中值定理及导数的应用
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξξξ)()(f f -='．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：()0)(0)()(0)()()()(='→='+→='+→-='x xf x f x x f f f f f ξξξξξξ【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξξξ)()(f f -='例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
第四章中值定理与导数应用
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第四章 中值定理与导数应用
第10页
定理 如果函数 f (x) 在区间I 上的 导数恒为零,那末 f (x) 在区间I 上 是一个常数.
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第四章 中值定理与导数应用
第11页
例3 验证Lagrange中值定理对函数 f (x) x3在区间[ 0,1]上的正确性，
并求满足定理的值. 例4 证明 arcsin x arccos x
2 (1 x 1).
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——证明恒等式的一般方法
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第四章 中值定理与导数应用
第12页
例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
例6 设 Lim f (x) K , 求 x＋
罗尔定理条件.
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第四章 中值定理与导数应用
备用题
第25页
1. 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使
证: 设辅助函数 (x) xn f (x)
显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
Lim [ f (x a) f (x)].(a 0)
x＋
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第四章 中值定理与导数应用
三、柯西(Cauchy)中值定理
第14页
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)满
足(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b) 内可导,
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
中值定理与导数的应用
中值定理与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而中值定理则是导数的重要应用之一，它揭示了函数在某一区间内必然存在某一点，使得该点的斜率等于该区间的平均斜率。
在实际问题中，中值定理具有广泛的应用，可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
让我们来了解一下中值定理的基本原理。
根据中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均斜率。
换句话说，函数在区间内的某一点的瞬时变化率与整个区间的平均变化率相等。
中值定理的一个重要推论是拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的斜率。
换句话说，拉格朗日中值定理给出了函数在某一区间内某一点的瞬时变化率与该区间的斜率之间的对应关系。
中值定理的应用非常广泛。
一个常见的应用是求函数在某一区间内的最大值和最小值。
根据极值存在定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间内必然存在最大值和最小值。
根据中值定理，我们可以通过求函数在该区间内的导数为0的点，来确定函数的极值点。
另一个常见的应用是求函数的单调性。
根据中值定理，如果一个函数在某一区间内的导数恒大于0（或恒小于0），那么该函数在该区间内必然是递增的（或递减的）。
因此，我们可以通过求函数的导数来确定函数在某一区间内的单调性。
中值定理还可以用来解决一些与速度和加速度相关的问题。
例如，在物理学中，我们经常需要计算物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度。
根据中值定理，我们可以通过求物体在该时间段内的位移与时间的比值，来确定物体在某一时刻的瞬时速度。
中值定理是导数的重要应用之一，它可以帮助我们解决各种与变化率相关的问题。
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是数学中的一个重要定理，它是求函数在某一区间内的最大值或最小值的一种方法。
中值定理：设f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a,b)内存在，则存在c∈(a, b)，使得f’(c)=0。
中值定理的应用：1.求函数在某一区间内的极值：由中值定理可知，如果函数f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a, b)内存在，则存在c∈(a,b)使得f’(c)=0。
因此，我们可以通过求解f’(x)=0的方程来求出函数在[a, b]内的极值。
2.求函数的泰勒公式：利用中值定理可以得出泰勒公式，即对于函数f(x)在x0处的泰勒展开式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2)。
导数是数学中的一个概念，它表示函数在某一点处的斜率。
导数的应用：1.求函数的单调性：如果函数f(x)在点x处的导数大于0，则函数在点x处单调递增；如果函数f(x)在点x处的导数小于0，则函数在点x处单调递减。
2.求函数的极值：如果函数f(x)在点x处的导数等于0，则函数可能在点x处取得极值。
通过对函数的二阶导数进行分析，可以判断函数在点x处的极值是最大值还是最小值。
1.求函数在某一点的切线：切线是函数在某一点的切线的图像。
切线的斜率等于函数在这个点的导数。
因此，我们可以通过求解函数在某一点的导数来求出函数在这个点的切线。
2.求函数在某一区间内的最小值和最大值：当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，可以通过求解函数在区间端点处的导数来求出函数在该区间内的最小值和最大值。
以上是中值定理和导数的应用笔记。
通过对中值定理和导数的学习，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并运用到数学和其他领域中。
需要注意的是，中值定理和导数的应用是有一定条件的，在使用这些工具时要注意满足这些条件。
此外，中值定理和导数是高等数学中的基础概念，在深入学习数学和其他科学领域之前，要先扎实地掌握这些概念。
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
中值定理与导数的应用-§3.1 中值定理
于是对于x0 x U ( x0 ) ,有 f ( x0 x) f ( x0 )
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
f ( x0 x ) f ( x0 ) 当 x 0 时, 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0. 当 x <0 时, x 根据函数 f ( x ) 在 x0 处可导及极限的保号性得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
同理可知,方程还有两个根 2 , 3分别属于区间 2,3 及
3,4 . 因此，有且仅有三个实根，它们分别属于区间 1, 2 , 2, 3 及 3, 4 .
例3 若 f ( x )在区间 [a , b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 满足 f ( x ) 0，及 f (a ) f (b) 0 ， 证明方程 f ( x ) 0
三、柯西中值定理
柯西中值定理 设函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足条件： (1）在闭区间 [a , b] 上连续； （2）在开区间( a , b ) 内可导, 且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零. 则在 ( a , b ) 内 至少有一点 (a b), 使得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
（2）若 M m ， 由于 f (a ) f (b), 所以 M 和 m 至少有一个不 等于 f ( x ) 在区间 [a , b] 端点处的函数值.不妨设 M f (a ) ， 则必定在 (a, b) 有一点 使 f ( ) M . 因此任取 x [a, b] 均有 f ( x ) f ( ) ， 从而由费马引理有 f ( ) 0 . 证毕
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则
f ( x) f ′( x) lim = lim g ( x) g ′( x)
运用洛必达法则求未定式极限时应该注意下述两 点： (1)先检查法则的条件是否具备，特别要注意极 f ′( x) 限是否未定式， 是否存在或 ∞ 。 lim
g ′( x)
(2)配合使用其它求极限的方法，例如，化简、 分子(分母)有理化、先求出非零因式的极限， 等价无穷小替代等，以使运算简便。 注：对于 (0 ⋅ ∞), (∞ − ∞) 0 0， 0 ， ∞型未定式，可通 及 ∞ 1 ∞ 0 过变形转化为( )或( )型，再运用洛必达法 0 ∞ 则。
2、设 f (x )在 ( −∞,+∞ )内具有二阶导数，且 f (0) = f ′(0) = 0 ，试求
f ( x) ,x ≠ 0 g ( x) = x 0, x = 0
的导数？
e x > 0 时， x − 1 > (1 + x) ln(1 + x)。 3、证明：当
4、试确定 a, b ，使 f
第三章
习题课
中值定理及导数的应用
一 基本要求
1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会用他们证明 一些等式或不等式。 2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论， 会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。 3、熟练掌握洛必达法则，并利用它求未定式的极限。 4、理解函数单调性与导数正负号的关系，会判断函数 的单调性。 5、掌握极值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。 6、了解函数图形的凹凸性与拐点的概念，并会判断曲 线的凹凸性与拐点。 7、了解微分作图法。
1 1 f 例如 f ( x) = − ，当时 x > 0 ， ′( x) = 2 > 0，但当 x x 1 f ( x) = − < 0 。 x > 0 时，
x
问题4、利用导数证明不等式的常用方法有哪些？
b−a b b−a < ln < (1)利用拉格郎日的中值定理。例 b a a 1 π tan x > x + x 3 (2)利用函数的单调性,例:当0 < x < 时, 3 2
(3)利用泰勒公式，同（2）。 (4)利用函数的最大最小值。 (5)利用函数图形的凹凸性。
四 典型题目
1、求极限 (1) ln(1 + x 2 )
lim
x →0
(2)
sec x − cos x
x x x 1 x
x → +0
lim
e
−
1 x
x
(3)
a +b +c lim( ) →0 3
(4)
ln n lim n→∞ n
5、拐点 连续曲线 y = f (x) 上凹弧与凸弧的分界点称为 曲线的拐点( x0 , f ( x0 ) )。 可能的拐点为：使 f ′′( x0 ) = 0 和 f ′′(x) 不存在时 曲线上相应的点( x, f ( x) )。 判定( x0 , f ( x0 ) )是拐点的方法：考察 x 0 左右两 侧二阶导数 f ′′(x)是否改变符号。
2
2e = lim x →∞ x
x2
=0
答：均为错误。
1
1
(1)不是未定式.事实上lim e x →∞
x2
= e = 1， lim xe x = ∞ 。 ∴
0
2
x →∞
1 (2)应为 1 − sin x x − sin x x lim = lim =1 x →∞ x + sin x x →∞ 1 1 + sin x x 1 （ lim ⋅ sin x = 0 ） x →∞
二 要点提示
1、洛必达法则 若在自变量某一变化过程中( x → x0 或 x → ∞ )，
g f (x ) ， (x ) 可导，且 g ′( x) ≠ 0 ； （2）
f ′( x) lim （3） g ′( x) 存在或 ∞ ；
f ( x) lim （1） g ( x)
0 ∞ 为（0 ）或（ ∞ ）型未定式；
x
说明：洛必达法则不是万能的。
问题2、如果 f (x ) 在 x 0 取得极值，是否必有 f ′( x0 ) = 0 ？
答：不一定。因为函数还可以在导数不存在的点 取得极值。
问题3、如果可导函数 f (x )当 x > a 时，有 f ′( x) > 0 ， 则当 x > a ，有 f ( x) > 0 ，该结论正确吗？ 答：不对。因为当 x > a 时， ′( x) > 0，只能说明 f (x ) f 当 x > a 时是单调增加的，不能保证 f ( x) > 0 。
2、判定函数单调性的方法
x 若 f ′( x) > 0， ∈ (a, b) ，则 y = f (x)在 [a, b] 上单调增 加； x 若 f ′( x) < 0， ∈ (a, b) ，则 y = f (x)在 [a, b] 上单调减 少。
3、判定曲线凹凸的方法 若 f ′′( x ) > 0， ∈ (a, b) ，则 f (x )在 [a, b] 上的图形 x 是凹的；
三 问题与思考
问题1、下面例题方法对吗？ 1 1 2 x （1） 1 − 3e x
lim xe
x →∞ x2
2
1
x − sin x 1 − cos x lim = lim （2）x →∞ x + sin x x →∞ 1 + cos x 不存在。
e = lim = lim x x →∞ 1 x →∞ 1 − 2 x x
x 若 f ′′( x ) < 0， ∈ (a, b) ，则 f (x )在 [a, b] 上的图形 是凸的。
4、极值 可能极值点为：驻点和不可导点。 判定极值的方法： (1)第一种充分条件：设x 0为可能极值点，考察 x 0 两侧导数 f ′(x) 是否改变符号。 (2)第二种充分条件：若 f ′′( x0 ) ≠ 0， ′( x0 ) = 0 ，则 f 当时 f ′′( x0 ) < 0，f (x)在 x 0处取得极大值； 当时 f ′′( x0 ) > 0，f (x)在 x 0处取得极小值。 注：当 f ′′( x0 ) = 0 时，方法失效。
( x) = x + ax + bx 在
3 2
x = 1处有极值为-2。