2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}2．（5分）“”是“sin2α=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．34．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+15．（5分）函数f（x）=x3+x在点x=1处的切线方程为（）A．4x﹣y+2=0 B．4x﹣y﹣2=0 C．4x+y+2=0 D．4x+y﹣2=06．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A．30 B．45 C．60 D．1207．（5分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2+b2=ab+c2，则角C为（）A．30°B．45°C．150° D．135°8．（5分）已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2﹣|=（）A．2 B．4 C．D．89．（5分）已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．10．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．2011．（5分）||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．12．（5分）函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，0）C．D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，x），若⊥，则x=．14．（5分）已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i是虚数单位），则|z|=．15．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，则其通项a n=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．19．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．20．（12分）已知正项等比数列{a n}满足：a3=4，a4+a5=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A的极坐标为（2，），直线l过点A 且与极轴成角为，圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．（Ⅰ）写出直线l参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线圆C交于B、C两点，求|AB|•|AC|的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选：C．2．（5分）“”是“sin2α=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当时，sin2α=1成立，当sin2α=1时，α=不一定成立，例如故”是“sin2α=1”充分不必要条件故选：A．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选：C．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．5．（5分）函数f（x）=x3+x在点x=1处的切线方程为（）A．4x﹣y+2=0 B．4x﹣y﹣2=0 C．4x+y+2=0 D．4x+y﹣2=0【解答】解：∵f（x）=x3+x∴f′（x）=3x2+1∴容易求出切线的斜率为4当x=1时，f（x）=2利用点斜式，求出切线方程为4x﹣y﹣2=0故选：B．6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，∴a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=4×15=60．故选：C．7．（5分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2+b2=ab+c2，则角C为（）A．30°B．45°C．150° D．135°【解答】解：∵在△ABC中，由余弦定理a2+b2=c2+2abcosC，又a2+b2=ab+c2，∴cosC=，∴C=45°故选：B．8．（5分）已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2﹣|=（）A．2 B．4 C．D．8【解答】解：∵，∴==1×2×=1，因此=4||2﹣4+||2=4×12﹣4×1+22=4，∴==2（舍负）．故选：A．9．（5分）已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选：B．10．（5分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选：A．11．（5分）||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【解答】解：法一：如图所示：=+，设=x，则=．=∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故选：B．12．（5分）函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，0）C．D．（﹣∞，1）【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）为奇函数，增函数，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（msinθ）＞f（m﹣1），∴msinθ＞m﹣1，当时，sinθ∈[0，1]，∴，解得m＜1，故实数m的取值范围是（﹣∞，1），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，x），若⊥，则x=．【解答】解：∵=（1，2），=（﹣1，x），且⊥，∴•=1×（﹣1）+2x=0，解得x=故答案为：14．（5分）已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：（z﹣2）i=1+i，∴z﹣2=，z=2+=2+1﹣i=3﹣i，|z|==；故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案为：16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，则其通项a n=2n﹣10．【解答】解：∵S n=n2﹣9n，∴a1=S1=﹣8n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣9n﹣（n﹣1）2+9（n﹣1）=2n﹣10n=1，a1=8适合上式故答案为：2n﹣10三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．【解答】（1）解：设{a n}的公差为d，∵a2=6，a5=18；则，解得∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）证明：当n=1时，b1=T1，由，得；当n≥2时，∵，，∴．∴．化为．∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列．19．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．20．（12分）已知正项等比数列{a n}满足：a3=4，a4+a5=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则由a 3=4，a4+a5=24得，由于a n＞0，q＞0解得，所以a n=．（Ⅱ）由a n=．得．∴∴．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A的极坐标为（2，），直线l过点A 且与极轴成角为，圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．（Ⅰ）写出直线l参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线圆C交于B、C两点，求|AB|•|AC|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点A的极坐标为（2，），的直角坐标为A（），所以直线L过A点倾斜角为的参数方程为，t为参数．因为圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．所以ρ=cosθ+sinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．（Ⅱ）将直线的参数方程代到圆C的直角坐标方程中整理得：t2+（）t+3﹣=0设B，C对应的参数分别为t1，t2∴|AB|•|AC|=|t1t2|=．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，则f（x）的最小值为|a﹣1|．要使∀x∈R，f（x）≥2成立，则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．。