＝4＋2sin （4πα+） 最大值6，最小值 2 4分8．()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 9．(坐标与参数方程)(Ⅰ)设动点P 的坐标为(,)ρθ,M 的坐标为0(,)ρθ, 则0012.cos 4,3cos ρρρθρθ==∴=即为所求的轨迹方程.…………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P 的轨迹是以(0,23)为圆心，半径为23的圆，易得RP 的最小值为1.……(10分)。
高二坐标系与参数方程练习题
高二坐标系与参数方程练习题1. 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），焦点坐标为（-2，1），求此抛物线的参数方程。
解析：由于焦点坐标和顶点坐标的 x 坐标相同，可以得知抛物线的对称轴为 x = -2。
所以，参数方程的形式为：x = t - 2y = at^2 + bt + c将顶点坐标（-2，3）代入，可以得到c = 3。
由于焦点坐标（-2，1）在抛物线上，可以得到 a = 1/2b。
因此，参数方程可以表示为：x = t - 2y = (1/2b)t^2 + bt + 3其中，b为任意实数。
2. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-3，0）、F2（3，0），离心率为 e=1/2，求此椭圆的参数方程。
解析：根据离心率和焦点的定义，可以得知椭圆的直线 F1F2 的方程为 x = 0。
所以，参数方程的形式为：x = aty = bt其中，a 为焦点到椭圆上一点的距离，b 为该点到 x 轴的距离。
由于焦点离椭圆上一点的距离与椭圆离心率和焦点的关系为 e = a/b，可以得到 a = eb。
所以，参数方程可以表示为：x = (1/2b)ty = bt其中，b 为任意实数。
3. 已知双曲线的焦点坐标为 F1（-4，0）、F2（4，0），离心率为e= 2，求此双曲线的参数方程。
解析：根据离心率和焦点的定义，可以得知双曲线的直线 F1F2 的方程为 x = 0。
所以，参数方程的形式为：x = aty = bt其中，a 为焦点到双曲线上一点的距离，b 为该点到 F1F2 的距离。
由于离心率与焦点的距离和直线 F1F2 的距离关系为 e = c/a，可以得到c = ae。
所以，参数方程可以表示为：x = (2/b)ty = (b/2)t其中，b 为任意实数。
4. 已知直线 L1：2x - y = 0 和直线 L2 的参数方程为 x = t，y = 3 - 2t。
求直线 L2 在直线 L1 上的投影点坐标。
解析：设直线 L2 在直线 L1 上的投影点为 P，坐标为（x，y）。
最新高中数学分章节训练试题：22坐标系与参数方程2
高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数嘚参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴嘚交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得嘚弦长为（ ）A ．125B ．1255C ．955 D ．91054．若点(3,)P m 在以点F 为焦点嘚抛物线24()4x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示嘚曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切嘚一条直线嘚方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上嘚两点,M N 对应嘚参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN = 。
2．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -嘚距离等于2嘚点嘚坐标是 。
3．圆嘚参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆嘚半径为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）
A ．1
21
2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）
A ．21(0,)(,0)52、
B ．11(0,)(,0)52、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5(0,)(8,0)9、
3．直线12()2x t
t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）
A ．125 B
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3π
ρθ=+ D ．4sin()3
π
ρθ=- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt
⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，
120t t +=且，那么MN = 。
2．直
线2()3x t y ⎧=--⎪⎨
=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等
于的点的坐标
是 。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ=+⎧⎨=-⎩
为参数，则此圆的半径为 。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为 。
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩相切，则θ= 。
三、解答题（本大题共3小题，满分25分，第1、2小题各8分，第3小题9分。
解答
须写出文字说明.证明过程或演算步骤）
1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 2
1()sin 2
t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
2
．过点,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ⋅的最小值及相应的α的值。
3．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,
:2x t C y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值。
高三数学章节训练题22 《坐标系与参数方程2》参考答案
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)2
3．
B 11221x x t y t y ⎧
=+⎪=+⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⎩⎪=+⎪⎩
，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
12125t t -===
12t -=4．C 抛物线为2
4y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为2
2
(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆2
2
(2)4x y +-=与直线2x =显然相切 二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。
即x 轴，121222MN p t t p t =-= 2．(3,4)-,或(1,2)-
2
2
2
2
1()),,22
t t +==
=± 3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθθθ
=+⎧⎨
=-⎩得22
25x y +=
4
．
2 圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5．
6
π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，
易知倾斜角为6
π
，或56π
三、解答题
1．解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()2
2
t t t t x y e e e e θθ--=
=
+-
而22
1x y +=，即
2
2
22111()()4
4
t
t t t x y e e e e --+
=+-
（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2
t t
x e e -=±
+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2
t t
y e e -=±-，即0x =；
当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t
t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x y
e θθ
θθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得222222(
)()cos sin cos sin t
t
x y x y e e
θθθθ
-⋅=+- 即
22
221cos sin x y θθ
-=。
2
．解：设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=
⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得
223(1sin ))02t t αα+++=；则1223
21sin PM PN t t α⋅==+ 所以当2
sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2
πα=。
3解：（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,:
1.649
x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.
2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当2
t π=
时，3
(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2
P Q M θθθθ--++
故 3C
为直线3270,|4cos 3sin 13|.5
x y M C d θθ--==
--到的距离
从而当43
cos ,sin 55
θθ=
=-时，5d 取得最小值。