平面简谐波
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平面简谐波__波动方程
若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
普通物理学-力学-平面简谐波
22
例4:某平面简谐波沿X轴正向传播,t=T/4的波形如图,若振动用余弦
函数表示,写出图中各点处质元的初相值
解:沿波速方向各质元相位依次落后, 由旋转矢量图易于确定
为: φ0= , 振动表达式为 y(0, t ) A cos( t ) Y x u b y o
a b
如: O点处质元 t =0时, y0=－A, v0>0.由旋矢图得其振动初相
Y
u
P
o
X
x
y =y (x, t )
3
已知x0点处质元的谐振动表达式为 y=y(x0,t )=Acos(ωt+φ)
记 任一点 x 处质元的谐振动表达式为
此式即为平面简谐波的表达式, 即 波的运动学方程
GL.普物-力学-Ch.10-波动 2
Y
u
x
P
X
o
③推导(以实例介绍)
y( x 0， t ) A cos( t o )
①位置(或 位移) 波线上 xm 处质元在 t 时刻的位置 (或 xm处质元相对平衡
位置的位移)
y = y(x=xm , t )
例如:某正向平面简谐行波的表式为 2 x ) y( x, t ) A cos( t x ) A cos( t 0 0 u
则波线上 xm处质元 t 时刻的位置(或 相对平衡位置的位移)为
v xm ( t )
d y( x ,t ) dt
x xm
注意:质元的速度为其运动速度,勿与波速 u 混淆
③质元的加速度
波线上 xm 处质元的加速度方程为
a xm (t )
d2 y( x ,t ) dt
2
平面简谐波
以 B 为原点：
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性 说明波线上振动状态的空间周期性
(2) 波形传播的时间周期性
说明波形传播的时间周期性
(3) x 给定，y = y (t) 是 x 处振动方程
(4) t 给定，y = y(x) 表示 t 时刻的波形图
(5) y 给定, x和 t 都
在变化，表明波 形传播和分布的 时空周期性。
二. 横波和纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波； 如空气中传播的声波。
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
结论
横波
纵波
(1) 波动中各质点并不随波前进； yy
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播；
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
振波动动曲曲线线
三. 波面和波线
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。
波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。 z
y
原点振动方程
O x
t =t’ 时的相位（非初相位）为
即
原点振动方程为 波动方程为
三. 平面波的波动微分方程
由 知
说明 (1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）； (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程； (3) 若物理量是在三维空间中以波
的形式传播，波动方程为右式
二. 波函数的物理意义
(1) 振动状态的空间周期性 说明波线上振动状态的空间周期性
(2) 波形传播的时间周期性
说明波形传播的时间周期性
(3) x 给定，y = y (t) 是 x 处振动方程
(4) t 给定，y = y(x) 表示 t 时刻的波形图
(5) y 给定, x和 t 都
在变化，表明波 形传播和分布的 时空周期性。
二. 横波和纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波； 如空气中传播的声波。
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
结论
横波
纵波
(1) 波动中各质点并不随波前进； yy
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播；
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
振波动动曲曲线线
三. 波面和波线
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。
波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。 z
y
原点振动方程
O x
t =t’ 时的相位（非初相位）为
即
原点振动方程为 波动方程为
三. 平面波的波动微分方程
由 知
说明 (1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）； (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程； (3) 若物理量是在三维空间中以波
的形式传播，波动方程为右式
基本概念与平面简谐波。
u
得 空气中 水中
340 1 ＝ ＝1.7m 200
1450 2 ＝ ＝7.25m 200 u2
u1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结论：同一频率的声波，在水中的波长要比在空气中的波长要长。 原因：波速决定于介质，频率决定与振源，所以同一波源发出的 一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，但波速不同，因 而波长也不同。
1、波动的产生
小球点击水面， 会形成水波
铙钹等乐器振 动时，在空气 中形成声波
音叉振动 时，形成 声波
介质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质 点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以一定 的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。
2、产生机械波的条件 波源： 产生机械振动的振源； 弹性介质：传播机械振动。
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点 位移 速度
vo
加速度
x y 0.02cos100 ( t ) 0 200 2 y x v 0.02 100 sin100 (t ) 2 t 200 2 2 y x 2 a 2 0.02 (100 ) cos100 ( t ) 0 t 200 2
解： (1)
y (m)
O 点振动方程 0.02
t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
y A cost 0.02cos 100 t 2
波动方程
o
1
2
3
4
5
x (m
x y 0.02cos100 (t ) 200 2
y=Acoswt
求波动表达式。
平面简谐波概念
解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O
2 3
(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2
平面简谐波
2
t
t + t
x
x t
T
yx,t Acos[(t x)]
u
uT u
yx,t Acos[2 ( t x )]
T
波数 k 2
y(t, x) Acos[2 ( t x )]
y(t, x) Acos( t kx)
若y0 Acos(t )
yx,t Acos[(t x) ]
u
2能. 量密度 w A2 2 sin2 t x w 1 T wdt 1 A2 2
u T 0
2
11
3. 能流密度(波的强度)
单位时间内通过垂直于波的传播方向的
单位面积的平均能量,称为平均能流密度,
又称为 波的强度 I .
因为 w = wk+wp = 2A2sin2( t- k x)
结论： (1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播，而是相位的传播
(2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
2 x
(4) 同相点----质元的振动状态相同
（5）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期， 波向前传播一个波形
注意：(1)振动已知的点、原点、振源的区别
(2)波速不是质点振动的速度 4
波函数
yx,t Acos[(t x)]
u
(1) x 一定， x x0
y
y(t,
x0
)
Acos[(
t
x0 u
)]
O
u
P
x0
x
P处质点的振动方程
y(t) Acos( t 2 x0 )
t
t + t
x
x t
T
yx,t Acos[(t x)]
u
uT u
yx,t Acos[2 ( t x )]
T
波数 k 2
y(t, x) Acos[2 ( t x )]
y(t, x) Acos( t kx)
若y0 Acos(t )
yx,t Acos[(t x) ]
u
2能. 量密度 w A2 2 sin2 t x w 1 T wdt 1 A2 2
u T 0
2
11
3. 能流密度(波的强度)
单位时间内通过垂直于波的传播方向的
单位面积的平均能量,称为平均能流密度,
又称为 波的强度 I .
因为 w = wk+wp = 2A2sin2( t- k x)
结论： (1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播，而是相位的传播
(2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
(3) 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
2 x
(4) 同相点----质元的振动状态相同
（5）波的传播是波形的传播。波源振动一个周期， 波向前传播一个波形
注意：(1)振动已知的点、原点、振源的区别
(2)波速不是质点振动的速度 4
波函数
yx,t Acos[(t x)]
u
(1) x 一定， x x0
y
y(t,
x0
)
Acos[(
t
x0 u
)]
O
u
P
x0
x
P处质点的振动方程
y(t) Acos( t 2 x0 )
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
第2节 平面简谐波
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
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2 2 T s 0.8 s 2.0 m 1.0 2.5
1 u 2.5 m s T
7 – 5 平面简谐波
第七章 振动和波动
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y( x, t ) 0.05cos π(2.5t 1.0 x) m.
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离 .
第七章 振动和波动
A
O
y
Q
*
x
xQ
u
P
*
A
x
点 Q 振动方程
yQ A cos(t Q )
x xQ y ( x, t ) A cos[ (t ) Q ] u 沿 x 轴正向 波 u 函 x xQ 数 y ( x, t ) A cos[ (t ) Q ] u沿 x 轴负向 u
点P 振动方程
x yP (t ) yO (t t ) A cos(t ) u
x t u
点P
t 时刻点 P 的运动
7 – 振动和波动
y A
O
u
x
P
*
x y ( x, t ) A cos (t ) u
点 O 振动方程
A
x
yo A cost x 0 , o 0
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
7 – 5 平面简谐波
以速度u 沿
第七章 振动和波动
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程
y O A cos t
时间推 迟方法
y O A cos t
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形 .
y( x, t0 ) y( x , t0 ) （波具有空间的周期性） t0 x1 x1 1 (t0 ) O 2 π( ) O 波程差 u T t0 x2 x2 x x x 21 2 1 2 (t0 ) O 2 π( ) O u T x x2 x1 2 π 21 2 1 2 π
7 – 5 平面简谐波
第七章 振动和波动
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y( x, t ) 0.05cos π(2.5t 1.0 x) m.
t x y( x, t ) A cos2π( ) T
解：方法——比较系数法
把题中波动方程改写成
比较得
2.5 1 . 0 y( x, t ) 0.05cos2π( t x) m 2 2
振动速度与传播速度的区别！
2π 角波数 k
7 – 5 平面简谐波
波函数的物理意义
第七章 振动和波动
x t x y( x, t ) A cos[(t ) O ] A cos[2 π( ) O ] u T
1 当 x= xQ 时， 波函数表示定点 xQ 处的简谐 运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
u λ y( xQ , t ) y( xQ , t T ) （波具有时间的周期性）
xQ
2 π
xQ
7 – 5 平面简谐波
第七章 振动和波动
波线上各点的简谐运动图
7 – 5 平面简谐波
第七章 振动和波动
x t x y( x, t ) A cos[(t ) O ] A cos[2 π( ) O ] u T 2 当 t t0 一定时，波函数表示 t 0 时刻波线上
7 – 5 平面简谐波
波动方程的其它形式
第七章 振动和波动
t x y ( x,t) A cos[ 2 π ( ) O ] T λ y ( x , t ) A cos( t kx O )
质点的振动速度、加速度
注意
y x v A sin[ (t ) O ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) O ] u t
7 – 5 平面简谐波
一 平面简谐波的波函数
第七章 振动和波动
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波 . 平面简谐波：波面为平面的简谐波 . 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数，又称为波动方程 .
点 O 振动方程
A
yO A cos(t O )
x 波 y( x, t ) A cos[(t u ) O ] u 沿 x 轴正向 函 x 数 y( x, t ) A cos[ (t u ) O ] u 沿 x 轴负向
7 – 5 平面简谐波
如果已知距原
点为 xQ 的点Q的 振动规律
7 – 5 平面简谐波
第七章 振动和波动
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y( x, t ) A cos2 π( ) (t , x) (t t , x x) T t x t t x x t x x u t 2π ( ) 2π ( ) T T T
相位落后法
x 点 P 比点 O 落后的相位 P O 2 π P 2π x 2π x x Tu u x yP A cos (t ) 点 P 振动方程 u
7 – 5 平面简谐波
如果原点的 初相位不为零
第七章 振动和波动
A
O
y
u
x
x 0 , o 0
π(2.5t 1.0 x1 ) π(2.5t 1.0 x2 ) 2π
x2 x1 2.0 m
周期为相位传播一个波长所需的时间.
π(2.5t1 1.0 x1 ) π(2.5t2 1.0 x2 ) x2 x1 2.0 m x2 x1 1 u 2.5 m s t 2 t1 T t2 t1 0.8 s