第三章 导数与微分 小结
课件：第三章 导数与微分 总结
5、
6、已知函数 f ( x)具有任意阶导数，且
f ( x) f ( x)2,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x)是（ ）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1；
点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ).
7、微分的求法
dy f ( x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
返回
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d( x ) x1dx
d(tanx) sec2xdx d(cotx) csc2xdx
d(sinx) cos xdx d(secx) secxtanxdx
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccotx)
1
1 x2
dx
返回
8、 微分的基本法则
函数和、差、积、商的微分法则
(1) d(u v) du dv, (3) d(uv) vdu udv,
微分形式的不变性
(2) d(cu) cdu,
(4)
d( u) v
vdu udv v2
.
无论 x 是自变量还是中间变量, y f ( x)的 微分形式总是 dy f ( x)dx .
y(n), dn y dx n
或
dn f (x dx n
)
.
5、微分的定义
若函数 y f ( x) 的增量具有表达式 y Ax o(x) ,
则 y f ( x) 可微,相应的微分为 dy Adx.
微分 dy 叫做函数增量y 的线性主部.
大学微分知识点总结
大学微分知识点总结一、导数与微分的概念1. 导数的定义函数y=f(x)在点x0处的导数，定义为：f'(x0) = lim Δx→0 (f(x0+Δx)-f(x0))/Δx如果这个极限存在，就称函数在点x0处可导，导数的值就是这个极限值。
2. 导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)，表示函数在这一点的切线的斜率，也就是函数在这一点上的瞬时变化率。
3. 微分的定义函数y=f(x)在点x0处的微分，定义为：dy = f'(x0)dx这个式子表示函数在某一点上微小的变化量dy与自变量的微小变化量dx之间的关系。
4. 微分的几何意义函数y=f(x)在点x0处的微分dy，是函数在这一点处的切线上的微小变化量，它与自变量的微小变化量dx之间存在着近似的线性关系，这个关系即为切线的斜率。
二、导数与微分的运算法则1. 基本导数常数函数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为e^x，对数函数的导数为1/x，三角函数和反三角函数的导数等等都是微分学中比较基础的内容。
2. 导数的四则运算函数的和、差、积、商的导数与原函数的导数之间也有着一定的关系。
比如(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f' - g'， (fg)' = f'g + fg'， (f/g)' = (f'g - fg')/g^2。
3. 链式法则如果函数y=u(x)和v(x)都可导，那么复合函数y=u(v(x))的导数可以用链式法则表示：dy/dx = dy/du * du/dx4. 隐函数的求导当一个函数y=f(x)在方程F(x,y)=0中不能显式表示y时，此时的求导需要用到隐函数的求导方法。
5. 参数方程的求导当函数y=f(x)由参数方程x=x(t)，y=y(t)确定时，此时的求导需要用到参数方程的求导方法。
导数与微积分解析与归纳
导数与微积分解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，通过导数的概念与运算，可以求解方程、研究变化率、描述曲线等。
本文将对导数的定义、性质以及微积分的应用进行详细的解析和归纳。
一、导数的定义与性质导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
设函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)，可以按照以下方式进行定义：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗其中，lim表示极限运算，h为自变量的增量。
通过求导数可以得到函数在该点的斜率，进而可以研究曲线的变化情况。
导数具有一些性质，比如线性性、乘法法则、链式法则等。
其中线性性质表明对于函数f(x)和g(x)，以及实数a，有如下等式成立： (af(x))' = af'(x)(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)乘法法则以及链式法则提供了求解复杂函数导数的方法，使得微积分的应用更加灵活多样。
二、微积分的应用微积分的应用广泛，涵盖了数学、物理、经济等众多领域。
以下是微积分的一些常见应用：1. 曲线的切线与法线：导数描述了曲线在某一点的斜率，因此通过求导数可以求出曲线在特定点的切线方程。
切线是曲线在该点的最佳近似线性模型，具有重要的几何和物理意义。
2. 极值与最优化：通过求解函数的导数，可以确定函数的极值点。
当导数为0时，函数取得极值，进而可以对函数进行最优化设计，例如求解成本最小、利润最大等问题。
3. 函数的图像和变化：导数可以用来研究函数的图像特征，包括函数的增减性、凹凸性、拐点等。
通过分析导数的符号及变化情况，可以了解函数的整体变化趋势。
4. 积分与面积计算：积分是导数的逆运算，可以通过积分求解曲线下的面积、弧长等。
微积分的基本定理提供了将积分与导数联系起来的方法，为求解复杂问题提供了便利。
总结导数是微积分的核心概念，通过对导数的定义与性质的理解，我们可以更深入地掌握微积分的原理与方法。
导数与微分的总结
导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。
本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。
一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。
导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。
2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。
3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。
4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。
二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。
对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。
微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。
2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。
3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。
导数微分知识点总结
导数微分知识点总结一、微分的定义微分是微积分中的基本概念之一。
在微积分中，微分是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，若x在x_0处有一个增量Δx，对应的函数值的增量Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)，那么函数f(x)在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数。
二、导数的定义导数是微分的数学概念，是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，在x_0处导数f'(x_0)的定义为：若极限lim_(Δx→0)(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在x_0处的导数，记作f'(x_0)。
导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以用偏导数来描述多元函数的变化率。
三、微分和导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们之间存在着密切的联系。
微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数，可见微分和导数之间有直接的联系。
微分是导数的一种应用，而导数也可以通过微分来求得。
四、微分和导数的性质1.导数的性质：（1）常数的导数为0: (c)'=0（2）幂函数的导数: (x^n)'=nx^(n-1)（3）和差函数的导数: (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）积函数的导数: (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）商函数的导数: (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)（6）复合函数的导数: 若y=f[g(x)]，则y'=(f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)2.微分的性质：（1）微分的线性性质：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)（2）微分的乘法法则：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)五、导数的计算方法1.通过定义求导：根据导数的定义，可以直接求出给定函数的导数。
导数与微分总结范文
导数与微分总结范文一、导数的概念与性质1.导数的定义：函数f(x)在x=a处可导的充要条件是：f'(a) = lim┬(Δx→0)〖((f(a+Δx)-f(a))/Δx)〗其中f'(a)表示f(x)在x=a处的导数。
2.导数的几何意义：导数表示函数在其中一点处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化率。
导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。
3.函数可导与连续的关系：函数在特定点可导，则该点一定是函数的连续点，但函数连续并不一定可导。
4.导数的运算法则：-常数的导数为0。
-幂函数的导数是原函数的幂次减1乘以导数。
-指数函数的导数是指数函数本身乘以导数。
-对数函数的导数是分子的导数除以分母。
5.高阶导数：若f'(x)存在导数，则称其为一阶导数。
若f'(x)也存在导数，则称其为二阶导数，依此类推。
f''(x)也可表示为f⁽²⁾(x)或d²y/dx²。
二、微分的概念与性质1.微分的定义：函数f(x)在x=a处连续可导，则称dy=f'(a)dx为函数f(x)在x=a点的微分。
2.微分的近似计算：函数在特定点附近可以用微分来近似计算。
设函数f(x)在x=a点可导，则有：∆y≈f'(a)∆x其中∆y为函数值的变化量，∆x为自变量的变化量。
3.微分与导数的关系：微分与导数在概念上是密切相关的。
微分是函数的自变量变化引起的函数值的变化，而导数则是函数值变化引起的自变量的变化。
4.求解微分的过程：- 对函数进行微分，可以得到函数的微分式dy=f'(x)dx。
- 根据已知条件求解微分量dy和dx。
-将得到的微分式与已知条件代入，求解未知量。
5.微分的应用：微分在物理、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
如利用微分可以求出函数的最大值和最小值，从而优化问题的解；微商的概念可应用于物理中的速度、加速度等问题等。
第3章 导数 章末小结
1．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线，是以P为切点的切线，其方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．函数的极值与导数(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(2)对可导函数f(x)来说，“x0是f(x)的极值点”的充要条件是“f′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号”，而不仅仅是f′(x0)＝0.4．函数的最值与导数函数的最值是函数在指定区间上的整体性质．闭区间上的连续函数(图象连续不断)必有最值，求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．[例1](1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．1．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 解析：由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1， 代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－1e ， 又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故切线方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e2．求过点P (2,0)的曲线y ＝1x的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．解：易知点P 不在曲线上，设切点M (x 0，y 0)，则y 0＝1x 0.切线的斜率k ＝y 0－0x 0－2＝1x 0(x 0－2).由导数的几何意义知k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20.∴－1x 20＝1x 20－2x 0，解得x 0＝1.∴M (1,1)，k ＝y ′|x =1＝－1. 故切线方程为x ＋y －2＝0.切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0,2)． ∴切线与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×2×2＝2.[例2] 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． [解] 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0， 因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0， 即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 则y <1＋1－11＋1＝32， 故a ≥32，所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集．(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．已知函数f (x )＝x (x －2)2(x ∈R)，求函数f (x )的单调区间． 解：f (x )＝x 3－4x 2＋4x ， f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )＝0得3x 2－8x ＋4＝0. ∴x ＝23或x ＝2.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，23和[2，＋∞)； 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤23，2.4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：对函数f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. 要满足函数f (x )在R 上是减函数，需有对于任意的x ∈R ，都有f ′(x )≤0成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3. ∴所求实数a 的取值范围是(－∞，－3].[例3] 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)F (x )＝ln x ＋2x －12x 2－12x ，其定义域是(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－x －12＝－(2x ＋1)(x －2)2x.令F ′(x )＝0，得x ＝2，x ＝－12(舍去)．当0<x <2时，F ′(x )>0，函数单调递增； 当x >2时，F ′(x )<0，函数单调递减．即函数F (x )的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．(2)设F (x )＝f (x )－g (x )， 则F ′(x )＝－(2x ＋1)(ax －1)x. 当a ≤0时，F ′(x )≥0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立； 当a >0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，x ＝－12(舍去)．当0<x <1a 时，F ′(x )>0，函数单调递增； 当x >1a 时，F ′(x )<0，函数单调递减．故F (x )在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝⎛⎭⎫1a ， 依题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a－1≤0. 令g (a )＝ln 1a ＋1a －1，又g (x )单调递减，且g (1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案：A6．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解：∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝4＋8c<f(1)．又f(3)＝9＋8c>f(1)，f(0)＝8c<f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4](2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.解：(1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0， 即当x ＞1时，f (x )＜x －1.[例5] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取到最小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故以80千米/小时匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；实际问题中的自变量有一定的限制范围，因此根据题意写出定义域是重要的一个环节．在求最值时，若定义域内只有一个极值点，则通常该极值点就是最值点．8．某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产量x (x ∈N ＋)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 解：(1)∵y ＝4 0004 200－x 24 500x －2 000⎝⎛⎭⎫1－4 200－x 24 500x ＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)．(2)显然y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30. ∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)在[1,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减．∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元．。
导数与微分概括
导数与微分概括（一）导数概念1、 导数定义：1）设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义， x x ∆+0也在该邻域内，函数值增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果xy x ∆∆→∆0lim存在，则称()x f 在点0x 可导，称极限值为()x f 在点0x 的导数。
记作：()0x f ' 或者 0x x y =' 或者x x dxdy =即 ()0x f '=0x x y ='=x x dxdy ==xy x ∆∆→∆0lim=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim2）若函数()x f 在()b a ,上每一点都可导，则称函数()x f 在()b a ,上可导；则对()b a x ,∈∀都对应着()x f 的一个确定的导数值，这样构成一个新函数，这个函数叫原来函数的导函数 记作：()x f ' 或者 y '或者dxdy 即()()()xx f x x f dxdy y x f x ∆-∆+=='='→∆0lim2、函数()x f 在0x 点可导⇔函数()x f 在0x 点的左右导数存在且相等（()0x f ' ⇔()()00x f x f +-'='）3、函数的可导性与连续性之间的关系：函数()x f 在0x 点可导 ⇒ 函数()x f 在0x 点连续，反之不一定连续是可导的必要不充分条件 即 可导一定连续，连续不一定可导 例如：x y sin =在0=x 点连续 因为()00sin lim 0==→f x x ；但是x y sin =在0=x 点不可导，因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∆∆-=∆∆-=∆∆=∆-∆++-→∆→∆→∆→∆1sin lim 1sin lim sin lim 00lim 0000x x x x x x x f x f x x x z 不存在极限4、导数的物理几何意义：1）几何意义：在几何上，曲线()x f y =在0x 的导数就是()()00,x f x 点的切线的斜率 ()()()0000lim tan x f xx f x x f k x '=∆-∆+==→∆α 即()0x f k '=2）物理意义：在物理上，位移()t s s =的导数就是瞬时速度 =v ()()()0000limt s tt s t t s t '=∆-∆+→∆=t t dtds = 即=v 0t t dtds = 或者 =v ()()()t s tt s t t s t '=∆-∆+→∆0lim=dtds 即=v dtds5、导数的物理几何意义的应用：1）几何意义的应用：求曲线的切线方程和法线方程 点()()00,x f x 的切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-法线方程为()()()0001x x x f x f y -'-=-例：求x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,3π处的切线方程与法线方程 解：x y sin -=' 切线斜率233sin3-=-='==ππx y k因此所求切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-32321πx y 即033232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+πx y发现斜率为332 因此所求法线方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=-333221πx y即 033223323=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---πx y练习：求曲线⎩⎨⎧-=+=-112tt e y e x 在0=t 处的切线方程和法线方程 2）物理意义的应用：求运动物体在某一时刻（瞬时）的速度例：将一个物体铅直上抛，上升高度h 和与时间t 的函数关系是22110gtt h -=，求物体在0t时刻的速度 解：()010100gt gt dtdh v t t t t -=-====练习：已知物体运动的方程221gts =，求落体的速度v 及加速度a（二）初等函数的求导法则：1、函数的和、差、积、商的求导法则 1）()v u v u '±'='± 2）()v u v u uv '+'='3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫⎝⎛ 0≠v 例如：()x x x x sin cos 2-='+ ()x e x e x e x x x cos sin sin +='()()()()()()()222422xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ----------+=+⋅=+---++='⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2、反函数的求导法则：设()x f y =在区间x I 内单调可导。
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第三章 导数与微分 小结+
1、 用定义求导
例：)99100()23)(12()(---=x x x x x f 求)0(f ' 解：!99)99100()23)(12(lim 00)99100()23)(12(lim 0)0()(lim )0(0
00-=---=-----=--='→→→x x x x x x x x x f x f f x x x
2、 若)(x f '有间断点0x ，需用定义求该点的导数)(0x f ' 例：x x x f sin )(3= 求)(x f ' 解：x x x x x f x cos sin 3
1)(031
32+='≠-时， 000sin lim 0)0()(lim )0(0300=--=--='=→→x x x x f x f f x x x 时， 综上所述000cos sin 31)(3132
=≠⎪⎩
⎪⎨⎧+='-x x x x x x x f 3、注意：[]'≠')0()0(f f
4、取对数求导法（或求微分）
例：y e x x
y x x e e x '++=，求2 解：x
e x
x e x e x e x x
e e x x x x x x x e x e x e x x x x x e e e e x x y +++++='+'+'='+'+'=')ln ()ln 2()()()()()()(222ln ln
5、分段函数分段点的导数，用左右导数的定义求 例：设处的可导性。
在连续，判断在a x x a x x f a x x =-==)()()()(ϕϕ 解：a
x a x x x a x a x x f <≥⎩⎨⎧--=)()()()()(ϕϕ
)()(lim 0)()(lim )()()(lim 0)()(lim )(a x a x x x a a f a x a x x a x a f a x a x a x a x ϕϕϕϕϕϕ-=-=---='==---='+-++
→→-→→+ 若处可导。
则a x a ==0)(ϕ
若处不可导。
则a x a =≠0)(ϕ
6、复合求导（或求微分）
例
[]{}{}。
求"''=)]([,)]([,)(,sin )2(x f f x f f x f f x x f 解
：令[]{}{})2s 2c
2s i
82c o )2s i 2s i 16]2cos )sin 2cos(4[)]([,2cos )sin 2cos(42cos 2)sin 2cos(2)()]([)]([),sin 2cos(2)()(2sin )(2sin )(2,2
2)(x x x x x x x f f x x x x x f x f f x f f x x f x f f x
x f t t f t x x t x f x --='="=⋅=''='='='=∴=∴==
=则令
7、隐函数求导（或求微分） 例 处的法线方程。
在求所确定由)1,0()(,1cos )(2x f y e xy e x f y y x =-=-=+ 解：121,2112
120
sin 00sin 12)
sin(2)sin(0
))(sin()2(0
))(sin()2(1,02222+==-=-=++-='++-='='++'+='+'+==++++x y x y k e e y xy x e e y xy y y x y xy y e xy xy y x e y x y x y
x y x y x 即其方程为所求法线的斜率为
8、可导奇函数的导函数为偶函数
证明：若*-=-，)()(x f x f 且可导)(x f
则两边求导得*)()(),()(x f x f x f x f '=-'∴'-=-'- 此结论可以用来填空 常数）为可导的奇函数，且若C C x f x f ()()(0-='， 则_____)(0C x f -=-'
9、弹性的求法 y y x Ex Ey
'
= 例：需求函数x p 100
=（x 为产量，
p 为价格）求Ep ER （收益的价格弹性） 解：p p p px R 4
210)100(===
1101042
4
-=-='=p p
p R R p Ep ER。