27.1 1.圆的基本元素
27,1 圆的基本元素
●
D
●
●O
●
B
●
C
例3.（1）在图中，画出⊙O的两条直径
（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形。 判断这个四边形的形状，并说明理由
A
●
D O
B
C
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( (2)半圆是弧； (
)
)
(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径；( (5)半圆是最长的弧；(
O
r
·
我国古人很早 对圆就有这样 的认识了，战 国时的《墨经 》就有“圆， 一中同长也” 的记载．它的 意思是圆上各 点到圆心的距 离都等于半径 ．
从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆 上．
归纳：圆心为O、半径为r的圆可
D
经过圆心的弦叫直径 如：AB C 思考：直径和弦有什么关系？ 直径是过圆心的特殊弦， 是圆中最长的弦，但弦不 一定都是直径；
A
●
O
B
圆上任意两点间的部分叫圆弧 以A、B为端点的弧记作AB,读作“弧AB”
知识梳理
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每个 弧都叫半圆，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫 C 做劣弧。弦及它所对的弧叫弓形。
● ● ●B
CLeabharlann ● ●●DO1
O2
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧
注意：只有在同圆或等圆中才有等弧， 等弧不仅弧长相等，而且度数相等。
典型例题
例1. 如图：点A、B和点C、D分别在两个同心圆 上，且∠AOB=∠ COD, ∠C与∠D相等吗？为什 D 么？ C
27.1.1 圆的基本元素
圆的基本元素
A
01
圆心
02
半径
03
直5
{ 劣弧
弧
等弧：同圆或等圆中，能够互相重合的
优弧 弧。
C
06
圆 心 角 以圆心O为顶点
记作：ʘO；读作：圆O。
巩固练习
小结
第27章 圆
完美的圆
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中 最美的是球形，一切平面图形中最美的 是圆形。”
它们的完美来自于中心对称，无论处于 哪个位置，都具有同一形状。
它们是最协调、最匀称的图形。
27.1 圆的认识
27.1.1 圆的基本元素
其他 20%
乘公共汽车 30%
步行 50%
你还记得如何制作扇形图吗？ 1.画圆 2.划分扇形
27.1.1圆的基本元素(上课用)最新课件PPT
判断：半圆周是弧，但弧不一定是半圆.( )
圆心角
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的 角叫做圆心角
Ａ
如图：⊙Ｏ中的圆心角 Ｃ 有∠_Ａ__Ｏ_Ｃ__、_∠__Ｂ_Ｏ__C_
Ｏ
思考：∠ＡＢＣ是不是 圆心角？
Ｂ
拓展运用
1、判断正误:
√ （1）圆中的直径是弦； ×（2）弦是圆中的直径； √ （3）直径是圆中最长的弦； √ （4）半径和弦都是线段； √ （5）直径相等的两个圆是等圆； ×（6）弦是圆上两点间的部分； ×（7）若P是⊙O内一点，过P点的最长的弦有无数条。 √ （8）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
O
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的 让你在无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都 勋章。知世故而不世故，是最善良的成熟。 日领教过这世界深深的恶意，然后开启爱他 的快意人生。第二名就意味着你是头号输家 比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在走 路。如果每个人都理解你，那你得普通成什 赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。 远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“ 的气质里，藏着你走过的路，读过的书，和 人。”素质是家教的问题，和未成年没关系
圆的确定
O●
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和_半__径_ 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作_圆__O__，记为_⊙__O__.
圆的分类
圆心相同的两个圆叫做 圆心不同半径相等的
同心圆
两个圆叫做
等圆
弦
A O●
连结圆上任意两点的线段叫弦
如图,弦有 AB、BC、AC
C D
A
O
B
解： ∵ AB为 ⊙O 的直径， ∴AO：AB=1：2 又∵ OD∥BC， ∴∠AOD= ∠ＡＢＣ， ∠ＡＤＯ＝ ∠ＡＣＢ， ∴△ＡＯＤ∽△ＡＢＣ。
27.1圆的基本元素
动动手
自己用圆规在纸上画一个圆，感受圆的形 成过程。
想一想
如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出 你的理由
思考 体会刚才画圆的过程，你能 由此说出圆的形成过程吗？
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的 一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 形叫做圆． A
固定的端点O叫做圆心 线段OA叫做半径
C
我们可以发现，在圆中有长度不等 的弦，那么在一个圆中有没有最长的 弦呢？
小明和小强为了探究 ⊙O 中有没有最长的 弦，经过了大量的测量，最后得出一致结 论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的 结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
A
O
B
C
D
C
D
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作 “圆弧AB”或“弧AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫做半圆．
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
奥运五环
福建土楼
天安门广场 国庆花坛
城市立体交通
平面设计图案中的“圆”
一切平面图形中，最美的是圆！
——毕达哥拉斯[古希腊数学家]
第
27
章
圆
学习目标：
１、理解并掌握圆的概念。 ２、了解和认识圆的相关概念。 ３、探究圆的一些基本特征。 ４、能利用圆的概念及其特征解决一些实 际问题和几何问题。
2、以点O为圆心能画几个圆？这些圆的位置 和大小有什么特点？ 圆心相同，但圆的大小不同（半径不 同）， 这样的两个圆叫做同心圆。
圆的分类
圆心相同的两个圆叫做
同心圆
圆心不同半径相等的两 个圆叫做 等圆
圆的基本要素和性质(精简版)
圆的基本要素和性质（精简版）圆是数学中的一个基本图形，具有一些特殊的要素和性质。
以下是关于圆的基本概念和特点的简要介绍：1. 圆的要素1.1 圆心（Center）：圆的中心点，通常表示为O。
圆的中心点，通常表示为O。
1.2 半径（Radius）：圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。
圆心O到圆周上任意一点的距离，通常表示为r。
2. 圆的性质2.1 圆周与直径的关系：圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。
直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。
圆周是连接圆上任意两点的线段，它的长度通常表示为C。
直径是连接圆上任意两点且经过圆心的线段，它的长度等于圆周的两倍，即直径D = 2r。
2.2 圆的面积（Area）：圆的面积表示为A，计算公式为A =πr^2（其中π是一个常数，约等于3.）。
圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。
圆的面积表示为A，计算公式为A = πr^2（其中π是一个常数，约等于3.14159）。
圆的面积是圆周与圆心之间所有区域的总和。
2.3 圆的周长（Circumference）：圆的周长等于圆周的长度，即 C = 2πr。
周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。
圆的周长等于圆周的长度，即C = 2πr。
周长是圆周的一种度量，表示沿着圆周一周的总长度。
2.4 圆的切线（Tangent Line）：圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与该点处的半径垂直相交。
圆上的切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与该点处的半径垂直相交。
以上是关于圆的基本要素和性质的简要介绍。
了解圆的这些基本概念和特点，有助于在数学问题和几何图形的研究中运用圆的相关知识。
第27章 27.1 27.1.1 圆的基本元素
知识点 圆、弦、弧等概念的应用
1. 下列说法：①直径是弦；②弦不是直径；③半圆
是弧；④半径相等的两个圆大小一样，其中正确的有( C )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2. 下列说法中，正确的是( D ) A．长度相等的两条弧是等弧(能够完全重合的两条 弧叫做等弧) B．大于劣弧的弧叫做优弧 C．过圆心的线段叫做圆的直径 D．等于半径 2 倍的弦是直径
第27章 圆 27.1 圆的认识 27.1.1 圆的基本元素
1. 以 O 为圆心的圆叫圆 O，记为 ⊙O ． 2. 连结圆上任意两点的线段，叫做 弦 ，经过圆 心的弦叫做 直径 ．
3. 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ； ︵
以 A、B 为端点的弧记作 AB ，读作弧 AB．其中大于半
的点的最大距离为 a，最小距离为 b(a>b)，则此圆的半
径为( C )
A．a＋2 b
B．a－2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb
C．a＋2 b 或a－2 b
D．a＋b 或 a－b
11. 如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆 AB．当端
点 A 沿直线 AO 向下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直 线 OB 向左滑动．如果滑动杆从图中 AB 处滑动到 A′B′ 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是( B )
13. 如图所示，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边 形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形．设 BC＝a，EF＝b， NH＝c，则 a ＝ b ＝ c(填“＞”“＜”或“＝”)．
14. 如图，已知点 A(0，1)，B(0，－1)，以点 A 为圆 心，AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则∠BAC 等于 60 度．
圆的知识点总结简要
圆的知识点总结简要一、圆的定义和基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的点到另一个点距离等于定值的所有点的集合。
通常我们将这个距离定值称为圆的半径。
可以用数学式表示为：圆的定义为：平面上到定点距离等于常数r（半径）的点的集合。
2. 圆的基本元素圆的基本元素包括圆心、半径、直径、圆周和弧。
圆心是指圆上所有点到该点的距离相等（等于半径）。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用r表示。
直径是圆上通过圆心的任意两点之间的距离，直径是直线段的长度，是半径的两倍。
圆周是圆上的一条封闭曲线，是所有到圆心距离等于r的点的集合，通常也称为圆的周长。
而弧是圆周上两点之间的曲线部分。
二、圆的性质1. 圆的性质- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径r。
- 任意一条直径等分圆，即将直径平分为两个相等的半圆。
- 圆的直径是圆周的两倍，即直径d=2r。
- 圆的直径是最长的弦，即圆周上任意两点的连线。
- 圆的面积和周长与半径的关系分别为：面积S=πr^2，周长C=2πr。
- 圆的任意弧长s和对应的对角线长d之间的关系为：s=rθ，d=2rsin(θ/2)，其中θ为弧度。
2. 圆的切线性质- 圆上任意一点，有且只有一条与圆相切的直线。
- 切线与半径的夹角为直角（90度）。
三、圆的相关公式1. 圆的周长和面积- 圆的周长公式为：C=2πr。
- 圆的面积公式为：S=πr^2。
2. 圆的弧长和扇形面积- 弧长公式为：s=rθ，其中θ为弧度。
- 扇形面积公式为：A=0.5r^2θ，其中θ为扇形的圆心角的弧度。
3. 圆的切线方程和切点坐标- 圆的标准方程为（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。
- 圆的切线方程为y = mx ±√(r^2m^2-r^2+b^2)。
四、圆的应用1. 工程应用- 圆的几何形状在工程设计和施工中具有广泛的应用，例如桥梁拱形结构、齿轮的设计等。
- 圆的运动学特性在机械传动系统和轮胎等方面有着重要应用。
圆的基本要素
第1课时27.1.1 圆的基本元素【学习目标】1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别；2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；3．能应用圆的有关概念解决问题.【学习重难点】重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别；难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；【学法指导】通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．【自学互助】（图1）一、自学教材P36－37（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成1．理解圆的定义：（自己动手画圆）（1）描述性定义：____________________________________________________。
从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.（2）集合性定义：__________________________________________________。
（3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______.（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小.2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。
如图1，弦有线段 ，直径是 ，最长的弦是 ，优弧有 ；劣弧有 。
【展示互导】活动1．学生展示自主学习内容并相互交流 活动2.判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径.（ ） （3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( ) 活动3．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝ ，AB ＝ 活动4．已知：如图2，OA OB 、为⊙O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =活动4．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 中不过圆心的任意一条弦，求证：AB ＞CD 。