简单常微分方程
常微分方程的基本概念
齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学和物理学中，常微分方程是一个重要而广泛应用的概念。
常微分方程描述连续的变化，解决了许多实际问题和科学领域中的模型。
解常微分方程可以揭示系统的行为并预测未来情况。
在本文中，我们将探讨常微分方程的各种解法，包括常见的常系数线性微分方程、变速微分方程、欧拉方程等各类形式。
常系数线性微分方程一阶线性微分方程对于形如 $\\frac{dy}{dt} + ay = f(t)$ 的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
首先找到积分因子 $I(t) = e^{\\int a dt}$，然后将方程乘以积分因子得到$e^{\\int a dt}\\frac{dy}{dt} + ae^{\\int a dt}y = e^{\\int a dt}f(t)$，进而写成$\\frac{d}{dt}(e^{\\int a dt}y) = e^{\\int a dt}f(t)$。
对两边积分即可得到 $y = e^{-\\int a dt}\\int e^{\\int a dt}f(t)dt + Ce^{-\\int a dt}$。
高阶线性微分方程对于形如 $y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \\ldots + a_1y'(t) + a_0y(t) =f(t)$ 的 n 阶线性微分方程，可以利用特征根法求解。
首先找到特征方程$\\lambda^n + a_{n-1}\\lambda^{n-1} + \\ldots + a_1\\lambda + a_0 = 0$ 的根$\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n$，然后通解可表示为 $y(t) = c_1e^{\\lambda_1t} + \\ldots + c_ne^{\\lambda_nt} + y_p(t)$，其中y p(t)为特解。
变速微分方程变速微分方程描述的是系统参数随时间变化的情况，通常包含随时间变化的系数。
常微分方程的常见解法
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
常微分方程(
常微分方程(1前言微积分是现代数学不可或缺的一个分支。
其中，常微分方程是数学研究中的一个重要领域，它涉及到数学、物理、力学、经济和生物等多个学科，因此具有重要的理论和应用价值。
本文将介绍常微分方程的基本概念、求解方法以及在各个学科中的应用，以期能够为读者提供帮助。
2常微分方程的基本概念常微分方程，简称ODE，是指只涉及一个自变量的一阶或高阶微分方程。
其中，一阶ODE的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$f(x,y)$是已知函数，称为方程的“右端”。
求解这个方程就是要找到一个具有所给右端的解函数。
对于高阶ODE，它的一般形式为：$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$F$是已知函数，$y'=\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数，$y''$表示$y'$对$x$的导数，$y^{(n)}$表示$y^{(n-1)}$对$x$的导数。
求解这个方程就是要找到一个具有所给$F$的解函数$y=y(x)$。
3常微分方程的求解方法对于一阶ODE，我们可以使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性ODE法等方式求解。
其中，最常见的是分离变量法，它的步骤如下：（1）将方程变形为$g(y)dy=f(x)dx$的形式，其中$g(y)$和$f(x)$是已知函数；（2）对两边同时积分，得到$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是积分常数；（3）解出$y$的表达式$y=h(x,C)$。
对于高阶ODE，我们可以使用常数变易法、齐次方程法、非齐次线性ODE法等方式求解。
其中，最常见的是常数变易法，它的步骤如下：（1）将$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$变形为$y^{(n)} =p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$的形式，其中$p_i(x)$和$q(x)$是已知函数；（2）猜测一个通解$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)$，其中$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$是$n$个线性无关的特解；（3）将上式代入$y^{(n)}=p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$以求出$y_i(x)$。
常微分方程pdf
常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。
例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。
常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出$y=y(x)$的解。
这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。
通常我们使用分离变量法。
具体步骤如下：1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。
二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。
我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
2.变系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程，通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解，这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。
3.非齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解，从而得到方程的通解。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
常见的有解析解的常微分方程---经典总结
常见的有解析解的常微分方程---经典总结1、可分离变量方程：1122()()()()0f x g y dx f x g y dy += 两边同除以12()()0g y f x ≠，得1221()()0()()f x g y dx dy f x g y += 积分，得1221()()()()f xg y dx dy C f x g y +=⎰⎰ 2、齐次方程：'()y y f x =令y u x =，则y ux =，'du y u x dx=+ 于是，原方程()ln ()()du du dx du u x f u x C dx f u u x f u u⇒+=⇒=⇒=+--⎰ 3、可化为齐次型的方程：111222()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ （1）当120c c ==时，11112222()()()ya b a x b y dy y x f f g y dx a x b y x a b x ++===++，利用2求解（2）11220a b a b =，即1122a b a b λ==，则22122222()()()a x b y c dy f g a x b y dx a x b y c λ++==+++ 令22a x b y u +=，则22()du a b g u dx =+，利用1求解（3）11220a b a b ≠，1c ，2c 不全为0解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，求交点(,)αβ4、一阶线性方程：'()()y p x y q x +=第一步：求对应齐次方程'()0y p x y +=的通解，得()p x dx y Ce -⎰=第二步：令原方程的解为()()p x dx y C x e -⎰=第三步：代入原方程整理，得()()'()()()()p x dx p x dx C x e q x C x q x e dx C -⎰⎰=⇒=+⎰第四步：写出原方程通解()()[()]p x dx p x dx y q x e dx C e -⎰⎰=+⎰5、贝努里方程：'()()n y p x y q x y +=，其中0,1n ≠令1n z y -=，则原方程1()()1dz p x z q x n dx ⇒+=-(1)()(1)()dz n p x z n q x dx ⇔+-=-，利用4求解6、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，且M N y x ∂∂=∂∂通解为0000(,)(,)x yx y M x y dx N x y dy C +=⎰⎰ 7、不显含y 的二阶方程：''(,')y f x y =令'y p =，则'''y p =原方程'(,)p f x p ⇒=，这个一阶方程的解为1(,)p x C ϕ=即1'(,)y x C ϕ=，原方程通解为12(,)y x C C ϕ=+⎰8、不显含x 的二阶方程：''(,')y f y y =令'y p =，则''dp dp dy dp y p dx dy dx dy=== 原方程1(,)dp f y p dy p⇒=，其解为1(,)p y C ϕ= 即1(,)dy y C dxϕ=，原方程通解为21(,)dy x C y C ϕ=+⎰9、二阶常系数线性齐次方程：220d y dy p q dx dx++=第一步：求特征方程20p q λλ++=的两根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dy 1 y 3x y dx y dy
2 2
通解
注意：
2
2016/12/23
1 1 y C 3x
2
y 1 , 即y 1也是方程的解 !
奇异解
20
(二) 可化为可分离变量
dy [例2] dx dy [例3] dx
y 1 dy x dx 1 y x 这两个方程的共同特点是什麽 ?
2016/12/23
可分离型！ 什麽类型？
31
分离变量 解得
y ce
注意：
dy p( x )dx y
齐次通解
p ( x ) dx
是p(x)一个原函数 不是不定积分！
齐次通解的结构：
设 y1 ( x ) 是 y' p( x ) y 0的 一个非 零解, 则通解
2016/12/23
可分离变 这是什麽 量方程！ 方程？
22
[例2] 的解 :
y 令u x
dy y y tan dx x x
dy du 则 u x , 代入得到 dx dx
分离变量 两端积分
2016/12/23
du u x u tan u dx dx cot u du x
ln | sinu | ln | x | C 1
28
2016/12/23
(一)线性方程的性质
性质1： 线性齐次方程( 2) 必有零解。
性质2： 若y y( x )是线性齐次方程( 2) 的解, 则
y Cy( x )亦是(2)的解(C为任意常数)。
性质3： 如果 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是线性齐次方程( 2)
的解, 则它们的任意线性组合
2
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
2016/12/23 6
定义2: ( 微分方程的阶 ) 未知函数的导数的最高阶数称为
微分方程的阶.
例如
d 2 d g 0 2 dt m dt l
二阶
n 阶微分方程的一般形式
dy d y F ( x , y, , , )0 n dx dx
2016/12/23 26
[例4] 求 y' cos(x y) 的通解。 [解] 令 x y u,
1 y' u'
du dx 1 cos u du dx 2u 2 sin 2
27
则 u' 1 cosu
du dx 1 cos u
通解
2016/12/23
y y tan x x x y x y
可化为
2016/12/23
dy y g( ) dx x
齐次型方程
21
dy y 齐次型方程 g( ) dx x
求解方法
y 令 u 即 y xu x
dy du u x dx dx
代入得到
du g ( u) u dx x
2016/12/23
2016/12/23 8
定义4: ( 微分方程的解)
如果把函数 y y( x ) 代入方程(1)后 使方程成为恒等式 , 则称函数 y y( x ) 是微分方程(1)的一个解.
微分方程的通解：
n阶常微分方程(1)的包含n 个独立的 任意常数的解 y
f ( x, C1 , , Cn )
10
通解有时也写成隐式形式
[ x, y( x ), C1 , C2 , , Cn ] 0
称为微分方程的通积分 微分方程的特解： 一个常微分方程的满足定解条件 的解称为微分方程的特解
2016/12/23 11
例如 : 一阶微分方程定解问题 du ku A dt u( 0 ) 1
x 2 1 u 1 2u u 则 u xu' 即 xu' 1 u 1 u 1 u 1 du dx 凑微分 2 1 2u u x
2016/12/23 25
令u
, y ux , y' u xu'
1 2 d ( u 2u 1) 1 2 dx 两端积分 2 1 2u u x 1 2 得 ln(u 2u 1) ln x ln C1 2 C 2 u 2u 1 2 x 通解 y2 2 xy x 2 C
A 通解 u( t ) Ce kt k A A u( 0 ) C1 C 1 k k 特解
2016/12/23
A A kt u( t ) (1 )e k k
12
n 阶微分方程的定解问题
n dy d y F ( x, y, , , )0 n dx dx y y 0 x x0 dy y1 dx x x0 有n个 定解条件 d n 1 y y n 1 n 1 dx x x0 2016/12/23
积分曲线族
二、 一阶常微分方程的 初等积分法
• 所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解 常微分方程. • 初等解法只适用于若干非常简单的一阶常 微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分 方程.
2016/12/23 15
dy f ( x ) g ( y) (一) 变量可分离型 dx
或 f ( x ) dx g( y) dy
y Cy1 ( x )
32
(2)用常数变异法解非齐次方程
dy p( x ) y q( x ) (1) dx 对应于(1)的 dy p( x ) y 0 ( 2) 齐次方程 dx p ( x ) dx ( 2) 的通解为 y Ce Cy1 ( x )
假定(1)的解具有形式
y C ( x ) y1 ( x )
将这个解代入(1) , 经计算得到
2016/12/23 33
C( x) y1 ( x) C ( x) y1 ' ( x )
*
*
2016/12/23
30
一阶线性微分方程
dy a( x ) b( x ) y c ( x ) 0 dx
标准形式：
非 dy dy 齐 p( x ) y q( x ) 齐 p( x ) y 0 次 dx 次 dx (1) 如何解齐次方程？
dy p( x ) y 0 dx
作业
P227 习题 8.1
1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题 8.2 1(2)(4)(6).
2016/12/23 1
第二十一讲 简单常微分方程(一)
一、微分方程的基本概念 二、一阶常微分方程
2016/12/23 2
一、微分方程的基本概念
十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。
x y cot xC 2
(三) 一阶线性微分方程
n阶线性微分方程
y
( n)
a1 ( x ) y
非齐次
( n1 )
an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ) (1)
y
( n)
a1 ( x ) y
齐次
( n1 )
an1 ( x ) y an ( x ) y 0 ( 2)
(二) 可化为可分离变量 dy p( x ) y q( x ) (三) 一阶线性方程 dx (四) 伯努利(Bernoulli)方程 (五) 全微分方程 M ( x , y ) dx N ( x, y ) dy 0
(六) 积分因子
2016/12/23 16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程
2016/12/23 3
[例1] 一个质量为m的小球,系在线的一端, 线的另一端系在墙上 , 线的长度等于l .将 小球拉开一个小角度, 松手使小球摆动. 求小球的运动规律.
[解] 设小球线速度为 v ( t ).
o
重力 4
切向分力:F 1 mg sin
阻力: F2 v
2016/12/23
18
记
C e , 则有
C1
y Ce
x2
(C 0)
注意：y 0 也是方程的解 !
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到方程 通解
2016/12/23
dy 2 xy dx
x2
y Ce
(C R)
19
(2) [解]
分离变量
两端积分, 得
dx 2 2 3x 1 y 1 1 2 2 1 y C 2 3x
9
称为微分方程的通解.
2016/12/23
du 例如 : 一阶微分方程 ku A dt A kt 函数 u( t ) e 是一个解 k
对于任意常数 C , 单参数函数族
A kt u( t ) Ce k
是微分方程的通解
2016/12/23
du kt kt ( ku Cke A Cke A) dt
2016/12/23
n
(1)
7
定义3: ( 线性与非线性)
未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程.
n 阶线性常微分方程的一 般形式 n n1 d y d y a0 ( x ) a1 ( x ) n n1 dx dx dy an1 ( x ) an ( x ) y f ( x ) dx 不是线性方程的称为 非线性微分方程 dy 例如 2 y是一阶非线性微分方程 dx