高校高等数学3-7[1]

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高等数学第1章

第一章函数与极限初等数学的研究对象是不变的量,高等数学的研究对象是变动的量,函数关系就是变量之间的依赖关系,极限方法就是研究变量的方法,本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等根本概念以及它们的一些性质,_________________________________________________________________________________________________________________________________．第一节映射与函数集合一、集合1.集合概念集合是数学中的一个根本概念,例如,一个书柜中的书构成一个集合,书柜不是集合一间数室里的学生构成一个集合,全体实数构成一个集合等等,_________________________________________________________________________________________________________________________________．一般的,集合是具有某种特定性质的事物的总体, 集合简称集, 用大写拉丁字母A,B,C,...表示元素是组成这个集合的事物. 元素简称元, 用小写拉丁字母a,b,c,.....表示_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与元素的关系如果a 就是集合A 的元素,就说a 是属于A,记作∈a A ;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作∉a A 或a A ∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．一个集合,假设它只含有限个元素,那么称为有限集;假设它是含无限个元素,那么称为无限集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．表示集合的方法表示集合的方法有两种:一是列举法,二是描述法列举法:就是把集合的全体元素一一列举出来表示,例如,由元素12n a ,a ,,a 组成的集合A,可表示成12n A {a ,a ,,a }=描述法:假设集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成的,就可表示成M={xlx 具有性质P).例如,集合B 是方程2x 10-=的解集,就可表示成2B {x |x 10}=-=_________________________________________________________________________________________________________________________________．数集对于数集,在表示数集的字母的右上角标上不同的符号代表不同的数集标上“*〞表示排除0的数集,标上“+〞表示全为正的数集,全正整数的集合记作N +，所以N {1,2,3,,n,}+=非负整数的集合记作N ，所以N={0,1,2,…n,…};全体整数的集合记作Z ，所以Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}全有理数的集合记作Q,所以p Q |p Z,q N 且p 与q 互质q +⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭ 全正实数的集合记作+R ,除0实数的集合记作*R全体实数的集合记作R_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合与集合的关系设A 、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,那么称集合A 是集合B 的子集,就记作⊂A B 读作A 包含于B或记作B A ⊃读作B 包含A._________________________________________________________________________________________________________________________________．如果集合A 与集合B 互为子集,即⊂A B 且⊂B A ,那么称集合A 与集合B 相等,记作A=B.例如,设A={1,2},2B {x |x 3x 20}=-+=，那么A=B._________________________________________________________________________________________________________________________________．假设⊂A B ≠A B ,那么称A 是B 的真子集,记作A B,例如,N Z Q R_________________________________________________________________________________________________________________________________．不含任何元素的集合称为空集, 空集记作∅,且规定空集∅是任何集合A 的子集,即A ∅⊂例如2{x |x R 且x 1=0}∈+是空集,因为适合条件2x 10+=的实数是不存在的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.集合的运算集合的根本运算集合的根本运算有以下几种:并、交、差,设A 、B 是两个集合,并由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集(简称并),记AUB,即AB {x |x A 或x B)=∈∈ 交由所有属于A 而且属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的交集(简称交),记A B ,即A B {x |x A 且x B}=∈∈差由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合,称为A 与B 的差集(简称差),记A\B ，即A\B {x |x A 且x B}=∈∉_________________________________________________________________________________________________________________________________．补是特殊的差我们研究某个问题是限定在一个大的集合I,所研究的其他集合A 是I 的子集,此时,我们称集合I 为全集，称I\A 为A 的余集或补集,记作C A .例如,在实数集R 中,集合A {x |0x 1}=<≤,A 的余集就是C A {x |x 0或x 1).=≤>_________________________________________________________________________________________________________________________________．集合的根本运算法那么集合的并、交、余运算满足以下法那么,设A 、B 、C 为任意三个集合,那么有以下法那么成立:(1)交换律==A B BA,A B B A; (2)结合律=(A B)C A (B C), (3)分配律=(A B)C (AC)(B C), (4)对偶律=c C C (A B)A B以上这些法那么都可根据集合相等的定义验证,_________________________________________________________________________________________________________________________________．现就对偶律的第一个等式:“两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集〞证明如下:因为∈C x (AB)x A B ⇒∉x A 且x B ⇒∉∉c c x A 且x B ⇒∈∈且∈c C x A B 所以c c c (A B)A B ⊂ 反之,因为∈cC x A B c c x A 且x B ⇒∈∈x A 且x B ⇒∉∉x A B ⇒∉c x (A B)⇒∈所以c c C A B (A B)⊂ 于是=C CC (A B)A B 注以上证明中,符号""⇒表示“推出〞(或“蕴含〞)如果在证明的第一段中,将符号""⇒改用符号""⇔(表示“等价〞),那么证明的第二段可省略,_________________________________________________________________________________________________________________________________．在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿乘积,设A 、B 是任意两个集合,在集合A 中任意取一个元素x ·在集合B 中任意取一个元索y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,_________________________________________________________________________________________________________________________________．它们全体组成的集合称为集合A 与集合B 的直积,记为⨯A B就是A B {(x,y)|x A 且y B)}⨯=∈∈例如R R {(x,y)|x R,y R}⨯=∈∈即为xOy 面上全体点的集合,⨯R R 常记作2R_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.区间和邻域 (针对数集的)区间区间是用得较多的一类数集,有限区间设a 和b 都是实数,且a<b.数集{x|a<x<b}称为开区间,记作(a,b),即(a,b)={x|a<x<b},a 和b 称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b),b (a,b)∉∉.数集{x |a x b}≤≤称为闭区间,记作[a,b],即[a,b]{x |a x b}=≤≤a 和b 称为闭区间[a,b]的端点,这里∈∈a [a,b],b [α,b]_________________________________________________________________________________________________________________________________．类似地可说明:[a,b)和(a,b]都称为半开区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以上区间都称为有限区间,数b-a 称为这些区间的长度,从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段,闭区间[a,b]与开区间(a,b)在数轴上表示出来,分别如图1-1(a)与(b)所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．无限区间此外还有所谓无限区间,引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),那么可类似地表示无限区间,例如这两个无限区间在数轴上如图1-1(c),(d)所示,全体实数的集合R 也可记作-∞+∞(,),它也是无限区间,_________________________________________________________________________________________________________________________________．以后如果不需要辨明是无限区间还是有限区间，所论区间是否包含端点,我们就简单地称它为“区间〞,且常用I 表示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．邻域邻域邻域也是一个经常用到的概念,以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域,记作U(a)含点a_________________________________________________________________________________________________________________________________．δ邻域设δ是任一正数,那么开区间(a δ,a δ)-+就是点a 的一个邻域,这个邻域称为点a 的δ邻域,记作U (a,δ)，即U (a,δ){x |a δx a δ}=-<<+点a 称为这邻域的中心,而δ称为这邻域的半径(图1-2)._________________________________________________________________________________________________________________________________．由于a δx a δ-<<+相当于-<|x a |δ,因此,U (a,δ){x ||x a |δ}=-<因为|x-a|表示点x 与点a 间的距离,所以U (a,δ)表示与点a 的距离小于δ的一切点x 的全体,_________________________________________________________________________________________________________________________________．去心δ邻域有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点a 的δ邻域去掉中心a 后,称为点a 的去心δ邻域,记作U(a,δ)即U (a,δ){x |0|x a |δ}=<-<，这里0<lx-a|就表示x a ≠_________________________________________________________________________________________________________________________________．为了方便,把开区间(a δ,a)-称为a 的左δ邻域,把开区间+(a,a δ)称为a 的右δ邻域._________________________________________________________________________________________________________________________________．两个闭区间的直积表示xOy 平面上的矩形区域,区间是数轴区域是平面例如[a,b]x[c.d]={(x,y)|x ∈[a,b],y ∈[c,d]},即为xOy 平面上的一个矩形区域,这个区域在x 轴与y 轴上的投影分别为闭区间[a,b]和闭区间[c,d]. _________________________________________________________________________________________________________________________________．二、映射(集合与集合之间有了运算)1.映射概念定义设X 、Y 是两个非空集合,如果存在一个法那么f,使得对X 中每个元素x,按法那么f,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应,那么称f 为从X 到Y 的映射,记作f:X Y →,_________________________________________________________________________________________________________________________________．x 称为元素y 的原像;y 称为元素x 的像,并记作f (x),即y=f(x),集合X 称为映射f 的定义域,记作f D ，即f D X =;集合X 中所有元素x 的像所组成的集合称为映射f 的值域,记作f R 或f(X),即f R f(X){f(x)|x X}==∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．从上述映射的定义中,需要注意的是:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域f D X =;集合Y,就是值域f R Y ⊂;对应法那么f,就是可让每个x X ∈,对应着唯一确定的y 的法那么.(2)对每个元素x X ∈, x 的像y 绝对唯一;而对每个元素f y R ∈, y 的原像x 未必唯一;(3)映射f 的值域f R 是Y 的一个子集,即f R Y ⊂,不一定f R Y =_________________________________________________________________________________________________________________________________．例1设→f:R R ,对每个2x R,f(x)x ∈=.显然,f 是一个映射,f 的定义域f D {x |x }R =-∞<<+∞=,f 的值域f R {y |y 0}R =≥⊂,它是R 的一个真子集,对于f R 中的元索y,除y=0外,它的原像x 不唯一,如y=4的原像就有x=2和x=-2两个_________________________________________________________________________________________________________________________________．例2设22X {(x,y)|x y 1}=+=Y {(x,0)|x |1}=≤,f:X →Y,对每(x,y)X ∈,有唯一确定的∈(x,0)Y 与之对应,显然f 是一个映射,f 的定义域f D X =,值域f R Y =在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆的圆周上的点投影到x 轴的区间[-1,1]上,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例3 设ππf:[,][1,1]22-→-,对每个ππx [,]22∈-,f(x)=sinx. 这f 是一个映射, 其定义域f ππD [,],22=-值域f R [1,1]=- _________________________________________________________________________________________________________________________________．映射类型设f 是从集合X 到集合Y 的映射,满射:假设f R Y =,即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像,那么称f 为X 到Y 上的映射或满射; Y 中的所有y 全被射了单射:假设对X 中任意两个不同元素12x x ≠,它们的像12f(x )f(x )≠,那么称f 为X 到Y 的单射; Y 中的y 只被射一次一一映射:假设映射f 既是单射,又是满射,那么称f 为一一映射(或双射).例1中的映射,既非单射,又非满射;例2中的映射不是单射,是满射;例3中的映射是一一映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________．映射又称为算子,根据集合X 、Y 的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称,例如,从非空集X 到数集Y 的映射又称为X 上的泛函,从非空集X 到它自身的映射又称为X 上的变换,从实数集X 到实数集Y 的映射称为X 上的函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．2.逆映射与复合映射逆映射设f 是X 到Y 的单射,f(x)=y,x ∈X,f y R ,∈对每个y,只有唯一的x,于是,可定义一个从f R 到X 的新映射g,即f g:R X →,f y R ∈, x ∈X对每个f y R ∈,规定g(y)=x,这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f -,其定义域1f f D R ,-=,值域1f R -=X_________________________________________________________________________________________________________________________________．接上述定义,只有单射才存在逆映射,所以,在例1,2,3中，只有例3中的映射f 才存在逆映射-1f ,这个1f -就是反正弦函数的主值1f (x)arcsinx,x [1,1]-=∈-，其定义域1f D [1,1]-=-,值域1f ππR [,]22-=- _________________________________________________________________________________________________________________________________．复合映射设有两个映射1g:X Y →2f :Y ,Z →其中⊂I 2Y Y .那么由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法那么,它将每个∈x X 映成f[g(x)]Z ∈._________________________________________________________________________________________________________________________________．显然,这个对应法那么确定了一个从X 到Z 的映射,这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射,记作f g即f g:x z →,(f g)(x)f[g (x)],x X.=∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．由复合映射的定义可知,映射g 和f 构成复合映射的条件是:g 的值域g R 必须包含在f 的定义域内,即 g f R D ⊂否那么,不能构成复合映射,_________________________________________________________________________________________________________________________________．映射g 和f 的复合是有顺序的,映射f g 有意义并不表示映射g f 也有意义,就算即使f g 与g f 都有意义,复合映射f g 与g f 也未必相同,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例4设有映射g:R [1,1]→-,对每个x R,g (x)sinx ∈=,映射f:[-1,1]→[0,1],对每个∈-=u [1,1],f(u)那么映射g 和f 构成复合映射f g:R [0,1]→,对每个∈x R (f g)(x)f[g(x)]f(sinx)|cos x |.====_________________________________________________________________________________________________________________________________．三、函数(特殊的映射)1.函数概念定义设数集D ⊂R, R ⊂R,那么称映射f:D R →为定义在D 上的函数,记为=∈y f(x),x D其中x 称为自变量,其中y 称为因变量,其中D 称为定义域,记作f D 即f D D =.因变量y 与自变量x 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数的值域函数定义中,对每个∈x D ,接对应法那么f, 对应着唯一的y,这个值称为函数f 在x 处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,记作f R ,即f R f(D){y |y f(x),x D}===∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数的记号需要指出,按照上述定义,记号f 和f(x)的含义是有区别的:f 表示自变量x 和因变量y 之间的对应法那么,f(x)表示与自变量x 对应的函数值,但为了表达方便,把f(x)表示f习惯上常用记号“f (x),x D ∈〞或“y =∈f(x),x D 〞来表示定义在D 上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f._________________________________________________________________________________________________________________________________．表示函数的记号是可以任意选取的,除了常用的f 外,还可以用其他的英文字母或希腊字母,如“g 〞、“F 〞、“φ〞等,相应的函数可记作y=g(x),y=F(x),=y φ(x )等,有时还直接用因变量的记号来表示函数,y=y(x).在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,为了表示区别,需用不同的记号来表示它们,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要索是:定义域f D 及对应法那么f,如果两个函数的定义域相同,对应法那么也相同,旁解:到时值域会随着定义域和f 相同因为值域由定义域和f 确定的那么这两个函数就是相同的,否那么这两个函数就是不同的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数定义域实际定义域函数的定义域通常接以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0,落地的时刻t=T,那么s 与t 之间的函数关系是21s gt ,t [0,T]2=∈ 这个函数的定义域就是区间[0,T];_________________________________________________________________________________________________________________________________．自然定义域另一种是对抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域能使算式有意义这种定义域称为函数的自然定义域,在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)〞表达,而不必再表出f D .例如, 函数=-2y 1x [-1,1], 函数=-2y 1x (-1,1)._________________________________________________________________________________________________________________________________．多值函数在函数的定义中,对每个∈x D ,对应的函数值y 总是唯一的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．给定一个对应法那么,如果按这个法那么,对每个∈x D ,对应的函数值y 不是唯一的那么对于这样的对应法那么并不符合函数的定义,习惯上我们称这种法那么确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,设变量x 和y 之间的对应法那么由方程222x y r +=给出,显然,对每个x [r,r]∈-,由方程222x y r +=可确定出对应的y 值,当x=r 或-r 时,对应y=0一个值;当x 取(-r,r)内任一个值时,对应的y 有两个值,所以这方程确定了一个多值函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．多值函数的单值分支对于多值函数,如果我们附加一些条件,使得在附加条件之下,按照这个法那么,对每个∈x D ,总有唯一确定的实数值y 与之对应,那么这就确定了一个函数,我们称这样得到的函数为多值函数的单值分支,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,在由方程222x y r +=给出的对应法那么中,附加'y ≥0〞的条件,即以“222x y r +=且≥y 0〞作为对应法那么,就可得到一个单值分支y=221y (x)r x =-附加“≤y 0〞的条件,即以“+=2Z 2x y r 且≤y 0〞作为对应法那么, 就可得到另一个单值分支222y y (x)r x ==--_________________________________________________________________________________．表示函数的主要方法表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|y f(x),x D}=∈称为函数=∈y f(x),x D 的图形(图1-3).图中的f R 表示函数y=f(x)的值域,____________________________________________________________________________________．下面举几个函数的例子,例5函数y=2的定义域=-∞+∞D (,),值域W={2},它的图形是一条平行于x 轴的直线,如图1-4所示,______________________________________________________________________________________________________．例6绝对值函数函数==y |x |x,x 0,x,x 0≥⎧⎪⎨-<⎪⎩的定义域=-∞+∞D (,),值域f R [0,)=+∞,它的图形如图1-5所示,这函数称为绝对值函数,_____________________________________________________________________________．例7符号函数函数1,x 0y sgnx 0,x 01,x 0>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,称为符号函数,它的定义域=-∞+∞D (,),值域f R {1,0,1}=-,它的图形如图1-6所示,对于任何实数x,以下关系成立:x sgnx |x |=⋅______________________________________________________________________．例8取整函数设x 为任一实数,不超过x 的最大整数称为x 的整数局部, 记作[x].例如,[-1]=-1,[-3.5]=-4.把x 看作变量,那么函数y=[x]的定义域=-∞+∞D (,),值域f R Z =.它的图形如图1-7所示,这图形称为阶梯曲线,在x 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1.这函数称为取整函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．在例6和例7中看到,有时一个函数要用几个式子表示,这种在自变量的不同变化范围中,对应法那么用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例9分段函数函数==y f(x)2x ,0x 1,1x,x 1⎧≤≤⎪⎨+>⎪⎩是一个分段函数,它的定义域=+∞D [0,) 当x [0,1]∈时,对应的函数值f(x)2x =当∈x +∞(1,)时,对应的函数值f(x)=1+x._________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,12[0,1]∈,所以11f()22;22== 1[0,1]∈,所以f(1)212==∈+∞3(1,),所以f(3)=1+3=4.这函数的图形如图1-8所示,_______________________________________________用几个式子来表示一个函数, (不是几个函数！)不仅与函数定义并无矛盾,而且有现实意义,在自然科学和x 程技术中,经常会遇到分段函数的情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如，在等温过程中，气体压强p 与体积V 的函数关系,当V 不太小时依从玻意耳定律;当V 相当小时,函数关系就要用范德瓦耳斯方程来表示, 即002k ,V V ,V p γα,βV V V βV ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪-⎩其中k,α,β,γ都是常量, _________________________________________________________________________________________________________________________________．2.函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集⊂X D ,如果有存在实数1K ，对任一1x X ∈,≤1f(x)K , 那么称f(x)在X 上有上界,1K 为上界,如果有存在实数2K ，对任一1x X ∈,≥2f(x)K ,那么称f(x)在X 上有下界,K 2为下界,如果有存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上有界,如果不存在正数M ，对任一x X ∈,≤|f(x)|M ,那么称f(x)在X 上无界;如果有存在正数M ，对任一1x X ∈1|f(x )|M >,那么称f(x)在X 上无界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,函数f(x)=sinx,x ∈-∞+∞(,)数1是它的一个上界,(大于1的任何数也是它的上界)数-1是它的一个下界,(小于-1的任何数也是它的下界)_________________________________________________________________________________________________________________________________．对任意x, |sinx |1≤函数f(x)=sinx 在-∞+∞(,)内是有界的,这里M=1(大于1的数也可作为M),_________________________________________________________________________________________________________________________________． _________________________________________________________________________________________________________________________________．函数=1f(x)x在开区间(0,1)内没有上界,但有下界, 例如1就是它的一个下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．函数=1f(x)x在开区间(0,1)内是无界的, 因为不存在这样的正数M, 对于(0,1)内的一切x,≤1||M x .无上界所以无界 _________________________________________________________________________________________________________________________________．但是=1f(x)x在区间(1,2)内是有界的, 例如可取M=1,对于一切∈x (1,2),≤1||1x , _________________________________________________________________________________________________________________________________．容易证明,函数f(x)在x 上有界的充分必要条件是它在x 上既有上界又有下界,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(2)函数的单调性设函数f(x)的定义域为D,区间I ⊂D.如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ,当12x x <时,恒有12f(x )f(x )<那么称函数f(x)在区间I 上是单调增加的(图1-9);如果对于区间I 上任意两点1x ,及2x ,当 <I 2x x 时,恒有>12f(x )f(x )那么称函数f(x)在区间 I 上是单调减少的(图1-10).单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,_______________________________________．例如,函数=2f(x)x 在区间+∞[0,)上是单调增加的,在区间-∞(,0]是单调减少的;在区间-∞+∞(,)内函数=2f(x)x 不是单调的(图1-11).例如,函数=3f(x)x 在区间-∞+∞(,)内是单调增加的(图1-12)._______________________________________________________________．(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D 关于原点对称,如果对于任x D -∈f(-x)= f(x)恒成立,那么称f(x)为偶函数,如果对于任x D -∈f(-x)=-f(x)恒成立,那么称f(x)为奇函数例如,2f(x)x =是偶函数,因为22f(x)(x)x f(x)-=-==例如,3f(x)x =是奇函数,因为33f(x)(x)x f(x).-=-=-=-______________________________________________________．偶函数的图形关于y 轴对称,因为假设f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于y 轴对称的点'-A (x f(x))也在图形上(图1-13).__________________________________________________________________________．奇函数的图形关于原点对称,因为假设f(x)是奇函数,那么f(-x)=-f(x),所以如果A(x,f(x))是图形上的点,那么与它关于原点对称的点A (x,f(x))''--也在图形上(图1-14).函数y=sinx 是奇函数,函数y=cosx 是偶函数,函数y=sinx+cosx 既非奇函数,也非偶函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,对于任一∈x D ,有(x l)D ±∈且f(x+l)=f(x),那么称f(x)为周期函数,l 称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期,例如,函数sinx,cosx 都是以2π为周期的周期函数;函数tanx 是以π为周期的周期函数,图1-15表示周期为l 的一个周期函数,在每个长度为l 的区间上,函数图形有相同的形状,_________________________________________________________________________________________________________________________________．并非每个周期函数都有最小正周期,下面的函数就属于这种情形,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例10狄利克雷(Dirichlet)函数=D(x)C 1,x Q,0,x Q .∈⎧⎪⎨∈⎪⎩容易验证这是一个周期函数,任何正有理数r 都是它的周期,因为不存在最小的正有理数,所以它没有最小正周期,_________________________________________________________________________________________________________________________________．3.反函数与复合函数反函数是特殊的逆映射,反函数的概念,设函数f:D f(D)→是单射,那么它存在逆映射1f :f(D)D -→,称此映射1f -为函数f 的反函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________． ∵函数f:D f(D)→是单射∴对每个y ,只有唯一的x ,使得f(x)=y,于是1f (y)x -=∴反函数1f -是由函数f 确定的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,∵=3y x ,∈x R 是单射,∴所以它的反函数存在,其反函数为13x y ,y R.=∈∵习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示, ∴反函数13x y ,y R.=∈通常写作13y x ,x R.=∈一般的,y=f(x),x ∈D 的反函数记成1x f (y),y f(D)-=∈→1y f (x),x f(D).-=∈ _________________________________________________________________________________________________________________________________．假设f 是定义在D 上的单凋函数,那么f:D f(D)→是单射,∴f 的反函数1f -必存在,|而且容易证明1f -也是f(D)上的单调函数,证设f 在D 上单调增加,现在来证明1f -在f(D)上也是单调增加的,任取12y ,y f(D)∈,且y 12y <接函数f 的定义,对1y ,在D 内存在唯一的原像1x ,使得11f(x )y =,于是111f (y )x -=,对2y ,在D,内存在唯一的原像x 2,使得22f(x )y =,于是(22f (y )x ,-=如果>12x x ,那么由f(x)单调增加,必有>I 2y y ;如果=12x x ,那么显然有12y y =.这两种情形都与假设<I 2y y 不符,故必有12x x <,即11f (y )-<22f (y ).-这就证明了1f -在f(D)上是单调增加的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．相对于反函数1y f (x)-=来说,原来的函数y=f(x)称为直接函数,把直接函数y=f(x)和它的反函数1y f (x)-=的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线y=x 是对称的(图1-16).这是因为如果P(a,b)是y=f(x)图形上的点,那么有b=f(a).接反函数的定义,有1a f (b)-=故Q(b,a)是1y f (x)-=图形上的点;_________________________________________________________________________________________________________________________________．反之,假设Q(b,a)是1y f (x)-=,是图形上的点,那么P(a,b)是y=f(x)圆形上的点,而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=x 对称的,_________________________________________________________________________________________________________________________________．复合函数是特殊的复合映射,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述,设函数u=(x)的定义域为g D ,其值域为g R ,函数y=f(u)的定义域为f D ,而g R f D ⊂那么函数g y f[g(x)],x D =∈称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为g D ,变量u 称为中间变量,函数g 与函数f 构成的复合函数, 通常记为f g复合次序先g 后f.即(f g)(x)f[g(x)]=_________________________________________________________________________________________________________________________________． |与复合映射一样,g 与f 能构成复合函数f g 的条件是:函数g 的值域g R 必须含在函数f 的定义域f D 内,即g f R D ⊂.否那么,不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．例如,u=g(x)=sinx 的值域为[-1,1],y=f(u)=arcsinu 的定义域为[-1,1],g 的值域[-1,1]⊂f 的定义域[-1,1]故g 与f 可构成复合函数,y=arcsinsinx,x R ∈又如,u=g(x)=tanx 的值域为g R =-∞+∞(,),.==y f(u)f D [0,)=+∞,显然g f R D ⊄,故g 与f 不能构成复合函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．但是,如果将函数g 限制在它的定义域的一个子集1D {x |k πx (k )π,k Z}2=≤<+∈上,令*g (x)tanx,x D =∈,那么**f g R g (D)D =⊂g*与f 就可以构成复合函数(f g*)(x)D =∈_________________________________________________________________________________________________________________________________．习惯上为了简便起见,u=tanx 与函数=y 构成的复合函数,这里函数u=tanx 应理解成:u=tanx,∈x D .以后,我们采取这种习惯说法,例如,我们称函数u=x+1与函数y=lnu 构成复合函数ln(x+1),它的定义域不是u=x+1的自然定义域R,而是R 的一个子集=-+∞D (1,)_________________________________________________________________________________________________________________________________．有时,也会遇到两个以上函数所构成的复合函数,只要它们顺次满足构成复合函数的条件,例如,函数=y ,u=cotv,=x v 2可构成复合函数这里u 及v 都是中间变螯,复合函数的定义域是D {x |2k πx =<<+∈(2k 1)π,k z}, 而不是=χv 2的自然定义域R, D 是R 的一个非空子集,_________________________________________________________________________________________________________________________________．4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为12D ,D ,12D D D =≠∅ 那么我们可以定义这两个函数的以下运算:,和f g +:(f g)(x)f(x)g (x),x D +=+∈;差f g -:(f g)(x)f(x)g (x),x D -=-∈;积f ·g:(f g)(x)f(x)g (x),x D ⋅=⋅∈ 商f g :f f(x)()(x)g g (x)=x D\{x |g (x)0,x D}∈=∈ 例11设函数f(x)的定义域为(-1,1),证明必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).证假设g(x)、h(x)存在,∴g(-x)= g(x), h(-x)= -h(x)∵f(x)= g(x)+h(x)(1)∴f(-x)= g(x)-h(x)(2)旁解:f(-x)= g(-x)+ h(-x) = g(x) -h(x) g(x)=12[f(x)+f(-x)], h(x)=12[f(x)-f(-x)], 验证 g(-x) =12[f(-x)+f(x)]=g(x) h(-x) =12[f(-x)-f(x)]=h(x) g(x)+h(x)=f(x).∴必存在(-1,1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)._________________________________________________________________________________________________________________________________．5.初等函数根本初等函数在初等数学中已经讲过下面几类函数:幂函数: μy x =(μR ∈是常数),指数函数: x y a =(a>0.且a 1≠)对数函数:, a y log x =(a>0.且a 1≠,特别当①a e =时,记为y=lnx)三角函数:如y=sinx.y=cosx.y=tanx 等反三角函数:如y=arcsinx.y=arccosx.y=arctanx 等以上这五类函数统称为根本初等函数,由常数和根本初等函数经过有限次的四那么运箅和有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,例如2y 1x ,=-2y sin x =,=x y cot 2等都是初等函数, 在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数,_________________________________________________________________________________________________________________________________．应用上常遇到以e 为底的指数函数x y e =和x y e -=所产生的双曲函数以及它们的反函数一一反双曲函数,它们的定义如下: 双曲正弦x x e e shx 2--= 双曲余弦x x e e chx 2-+= 双曲正切x x x xshx e e thx .chx e e ---==+ _________________________________________________________________________________________________________________________________．这三个双曲函数的简单性态如下:双曲正弦的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间(,)-∞+∞内它是单调增加的,当x 的绝对值很大时,它的①e 是一个无理数,这个数的意义见本章第六节,图形在第一象限内接近于曲线y=x 1e 2 在第三象限内接近于曲线x 1y e 2-=- (图1-17).双曲余弦的定义域为-∞+∞(,)它是偶函数,它的图形通过点(0,1)且关于y 轴对称,在区间(-∞,0)内它是单调减少的;在区间+∞(0,)内它是单调增加的,ch 01=是这函数的最小值,_________________________________________________________________________________________________________________________________．当x 的绝对值很大时, 它的图形在第一象限内接近于曲线x 1y e 2=, 双曲余弦的定义域为-∞+∞(,) 在第二象限内接近于曲线x 1y e 2-= (图1-17). 双曲正切的定义域为-∞+∞(,);它是奇函数,它的图形通过原点且关于原点对称,在区间-∞+∞(,)内它是单调增加的,它的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间;且当x 的绝对值很大时,它的图形在第一象限内接近于直线y=1,而在第三象限内接近于直线y=-1(图1-18)._________________________________________________________________________________________________________________________________．根据双曲函数的定义,可证以下四个公式:sh(x+y)=shxchy+chxshy(1)sh(x -y)=shxchy -chxshy(2)ch(x+y)=chxchy+shxshy(3)ch(x- y)=chxchy- shxshy(4)我们来证明公式(1),其他三个公式读者可自行证明,由定义,得 shxchy+chxshy y y y yx x x x e e e e e e e e 2222-----++-=⋅+⋅ x y y x x y (x y )e e e e 4+---+-+-=+x y y x x y (x y )e e e e 4+---++-- _________________________________________________________________________________________________________________________________．由以上几个公式可以导出其他一些公式,例如:在公式(4)中令x=y,并注意到ch0=1,得-=22ch x sh x 1(5)在公式(1)中令x=y,得sh2x=2shxchx.(6)在公式(3)中令x=y,得=+22ch2x ch x sh x (7)以上关于双曲函数的公式(1)至(7)与三角函数的有关公式相类似,把它们比照一下可帮助记忆,双曲函数y=shx,y=chx(x 0≥),y=thx 的反函数依次记为反双曲正弦y=arshx反双曲余弦y=archx,反双曲正切y=arthx._________________________________________________________________________________________________________________________________．这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示,分别讨论如下:先讨论双曲正弦y=shx 的反函数,由x=shy,有y ye e x 2--= 令y u e =,那么由上式有2u 2xu 10.--=这是关于n 的一个二次方程, 它的根为2u x x 1.=±+因y u e =>0,故上式根号前应取正号, 于是2u x x 1=+_________________________________________________________________________________________________________________________________．由于y=lnu,故得反双曲正弦2y arshx ln(x x 1).==++函数y=arshx 的定义域为-∞+∞(,),它是奇函数,在区间-∞+∞(,)内为单调增加,由y=shx 的图形,根据反函数的作图法,可得y=arshx 的图形如图1-19所示,_________________________________________________________________________________________________________________________________．下面讨论双曲余弦y=chx(x 0≥)的反函数,由x=chy(y 0≥),有y y e e x ,y 02-+=≥ 由此得y 2e x x 1=-故2y ln(x x 1)=±-上式中x 的值必须满足条件≥x 1,。

高数3(第十二章第5、6、7节)

说明：说明：
(1) 函数 P, Q, R 中变量 x, y, z 不独立受到不独立, 曲面∑方程的限制方程的限制；曲面∑方程的限制； (2)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ Σ Σ r 其中 V = {P , Q , R }, v dS = {dydz , dzdx , dxdy } 为有向面积元素
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记作
∫∫Σ R( x, y, z)dxdy = lim ∑ R(ξ i ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy λ →0
i =1
n
类似可定义：类似可定义： P(x, y, z) 在有向曲面∑上对坐标 y, z 的曲面积分在有向曲面∑
n
∫∫Σ P( x, y, z)dydz = lim ∑ P (ξ i ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ →0 i =1
解：曲面向 yoz平面投影时平面投影时, 平面投影时 z
2
Σ : x = ± 1 − y2
− 1 ≤ y ≤ 1 (前后曲面 D y z : 前后曲面) 前后曲面 0≤ z≤2
平面投影时, 曲面向 xoy平面投影时平面投影时
1
x
y
投影为曲线, 投影为曲线无 Dx y ,
即
∫∫ Σ
e x sin y dxdy = 0 .
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§6 高斯公式通量与散度
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一、高斯(Gauss)公式高斯(Gauss)
格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系, 之间的关系, 而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。的曲面积分之间的关系。

高等数学北师大版教材

高等数学北师大版教材高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，对培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要意义。

北师大版教材作为国内高等数学教育的权威教材之一，具有很高的学术含量和教学价值。

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二、教材特点1.结构合理：教材内容从浅入深，由易到难，循序渐进。

每个章节都有明确的学习目标和重点难点，便于学生有针对性地进行学习和复习。

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每个领域都有详细而全面的阐述，使学生能够全面掌握相关知识。

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通过大量实际问题和案例，帮助学生将所学的数学知识运用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。

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高等数学第一章函数极限和连续讲义

第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）；指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-．（2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π．（3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-．（4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界．说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的．性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）．（二）函数的极限1．函数极限的定义（1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）．（三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±；（2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠；（4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±；（2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）．说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义．（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=；（2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小；（4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续（1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ．解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==，当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---．解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性．（1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数．（2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++．解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++．【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=．说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==．说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++．解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+．解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ．解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅，故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小．说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解．【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性．解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ．解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（）（A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（）（A ）0 （B ）不存在（C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（）（A ）高阶无穷小（B ）同阶无穷小，但不等价（C ）低阶无穷小（D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（）（A ）比sin3x 高阶的无穷小（B ）比sin3x 低阶的无穷小（C ）与sin3x 同阶的无穷小（D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）．二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++，因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-．三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-．解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===．说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ．解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ．解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--．说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →．解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。

经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率分析

(或 x )
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在，结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x

f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x

数学一复习计划

第四天
总结归纳第四、五章中的知识点, 整理并创建四、五章中的难题、错题题库
高等数学第六章定积分的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 6 章第 1 节
——
——
元素法
第 6 章第 2 节
习题6—2
1(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1) (3) ,16,19,21
求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）旋转体的体积及侧面积平行截面面积为已知的立体的体积平面曲线的弧长
第五天
总结归纳第二章中的知识点, 整理并创建本章中的难题、错题题库
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 3 章第 1 节
习题3－1
6,8,11(1),12,15
费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数
第二天
第 3 章第 2 节
第 1 章第 7 节
习题1－7
1,2,3(1),4(3) (4)
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法
第五天
第 1 章第 8 节
习题1－8
3(4),4,5
函数的连续性, 函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型
第二天
第 6 章第 3 节
习题6—3
5,11
用定积分求功、水压力、引力
第三天
第 6章总复习六
总复习题六
2,3,5

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

第一章函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节函数一、实数与区间二、领域三、函数的概念四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量Wy)因变量看右图：如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

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f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
3 2
∵ D : ( −∞ ,+∞ )
x
f ′′( x )
(−∞ ,0) −∞
+
凹的
0 0
拐点
( 0, 2 ) 3 −
凸的
2
3 0
( 2 ,+∞ ) 3 +
凹的
f ( x)
(0,1)
拐点 ( 2 ,11 ) 3 27
凹凸区间为 ( −∞ ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,+∞ ). 3
方法2: 方法2: 设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内三阶可导 , 且
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线注意拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内在阶理果存二导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
证 ∵ f ( x ) 二阶可导, ∴ f ′( x ) 存在且连续 ,
又 ∵ ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的条件,
∴ f ′′( x ) = 0.
方法1: 方法1: 设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
是连续曲线 y = f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y = 3 x 的拐点.
2 5
1 −3 4 −3 解当x ≠ 0时, y′ = x , y′′ = − x , 时 3 9 x = 0是不可导点 , y′, y′′均不存在 .
但在( −∞ ,0)内, y′′ > 0, 曲线在( −∞ ,0]上是凹的; 在(0,+∞ )内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的 .
[ 如果f ( x)在 a, b] 内连续,且在(a, b)内的图形是凹 (或凸的那末称 f ( x)在[a, b]内的图形是凹或凸的; ) , ( )
二、曲线凹凸的判定
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A o
a
b
x
o
a
f ′(x) 递增
y′′ > 0
f ′(x) 递减
b x y′′ < 0
∴ 点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.
定理1 定理1 如果 f ( x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内具有
二阶导数 ,若在(a, b) 内 (1) f ′′( x) > 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凹的; (2) f ′′( x) < 0,则 f ( x) 在[a, b] 上的图形是凸的.

例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
第七节曲线的凹凸与拐点 y
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向问题如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
o
C
B
A
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
图形上任意弧段位于所张弦的上方
( 定义设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;
当x < 0时， y′′ < 0,
∴曲线在(−∞ ,0]为凸的； −∞ 为凸的；
当x > 0时， y′′ > 0,
为凹的； ∴曲线在[0,+∞ )为凹的；
注意到, 注意到点( 0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 1.定义
续线凹的界称曲的点连曲上凸分点为线拐 .
y′′′ = − cos x + sin x . 3π 7π , x2 = . 令 y′′ = 0, 得 x1 = 4 4 7π 3π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = − 2 ≠ 0, 4 4
∴ 在[0,2π]内曲线有拐点为
3π 7π ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x 0 ) 不存在, 点 ( x 0 , f ( x0 )) 也可能
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及
凹、凸的区间.
解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3