九年级数学 旋转 第二讲 旋转典型例题解析(上)

能力提升
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的
B
C
夹角等于旋转角
∠BCB′=∠ACD
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
旋转的决定因素有： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角.
D
C
L
M
K
A
B
知识点三 以旋转为背景的四边形问题
A
B
E
(1)
A F
F
N
C BM P
C
(2) E
知识点三 以旋转为背景的四边形问题
【点拨】 △ABM≌△AFN
∠BAM=∠FAN 旋转的性质
AB=AF ∠B=∠F
A
B
E
(1)
A F
F
N
C BM P
C
(2) E
例3．（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？
D
C
L
M
K
A
B
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系．
D
C
说明：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
L
∴AB=AD，AK=AM，
M
K
∠BAK=90°-∠DAK， ∠DAM=90°-∠DAK， A
并说明理由．
【点拨】 （2）∠FAB=120°
∠B=60°
AF∥BP AB∥FP
四边形ABPF 是平行四边形
一组邻边相等
四边形ABPF是菱形
120°
A 30° F N
60°
BM
P
C
E (2)
例3．（1）求证：AM=AN； 【证明】
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN， 在△ABM和△AFN中，
∴△ABM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN.
旋转典型例题解析(上)
课标引路
学习目 标
2．会利用旋转的性质证明两线段的关系； 3．会解以旋转为背景的四边形问题；
知识梳理
注意：正确运用直尺和圆规.
欲证明
转化 证明两线段所
两条线段相等
在三角形全等旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应线段的长度、对应角的大小相等； （3）旋转前后图形的大小和形状没有改变．
L
∴AB=AD，AK=AM，
M
K
∠BAK=90°-∠DAK， ∠DAM=90°-∠DAK， A
B
∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM．
∴△ABK与△ADM的形状和大小相同．
∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合.
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
用旋转的方法解答本题，
D
C
L
M
K
A
B
将△ABK绕A点逆时针旋转90° 就与△ADM重合，
可证明△ABK≌△ADM， BK和DM是对应边，
得出BK与DM的关系．
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系． 【解析】解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．
与DM的关系．
D
C
说明：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
L
∴AB=AD，AK=AM，
M
K
∠BAK=90°-∠DAK， ∠DAM=90°-∠DAK， A
B
∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM．
∴△ABK与△ADM的形状和大小相同．
∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合.
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系．
D
C
说明：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
L
∴AB=AD，AK=AM，
M
K
∠BAK=90°-∠DAK， ∠DAM=90°-∠DAK， A
B
∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM．
∴△ABK与△ADM的形状和大小相同．
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角
B
C
∠BCB′=∠ACD
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
B
∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM．
∴△ABK与△ADM的形状和大小相同．
∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合.
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系．
D
C
说明：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角
B
C
∠BCB′=∠ACD
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角
B
C (C′)
B
∴∠BAK=∠DAM，∴△ABK≌△ADM．
∴△ABK与△ADM的形状和大小相同．
∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合.
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系． 说明：∴BK=DM且BK⊥DM．
E (2)
【点评】
此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的 判定和全等三角形的判定等知识；
根据“旋转前后图形大小不发生变化”得出 是解题关键．
指点迷津
【错解】
BC
【误区分析】误把∠BOC当作旋转角．
D
产生错误的原因是不理解旋转角的定义．
A
O
确定旋转角，先确定“旋转中心”和“对应点”，
旋转中心与对应点所连线段的夹角就是旋转角． 本题中的点A和点C是对应点，所以∠AOC是对应角． 【正解】
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的
B
C
夹角等于旋转角
∠BCB′=∠ACD
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
A
D (A′)
【点拨】旋转角为∠ACD
对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角
B
C
∠BCB′=∠ACD
∠BCB′=∠ACD
对应点到旋转中心
的距离相等
CB=CB′
确定B′的位置 C(C′) D(A′)
旋转后的三角形
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶
点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
E
【解析】 解：
B′ A D
（1）连结CD；
（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD； B
C
（3）在射线CE上截取CB′=CB，则B′即为所求的B的对应点；
（4）连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系．
【点拨】用旋转中心、旋转角、对应点、对应线段 的知识来说明．
∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合.
例2．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，
使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK
与DM的关系．
D
C
说明：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
L
∴AB=AD，AK=AM，
M
K
∠BAK=90°-∠DAK， ∠DAM=90°-∠DAK， A
A F
N
BM P
C
(2) E
知识点三 以旋转为背景的四边形问题
【解析】解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：连接AP，∵∠α=30°， ∴∠FAN=30°， ∴∠FAB=120°，
∴AF∥BP，
A
F
∴∠F=∠FPC=60°，
N
∴∠FPC=∠B=60°，
BM
P
C
∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形， ∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形．