2019-2020学年度北师大二附中新高一入学分班考试数学试题-含详细解析

2019-2020学年度北师大二附中新高一入学分班考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，182.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 123.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12②当a=−43时，直线y=a(x−2)与黑色阴影部分有公共点③当a∈[0,1]时，直线y=a(x−2)与黑色阴影部分有两个公共点其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ①②4.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远(单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛5.在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平．2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中“2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=(本期数一同期数)÷同期数×100%．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=(本期数一上期数)÷上期数×100%．根据上述信息，下列结论中错误的是()A. 从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B. 从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C. 从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D. 从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大6.为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是()A. 2016年第三季度和第四季度环比都有提高B. 2017年第一季度和第二季度环比都有提高C. 2016年第三季度和第四季度同比都有提高D. 2017年第一季度和第二季度同比都有提高7.“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是()A. 2B. 3C. 4D. 58.2012年我国环境保护部批准《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》为国家环境保护标准，其中“空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，其类别如表所示：根据北京市2014年和2015年的AQI数据，得到如图：根据上述信息，从统计学角度分析，下列结论中不正确的是()A. 2014年有9个月的AQI类别属于“轻度污染”B. 2015年12月份AQI类别为“优”的天数一定为0C. 2014年上半年AQI数据标准差大于2015年上半年AQI数据标准差D. 每年的第二、第三季度空气质量较好9.某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如表所示，若从中选送一人参加决赛，则最佳人选是()甲乙丙丁x9.19.39.39.2s2 5.7 6.2 5.7 6.4A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是()A. B. C. D.11.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()．A. 甲、乙、丙B. 乙、甲、丙C. 丙、乙、甲D. 甲、丙、乙12.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.设x∈R，使不等式3x2+x−2<0成立的x的取值范围为______．14.已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab=．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x，求得x=1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√3+√……______．16.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是______，_____．甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×〇〇√丙的猜测×√×√丁的猜测〇〇√×17.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．18. 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图(2)对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图(3)对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是______.(填写所有正确说法的编号)三、解答题（共2题，每题10分，共20分） 19. 设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x|<4．20. 已知a ∈R ，函数f(x)={x 2+2x +a −2,x ≤0−x 2+2x −2a,x >0.若对任意x ∈[−3,+∞)，f(x)≤|x|恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：样本容量n=(250+150+400)×30%=240，抽取的户主对四居室满意的人数为：150×30%×40%=18．故选：A．利用扇形统计图和分层抽样的性质能求出样本容量；由扇形统计图、分层抽样和条形统计图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，考查扇形统计图、分层抽样和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA=32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B=90°，则△A′M′B是等腰直角三角形，则M′到A′M的距离d=√22r=√22，故选：C．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．3.【答案】D【解析】解：由对称性可知，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，故①正确；当a=−43时，直线y=a(x−2)化为y=−43(x−2)，即4x+3y−8=0．此时点(0,1)到直线4x+3y−8=0的距离d=|3−8|5=1，直线y=a(x−2)与黑色阴影部分有公共点，故②正确；当a=0时，直线y=a(x−2)为y=0，与黑色阴影部分有无数公共点，故③错误．∴所有正确结论的序号是①②．故选：D．由几何概型概率的求法判断①；利用直线与圆的位置关系判断②；举例说明③错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查几何概型概率的求法，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题．4.【答案】B【解析】【分析】根据题意这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析选项中的命题，利用排除法即可得出正确的结论．本题考查了推理与证明的应用问题，正确利用已知条件得到合理的结论，是解题的关键．【解答】解：这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，取前8名的成绩，是编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛；又同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，所以当a≤59时，1，3，4，5，6，7号同学进入30秒跳绳决赛，由此排除掉A、C；9号同学没有进入跳远决赛，故一定不能进入30秒跳绳决赛，排除D．故选B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：由折线图知：从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌，故A正确；在B中，从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大，故B正确；在C中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨无跌，只是涨幅不同，故C错误；在D中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大，故D正确．故选：C．6.【答案】C【解析】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．2016年第三季度和第四季度同比都下降．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意设尖头a盏灯，根据题意由上往下数第n层有2n−1a盏灯，所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381盏灯，解得a=3．故选：B．设尖头a盏灯，根据题意由上往下数第n层有2n−1a盏灯，由此利用等比数列性质能求出结果．本题考查等比数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8.【答案】B【解析】解：由图可得A，D正确，2014年上半年AQI数据波动比2015年上半年AQI数据波动小，故C正确，2015年12月份AQI类别为“优”的天数不一定为0，故B错误，故选：B．根据统计图和统计的概念即可判断本题考查了折线统计图，属基础题9.【答案】C【解析】解：∵射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数乙和丙成绩最好，平均环数的方差s2中甲和丙最小，∴四人丙的成绩最好且最稳定，∴最佳人选是丙．故选：C．平均成绩高且稳定的是最佳人选，方差越小成绩越稳定，平均数越大，直线越好，由此能求出结果．本题考查平均数和方差的应用，是基础题，解题时要理解方差的含义．10.【答案】D【解析】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．由图形可知，王珊的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，进而对选择项进行判断，可得结论本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查合情推理，属于基础题．因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾，从而得出正确结果．【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测：如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意；如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，∵乙预测不正确，而丙>乙正确，∴只有丙>甲不正确，∴甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意；∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，则有甲>乙，乙>丙．故选A．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题．由S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数．【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262故选C．)13.【答案】(−1,23【解析】【分析】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x−2<0，)<0，故(x+1)(x−23由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”，，可得：−1<x<23}.即{x|−1<x<23).故答案为(−1,23,2]14.【答案】[18【解析】【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．【解答】解：当x≤0时，函数f(x)=x2+2x+a−2的对称轴为x=−1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[−3,+∞)，f(x)≤|x|恒成立，则只需要f(−3)≤|−3|=3，即9−6+a −2≤3，得a ≤2，当x >0时，要使f(x)≤|x|恒成立，即f(x)=−x 2+2x −2a ，在射线y =x 的下方或在y =x 上， 由−x 2+2x −2a ≤x ，即(x −12)2+2a −14≥0，得min =2a −14≥0，得a ≥18综上18≤a ≤2，故答案为：[18,2]． 15.【答案】36【解析】【分析】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a +b =13，2+a 2=3，解得a ，b ，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a +b =4×4−1−2=13，因为中位数是3，所以2+a 2=3，解得a =4，代入上式得b =13−4=9，所以ab =36，故答案为：36．16.【答案】1+√132【解析】解：设x =√3+√3+√3+√……由题意可得：x =√3+x ，即x 2−x −3=0，(x >0)解得：x =1+√132，故答案为：1+√132．由阅读能力及类比能力结合解方程x 2−x −3=0，(x >0)解得：x =1+√132，即可得解．本题考查了阅读能力及类比能力，属中档题． 17.【答案】乙 丁【解析】解：假设甲的猜测正确，那么甲丁获奖，乙丙不获奖，则乙丙丁的猜想就是错误，与四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确矛盾，故甲的猜测不完全正确；假设丙的猜测正确，那么乙丁获奖，甲丙不获奖，则乙的猜想就是正确，丁的猜想不完全正确，符合题意，故答案为：乙，丁根据题意可得，分别假设甲的猜测正确，丙的猜测正确，即可求出答案．本题考查合情推理的运用，此类题目常用的手段是假设法，抓住题干中的条件进行推理，推理所得的结果如果不互相矛盾，则假设成立，反之，不成立．18.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确；又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误． 故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．19.【答案】②③【解析】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图(2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：②③．理解图象表示的实际意义，进而得解．本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．20.【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1， ∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23，∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．。