5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
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5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
分析法： 结论
B
…
A
条件
补充作业
1 1 1 1 1 1 (1) 求证: 2 2 2 x y z xy yz zx
(2) 求证 a b ab a b 1 :
2 2
(3) 已知a , b, c为不全相等的正数, 且abc 1. 1 1 1 求证 : a b c a b c
例3 已知a , b, m都是正数, 并且a b, 求证 : 你能从其它角度 am a 解释例3的意义吗? bm b
例4 通过水管放水, 当流速相同时, 证明: 如果 水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆 形的水管比横截面是正方形的水管流量大.
例5 设a, b, c R, 证明 : a b c ab bc ca
2 2 2
变 已知a,b,c,d 都是正实数,求证: (ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd
例6 已知a , b, c, d R , 求证 : (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
例7 已知a, b, c都是正数, 求证 : a b c 3abc, 并指出等号成立的条件.
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
a b 例1 已知a , b都是正数, 求证 : 2. b a 3 3 2 2 例2 设a 0, b 0, 求证 : a b a b ab
3 3 3
5.3.பைடு நூலகம்不等式的证明—综合法和分析法
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
2 2
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
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常用已证过的不等式：
1. a2 0（aR）; 2. a 0（aR）; 3. a 2 b 2 2ab (a, b R) 及其变形 ; 2 2
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
例3.已知 a 2，求证： a (a 1) loga (a 1) 1 log
证明： a 2，
loga (a 1) 0，loga (a 1) 0
又 loga (a 1) loga (a 1)， log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) 2 1 1 2 log a ( a 1) log a a 2 =1 2 2
1 1 例1.已知x 0, 求证：x 2 或 x 2 x x
证明：当 x 0 时， x 1 2 x 1 2
x x
1 当 x 0 时， x 0, 0 x
1 1 ( x) 2 ( x) 2 x x
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
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常用已证过的不等式：
1. a2 0（aR）; 2. a 0（aR）; 3. a 2 b 2 2ab (a, b R) 及其变形 ; 2 2
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
例3.已知 a 2，求证： a (a 1) loga (a 1) 1 log
证明： a 2，
loga (a 1) 0，loga (a 1) 0
又 loga (a 1) loga (a 1)， log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) 2 1 1 2 log a ( a 1) log a a 2 =1 2 2
1 1 例1.已知x 0, 求证：x 2 或 x 2 x x
证明：当 x 0 时， x 1 2 x 1 2
x x
1 当 x 0 时， x 0, 0 x
1 1 ( x) 2 ( x) 2 x x
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
综上所述：
x
1 x
2或 x
1 x
2
由因导果
1 x 2 ( x 0)
由例1可得一个重要的不等式：
x
例2.已知 a , b , c 是不全相等的正数,求证
a (b
2
c ) b (c
2
2
a ) c(a
2
2
b ) 6 abc
2
证明：∵
b
2
c
2
2 bc , a 0
例 4 已 知 a 1, a 2 , ...a n R , 且 a 1 a 2 ...a （ 1 （ a ）
1
n
1， 求 证1a来自2） （ 1
a
n
） 2 .
n
练 习 ： 1.已 知 xy 0, 求 证 ： xy
证 明 ： xy 0, xy y x x y 1 xy 2 2
1 xy
y x
x y
4
xy
1 xy
y x
x y
4
当且仅当x=y时等号成立.
2.已 知 a b 0,
a b 0 c d ,求 证 ： c d
证 明 ： a b, c 0, a c b c (1)
又 0 c d, b 0
1 c
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1 .设 a , b 是 实 数 ， 求 证 ： a
2 . 已 知 x 0 , 且 x 1, 求 证 ： lg x lo g x 1 0 2 , 或 lg x lo g x 1 0 2
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
例3.已知 a 2，求证： a (a 1) loga (a 1) 1 log
证明： a 2，
loga (a 1) 0，loga (a 1) 0
又 loga (a 1) loga (a 1)， log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) log a (a 1) 2 1 1 2 log a ( a 1) log a a 2 =1 2 2
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
常用已证过的不等式：
1. a2 0（aR）; 2. a 0（aR）; 3. a 2 b 2 2ab (a, b R) 及其变形 ; 2 2
证明： xy 0, 1 xy 2 xy y x 2 x y
1 y x xy 4 xy x y
当且仅当x=y时等号成立.
a b 2. 已知 a b 0, 0 c d , 求证： c d
证明： a b, c 0, a b (1) c c 又 0 c d, b 0
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1.设a, b是实数，求证：a2 b2 1 ab a b
2. 已知x 0, 且x 1, 求证： lg x log x 10 2, 或 lg x log x 10 2
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
证明：∵ b2 c 2 2bc, a 0
a(b2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
①
②
c(a 2 b2 ) 2abc
③
因为a, b, c不c 2 a 2 2ac, a 2 b2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
loga (a 1) loga (a 1) 1
例4已知a1, a 2,...a n R , 且a1a 2...a n 1，求证 （ 1 a1 （ 1 a 2 1 a n） 2 . ） ）（
n
1 y x 练习：1.已知xy 0, 求证：xy 4 xy x y
2 2
a b 2 ab 2ab;
2 2
1 2 2 a b (a b) ,(a b) 4ab; 2
ab 2 a（a>0，b b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2(ab 0). a b a b
复习：
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最 重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号--下结论.
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（2)—综合法
有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如 算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推 导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合 法.
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1.设a, b是实数，求证：a b 1 ab a b
a(b2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
①
②
c(a 2 b2 ) 2abc
③
因为a, b, c不c 2 a 2 2ac, a 2 b2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
loga (a 1) loga (a 1) 1
例4已知a1, a 2,...a n R , 且a1a 2...a n 1，求证 （ 1 a1 （ 1 a 2 1 a n） 2 . ） ）（
n
1 y x 练习：1.已知xy 0, 求证：xy 4 xy x y
2 2
a b 2 ab 2ab;
2 2
1 2 2 a b (a b) ,(a b) 4ab; 2
ab 2 a（a>0，b b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2(ab 0). a b a b
复习：
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最 重要的一种方法，用比较法证明不等式 的步骤是：作差—变形—判断符号--下结论.
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行 恒等变形。
6.3 不等式的证明（2)—综合法
有时我们也可以利用已经证明过的不等式(例如 算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推 导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合 法.
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1.设a, b是实数，求证：a b 1 ab a b
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
即综合法是：由因导果
作业：P26 1,2
补充作业
1.设a, b是实数，求证：a2 b2 1 ab a b
2. 已知x 0, 且x 1, 求证： lg x log x 10 2, 或 lg x log x 10 2
3.lg 99 lg101 4
1 x 2 x
1 1 综上所述： x 2 或 x 2 x x
由例1可得一个重要的不等式：
x
由因导果
1 2 ( x 0) x
例2.已知
a, b, c 是不全相等的正数,求证
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
常用已证过的不等式：
1. a2 0（aR）; 2. a 0（aR）; 3. a 2 b 2 2ab (a, b R) 及其变形 ; 2 2
证明：∵ b 2 c 2 2bc, a 0
a(b 2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
பைடு நூலகம்
①
②
c(a 2 b 2 ) 2abc
③
因为a, b, c不全相等，
所以b 2 c 2 2bc, c 2 a 2 2ac, a 2 b 2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
1 1 ，b 0 c d
人教A版选修4-5 第二章 二 综合法与分析法 课件(34张)
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
1．已知 c>0，用分析法证明 c－1＋ c＋1<2 c. 证明：要证 c－1＋ c＋1<2 c， 只需证( c－1＋ c＋1)2<(2 c)2， 即证 2c＋2 c2－1<4c， 即证 c2－1<c. 而 c>0，即证 c2－1<c2. 上式明显成立，不等式得证．
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
2．已知 x>0，y>0，x＋y＝1，求证1＋1x1＋1y≥9. 证明：法一：因为 x>0，y>0，1＝x＋y≥2 xy， 所以 xy≤14. 所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y ＝1＋x＋xyy＋x1y＝1＋x2y≥1＋8＝9.
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
所以 a
bc＋b
ac＋c
ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当
a＝b＝c＝
3 3
时取等号)成立．所以原不等式成立． (12 分)
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
(1) 用分析法将待证不等式转化为证明 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ ca. (2) 用综合法证明 转化得到的不等式． (3) 用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ac. (4) 结合基本不等式用综合法证明 得到的不等式．
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
3．设 a，b>0，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系
是( )
A．A＝B
B．A<B
C．A>B
D．大小不确定
答>b>c，则b－1 c与a－1 c的大小关系为________． 解析：因为 a>b>c，所以 a－c>b－c>0，所以a－1 c<b－1 c. 答案：a－1 c<b－1 c
第二讲 证明不等式的基本方法
1．已知 c>0，用分析法证明 c－1＋ c＋1<2 c. 证明：要证 c－1＋ c＋1<2 c， 只需证( c－1＋ c＋1)2<(2 c)2， 即证 2c＋2 c2－1<4c， 即证 c2－1<c. 而 c>0，即证 c2－1<c2. 上式明显成立，不等式得证．
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
2．已知 x>0，y>0，x＋y＝1，求证1＋1x1＋1y≥9. 证明：法一：因为 x>0，y>0，1＝x＋y≥2 xy， 所以 xy≤14. 所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y ＝1＋x＋xyy＋x1y＝1＋x2y≥1＋8＝9.
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
所以 a
bc＋b
ac＋c
ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当
a＝b＝c＝
3 3
时取等号)成立．所以原不等式成立． (12 分)
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
(1) 用分析法将待证不等式转化为证明 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ ca. (2) 用综合法证明 转化得到的不等式． (3) 用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ac. (4) 结合基本不等式用综合法证明 得到的不等式．
栏目 导引
第二讲 证明不等式的基本方法
3．设 a，b>0，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系
是( )
A．A＝B
B．A<B
C．A>B
D．大小不确定
答>b>c，则b－1 c与a－1 c的大小关系为________． 解析：因为 a>b>c，所以 a－c>b－c>0，所以a－1 c<b－1 c. 答案：a－1 c<b－1 c
5.3证明综合法(2) 课件(人教A版选修4-5)
证明：∵ b 2 c 2 2bc, a 0
a(b 2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
①
②
c(a 2 b 2 ) 2abc
③
因为a, b, c不全相等，
所以b 2 c 2 2bc, c 2 a 2 2ac, a 2 b 2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
证明： xy 0, 1 xy 2 xy y x 2 x y
1 y x xy 4 xy x y
当且仅当x=y时等号成立.
a b 2. 已知 a b 0, 0 c d , 求证： c d
证明： a b, c 0, a b (1) c c 又 0 c d, b 0
2 2
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
1 1 ，b 0 c d
b b c d
(2)
a b 由(1)(2) 可知 c d
3 . 已知a>0，b>0，c>0，且 a+b+c=1，求证：
1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
小结： 综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式 的逻辑关系是： A B B B ( A 为证明过的 1 2 不等式， 要证的不等式）。 B
a(b 2 c 2 ) 2abc
同理 b(c 2 a 2 ) 2abc
①
②
c(a 2 b 2 ) 2abc
③
因为a, b, c不全相等，
所以b 2 c 2 2bc, c 2 a 2 2ac, a 2 b 2 2ab 三式中不能 全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
证明： xy 0, 1 xy 2 xy y x 2 x y
1 y x xy 4 xy x y
当且仅当x=y时等号成立.
a b 2. 已知 a b 0, 0 c d , 求证： c d
证明： a b, c 0, a b (1) c c 又 0 c d, b 0
2 2
2
a b 2 ab 2ab;
2
1 a b (a b) 2 , (a b) 2 4ab; 2
ab 2 ab （a>0，b
a b ab 2 ( ); 2 2
4.
> 0）及其变形
b a b a 2(ab 0), 2( ab 0). a b a b
1 1 ，b 0 c d
b b c d
(2)
a b 由(1)(2) 可知 c d
3 . 已知a>0，b>0，c>0，且 a+b+c=1，求证：
1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
小结： 综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式 的逻辑关系是： A B B B ( A 为证明过的 1 2 不等式， 要证的不等式）。 B
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例3 已知a , b, m都是正数, 并且a b, 求证 : 你能从其它角度 am a 解释例3的意义吗? bm b
例4 通过水管放水, 当流速相同时, 证明: 如果 水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆 形的水管比横截面是正方形的水管流量大.
例5 设a, b, c R, 证明 : a b c ab bc ca
分析法： 结论
B
…
A
条件
补充作业
1 1 1 1 1 1 (1) 求证: 2 2 2 x y z xy yz zx
(2) 求证 a bc为不全相等的正数, 且abc 1. 1 1 1 求证 : a b c a b c
2 2 2
变 已知a,b,c,d 都是正实数,求证: (ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd
例6 已知a , b, c, d R , 求证 : (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
例7 已知a, b, c都是正数, 求证 : a b c 3abc, 并指出等号成立的条件.
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
a b 例1 已知a , b都是正数, 求证 : 2. b a 3 3 2 2 例2 设a 0, b 0, 求证 : a b a b ab
例4 通过水管放水, 当流速相同时, 证明: 如果 水管横截面的周长相等, 那么横截面是圆 形的水管比横截面是正方形的水管流量大.
例5 设a, b, c R, 证明 : a b c ab bc ca
分析法： 结论
B
…
A
条件
补充作业
1 1 1 1 1 1 (1) 求证: 2 2 2 x y z xy yz zx
(2) 求证 a bc为不全相等的正数, 且abc 1. 1 1 1 求证 : a b c a b c
2 2 2
变 已知a,b,c,d 都是正实数,求证: (ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd
例6 已知a , b, c, d R , 求证 : (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
例7 已知a, b, c都是正数, 求证 : a b c 3abc, 并指出等号成立的条件.
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
a b 例1 已知a , b都是正数, 求证 : 2. b a 3 3 2 2 例2 设a 0, b 0, 求证 : a b a b ab