高考数学 房山区2015年高三第一次模拟试题(理)
2015届高考模拟(一)数学【理】试题及答案
2015届高三理科数学高考模拟题一一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1、若复数满足：，则的虚部为（ C ）A. B. 1C.D.2、已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ A ） A ．B ．C ．D ．3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n，且，则=（ C ）4、将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ D ）A. B. C. D.5、下列四个命题中：①设有一个回归方程y=2－3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②命题P:“”的否定；③设随机变量X 服从正态分布N （0，1），若P （X ＞1）=p ，则P （-l ＜X ＜0）；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（ C） 本题可以参考独立性检验临界值表：A．1个 B．2个C．3个D．4个6. 设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（C ）2D7. 执行如图所示的程序图，若任意输入区间[1，19]中实数x，则输出x大于49的概率为（C ）．．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( B ) A．B．C．D．9. 已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）10、已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ B ）A. B. C. D.二、填空题：（选做题）11.如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．若，则的长为．12．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.射线与圆C的交点为O、P两点，则P点的极坐标为.13．设函数.则的最大值是 2 ；（必做题）14．已知实数x，y满足，则的最大值为．15．如图所示，在圆中，与是夹角为的两条直径，分别是圆与直径上的动点，若，则的取值范围是________．16、已知数列{}通项公式为＝－n＋p，数列{}通项公式为＝，设＝若在数列{}中，＞（n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所[50,70这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，∴a=b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%=65%.（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==；P(X=4)==.随机变量X的分布列为X 1 2 3 4PE(X)=1×+2×+3×+4×=18．（本小题满分12分）已知.（1）若，方程有且仅有一解，求的取值范围；（2）设的内角的对应边分别是，且，若，求的取值范围.解.（1）依题意可得................................3分∵，∴，...........6分（2）由得................................8分................10分故..................12分19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．解析：（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（4分）（Ⅱ）（理科）解：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，∵ABCD为正方形，∴，∴，由ABCD为正方形可得：，∴设平面BEF的法向量为，，由，令y1=1，则∴…（8分）设平面BCF的法向量为，，由，令y2=1，则，，∴…（10分）设二面角C﹣BF﹣E的平面角的大小为θ，则=∴二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值为…（12分）20. (本小题满分13分)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立. 求证：的最大值为.（1）由题意知：，，化简，得：，当时，，适合情形。
数学_2015年北京市房山区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上．1. 已知集合M ＝{x ∈R|x 2−x ＝0}，N ＝{x|x ＝2n +1, n ∈Z}，则M ∩N 为（ ） A {0} B {0, 1} C {1} D ⌀2. 双曲线x 2−my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A 4 B 2 C 12 D 143. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≤x ，x +y ≥2，y ≥3x −6，则目标函数z =2x +y 的最小值为( ）A 2B 3C 4D 94. 从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A 24 B 48 C 72 D 1205. 已知二次函数f(x)＝ax 2+bx ，则“f(2)≥0”是“函数f(x)在(1, +∞)上为增函数”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）A 7B 223C 476D 2337. 向量a →=(2, 0)，b →=(x, y)，若b →与b →−a →的夹角等于π6，则|b →|的最大值为（ ）A 4B 2√3C 2 D4√338. 一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），若汽车在时刻t 的速度v(t)＝t 米/秒，那么此人（ ）A 可在7秒内追上汽车B 不能追上汽车，但其间最近距离为16米C 不能追上汽车，但其间最近距离为14米D 不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡指定位置．9. 已知复数z满足(1+i)z＝1−i，则复数z＝________．10. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为________．11. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在若直角三角形中较小的锐角θ=π6小正方形内概率是________．12. 如图所示，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA＝6，AB=22，PO＝12，则⊙O的半径是________．313. 已知直线l过点P(3, 2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________，此时，直线l的方程为________．14. 已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R，都有f(x+4)＝f(x)+f(2)成立．当x1，x2∈[0, 2]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)<0，给出下列命题：x1−x2（1）f(2)＝0；（2）直线x＝−4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；（3）函数y＝f(x)在[−4, 4]上有四个零点；（4）f(2015)＝f(1)．其中所有正确命题的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=sin(2x−π)+2cos2x−1(x∈R)．6(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)=1，且△ABC外接2圆的半径为√3，求a的值．16. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．17. 在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．(Ⅰ)求证：CM⊥EM；(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60∘．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．ax2+x−ln(1+x)，其中a>0．18. 已知f(x)=−12(Ⅰ)若函数f(x)在点（3, f(3)）处切线斜率为0，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)若f(x)在[0, +∞)上的最大值是0，求a的取值范围．19. 动点P(x, y)到定点F(1, 0)的距离与它到定直线l:x＝4的距离之比为1．2(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知定点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点Q(4, t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M，N，F三点共线．20. 下表给出一个“等差数阵”：ij(Ⅰ)写出a45的值；(Ⅱ)写出a ij的计算公式；(Ⅲ)证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．2015年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. D9. −i10. 811. 1−√3212. 813. 12,2x+3y−12＝014. ＝f(x)+f（成立当x＝−2，可得f(−＝0，又∵ 函数y＝f(x)是R上的偶函数∴ f(−①②④15. （本小题共1（1）∵ f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x−1=√32sin2x−12cos2x+cos2x⋯=√32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)⋯由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)∴ f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)（2）∵ f(A)=sin(2A +π6)=12，0<A <π，π6<2A +π6<2π+π6，于是2A +π6=5π6，∴ A =π3⋯∵ △ABC 外接圆的半径为√3，由正弦定理asinA =2R ，得a =2RsinA =2√3×√32=3，16. 解：(1)设该校报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由题意可知{p 2=2p 1，p 3=3p 1，p 1+p 2+p 3+(0.0375+0.0125)×5=1，解得p 1=0.125，p 2=0.25，p 3=0.375． 又因为p 2=0.25=12n，故n =48．(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p =p 3+(0.0375+0.0125)×5=58．所以X 服从二项分布，P(X =k)=C 2k(58)k ⋅(38)2−k ，k =0，1，2，∴ 随机变量X 的分布列为：则E(X)=2×58=54.17. （本小题共1(I)证明：∵ AC ＝BC ，M 是AB 的中点∴ CM ⊥AB ．又EA ⊥平面ABC ，CM ⊥EA ．∵ EA ∩AB ＝A∴ CM ⊥平面AEM ∴ CM ⊥EM（2）以M 为原点，分别以MB ，MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M −xyz ， 则M(0,0,0),C(0,√2,0),B(√2,0,0),D(√2,0,2),E(−√2,0,1)ME →=(−√2.0.1),MC →=(0,√2,0),BD →=(0,0,2),BC →=(−√2,√2,0)设平面EMC 的一个法向量m →=(x 1,y 1,z 1)，则{−√2x 1+z 1=0√2y 1=0取x 1=1,y 1=0,z 1=√2所以m →=(1,0,√2)设平面DBC 的一个法向量n →=(x 2,y 2,z 2)，则{−√2x 2+√2y 2=02y 2=0取x 1＝1，y 1＝1，z 1＝0，所以n →=(1,1.0)cos⟨m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√2×√3=√66所以平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值√66． (Ⅲ)在棱DC 上存在一点N ，设N(x, y, z)且DN →=λDC →，0≤λ≤1， x =√2−√2λ,y =√2λ,z =2−2λ， MN →=(√2−√2λ,√2λ,2−2λ)若直线MN 与平面EMC 所成的角为60∘，则cos⟨MN →,m →>=√2−√2λ+√2(2−2λ)√3√2(1−λ)2+2λ2+4(1−λ)2=sin60=√32解得：λ=12，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点． 18. （本小题共1 （1）由题意得f′(x)=−ax 2−(a−1)xx+1，x ∈(−1, +∞)，由f′(3)＝0⇒a =14．（2）令f′(x)＝0⇒x 1＝0，x 2=1a −1，①当0<a <1时，x 1<x 2， f(x)与f′(x)的变化情况如下表∴ f(x)的单调递增区间是(0, 1a −1)，f(x)的单调递减区间是(−1, 0)和(1a −1, +∞)；②当a ＝1时，f(x)的单调递减区间是(−1, +∞)； ③当a >1时，−1<x 2<0 f(x)与f′(x)的变化情况如下表∴ f(x)的单调递增区间是(1a −1, 0)，f(x)的单调递减区间是(−1, 1a−1)和(0, +∞)．综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间是(0, 1a−1)．f(x)的单调递减区间是(−1, 0)，(1a−1, +∞)，当a>1，f(x)的单调递增区间是(1a−1, 0)．f(x)的单调递减区间是(−1, 1a−1)，(0, +∞)．当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(−1, +∞)．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a<1时，f(x)在(0, +∞)的最大值是f(1a−1)，但f(1a−1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合题意，当a≥1时，f(x)在(0, +∞)上单调递减，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0, +∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意，∴ f(x)在[0, +∞)上的最大值为0时，a的取值范围是a≥(1)19. （本小题共1（1）由题意动点P(x, y)到定点F(1, 0)的距离与它到定直线l:x＝4的距离之比为12，得√(x−1)2+y2|x−4|=12，化简并整理，得x 24+y23=1．所以动点P(x, y)的轨迹C的方程为椭圆x 24+y23=1．（2）当t＝0时，点M与B重合，点N与A重合，M，N，F三点共线．当t≠0时根据题意：QA:y=t6(x+2),QB:y=t2(x−2)由{x24+y23=1y=t6(x+2)消元得：3x2+t29(x+2)2−12=0整理得：(t2+27)x2+4t2x+4t2−108＝0该方程有一根为x＝−2，另一根为x M，根据韦达定理，−2x M=4t2−108t2+27,x M=54−2t2t2+27由{x24+y23=1y=t2(x−2)消元得：3x2+t2(x−2)2−12＝0整理得：(t2+3)x2−4t2x+4t2−12＝0该方程有一根为x＝2，另一根为x N，根据韦达定理，2x N=4t2−12t2+3,x N=2t2−6t2+3当x M＝x N时，由54−2t 2t2+27=2t2−6t2+3得：t2＝9，x M＝x N＝1，M，N，F三点共线；当x M≠x N时，y M=t6(x M+2)=18tt2+27，y N=t2(x N−2)=−6tt2+3k MF=y Mx M−1=18tt2+2754−2t2t2+27−1=6t 9−t2；k NF=y Nx N−1=−6tt2+32t2−6t2+3−1=6t9−t2k MF＝K NF，M，N，F三点共线．综上，命题恒成立．20. (I)a45＝49．(II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4+3(j−1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7+5(j−1)，第i行是首项为4+3(i−1)，公差为2i+1的等差数列，因此a ij＝4+3(i−1)+(2i+1)(j−1)，＝2ij+i+j＝i(2j+1)+j．(III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N＝i(2j+1)+j，从而2N+1＝2i(2j+1)+2j+1＝(2i+1)(2j+1)，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1＝(2k+1)(2l+1)，从而N＝k(2l+1)+l＝a kl，可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。
中学2015届高三校模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015届山东省济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试数学（理）试题注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等于A ．}{,,,1456 B ．}{4C ．}{,15D ．}{,,,,123452．若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．32D ．133．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1： ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为A ．16B ．13C ．23D ．15．已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，且l α⊄，l β⊄，则A ．//αβ，且//l αB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象，可以将)(x f 的图象A ．向右平移65π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度 C ．向左平移65π个单位长度 D ．向左平移125π个单位长度 7．数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为A ．100B ．120C ．140D ．1608．若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是A 22B 2C 3D 239．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D （如图所示），则AB CD ⋅的值正确的是A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是410．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是A ．9B ．14C ．15D ．16第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
北京市房山区2015届高三上学期第一次模拟考试数学(理)
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|}0M x x x ∈-=R ＝，{|}21,N x x n n ==∈Z ＋，则M N 为( )A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1D ．φ【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，02=-x x ，解得0=x 或1=x ，即集合}1,0{=M ，当Z n ∈时，集合}3,1,1{ -=N ，因此}1{=N M ； 考点：集合的运算2.．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】试题分析：由题可知，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则有b a 2=，于是224b a =，在双曲线221x my -=中，12=a ，mb 12=，即m 41=，1=m ；考点：双曲线的性质3.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据y x 、的约束条件，作出可行域，则目标函数在点（1,1）处取得4.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A ．24B ．48C ．72D ． 120【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，从5名学生中选取4人，分为两种情况，第一种甲被选中，第二种甲不被选中，当甲被选中时，参赛方案为48331213=⋅⋅A C C 种，当甲未被选中时，参赛方案为244444=⋅A C 种，因此参赛方案一共有722448=+种；考点：排列组合的实际应用5.已知二次函数2()f x ax bx =+，则“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，024)2(≥+=b a f ，即b a -≥2，因为1222=≤-aaa b ，即二次函数对称轴小于等于1，因此函数)(x f 在），（∞+1上递增或是递减；而函数)(x f 在），（∞+1上为增函数，则有0>a ，12≤-ab，即a b 2≤-，02224)2(=+-≥+=b b b a f ；因此“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的必要不充分条件；考点：二次函数的图像与性质6.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．223 C ．476D ．233【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，此几何体是在正方体的两端分别截取两个三棱锥， 每个三棱锥的体积为61111213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=h s V ，因此此几何体的体积 32361223=⨯-=V ； 考点：几何体的三视图7.向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b 与b a -的夹角等于6π，则b 的最大值为（ ） A ．4 B．C ．2D【答案】A 【解析】试题分析:由题可知，作以向量a ，b ，a b -为三边的三角形，于是︒=∠30A ，由正弦定理可知，Bsin ||30sin ||=︒，由于向量(2,0)a =，(,)b x y =，因此24||==，22x ||y +=，即B sin 4||=，因为1sin 0≤≤B ，故b 的最大值为4；考点：三角形正弦定理8.一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ）A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米【答案】D 【解析】试题分析：由题可知，汽车在时刻t 的速度为v （t ）=t 米/秒，所以加速度1)(==tt v a M/S ，由此判断为匀加速运动，再设人于x 秒追上汽车，有221256ax x =-，解得0<∆，方程无解，因此不能追上汽车，此一元二次方程，最小值为742=-ac b ，故最近距离为7米。
2015房山一模 北京市房山区2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
房山区2015年高三第一次模拟试题2015房山一模数学(文科)考生1. 须知 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ） A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，， 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．84．设a ∈R ,则 “1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C . 充要条件D ． 既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，45B =︒，2ABC S =△，则 b 等于 ( )俯视图侧视图正视图A ．B ．5C ．41D ．256．在同一个坐标系中画出函数sin x y a y ax ==与的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ）A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.9. 若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____． 10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，设向量(,)m a b =， 向量(1,1)n =-，则m n ⊥的概率是_____．11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=,0,31,0,)21()(x x x x f x则=-))1((f f ____；若)5()32(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是_____．13．已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____． 14. 实数,x y 满足320x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，若(x 2)y k ≥+恒成立，则实数k 的最大值是_____．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.16.（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．17.（本小题共13分）教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。
2015高考数学模拟试卷及答案解析-理科
2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）=3sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+ D ．23π+6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放．A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为 A ．2+1B ．2C ．2D ．2－110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．22C ．6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。
高考数学 房山区2015年高三第一次模拟试题参考答案(理)
最新整理房山区2015年高三第一次模拟试题高三数学(理科) 参考答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分） 9．i -; 10. 8; 11. 1-; 12. 8 ； 13. ,1201232=-+y x ; 14. （1）（2）（4）三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
共80分） 15． （本小题共13分）解：（Ⅰ）∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ )得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ ) 5分∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ ) ………………7分（Ⅱ）∵21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ………………10分∵ABC ∆ 由正弦定理2sin aR A=，得 2sin 3a R A ===， ………………13分 16．（本小题共13分）解：（I ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ，则由条件可得：213112323(0.0370.013)51p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩最新整理解得，1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为2120.25,p n==故n 48= ………………5分 (II)由（I ）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为35(0.0370.013)5,8p p =++⨯=服从二项分布故X ，()kk k C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==338385∴随机变量X 的分布列为：则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ，或815853=⨯==np EX ． ………………13分17．（本小题共14分）（I ）证明： ,AC BC M =Q 是AB 的中点CM AB ∴⊥． 又ΘEA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥．EAAB A CM =∴⊥Q I 平面AEM∴EM CM ⊥ ………………4分（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -， 则(0,0,0),2),(M C B D E -((0,0,2),(ME MC BD BC=-===-u u u r u u u u r u u ur u u u r设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z =u r，则1110z ⎧+=⎪=取1111,0,x y z ===m =u r设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z r =，则222020y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n =r66321=⨯==最新整理所以平面EMC 与平面BCD所成的锐二面角的余弦值6………………9分 （Ⅲ）设(,,)N x y z 且DN DC λ=u u u r u u u r,01λ≤≤,2)(2),,,22x y z x y z λλ∴--=-===-（,22)MN λ=-u u u u r若直线MN 与平面EMC 所成的角为060，则()()()2360sin 142123222220222==-++--+-=λλλλλ 解得：12λ=，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14分 18．（本小题共13分）解：(Ⅰ)由题意得f ′(x )＝－ax 2－(a －1)xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)，由f ′(3)＝0⇒a ＝14． ………………3分 (Ⅱ)令f ′(x )＝0⇒x 1＝0，x 2＝1a －1， ①当0<a <1时，x 1<x 2，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表∴f (x )的单调递增区间是(0，1a －1)，f (x )的单调递减区间是(－1,0)和(1a －1，＋∞)； ②当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)； ③当a >1时，－1<x 2<0最新整理f (x )与f ′(x )的变化情况如下表∴f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)，f (x )的单调递减区间是(－1，1a －1)和(0，＋∞)． 综上，当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是(0，1a －1)． f (x )的单调递减区间是(－1,0)，(1a －1，＋∞)， 当a >1，f (x )的单调递增区间是(1a －1,0)． f (x )的单调递减区间是(－1，1a －1)，(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )的单调递减区间为(－1，＋∞)． ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a －1)， 但f (1a －1)>f (0)＝0，所以0<a <1不合题意， 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (x )≤f (0)可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值为f (0)＝0，符合题意，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值为0时，a 的取值范围是a ≥1． ………………13分 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x .最新整理所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线；当M N x x ¹时，218(2)627M M t t y x t =+=+，26(2)23N N t ty x t -=-=+最新整理22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k ，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分 20．（本小题共13分）（I ）解：a 45=49. ………………3分（II ）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3（j －1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5（j －1），……第i 行是首项为4+3（i －1），公差为2i +1的等差数列，因此a ij =4+3（i －1）+（2i +1）（j －1）=2ij +i +j =i （2j +1）+j . ………………7分 （III ）证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i 、j 使得N =i （2j +1）+j ， 从而2N +1=2i （2j +1）+2j +1=（2i +1）（2j +1）， 即正整数2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N +1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k 、l ，使得2N +1=（2k +1）（2l +1），从而N =k （2l +1）+l =a kl ， 可见N 在该等差数阵中.综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积 ………………13分。
北京市房山区高三数学理科一模试题及答案
房山区2018年高考第一次模拟测试一试卷数学（理）本试卷共 5 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
（1）若会合M {1,0,1,2} ， N{ y | y2x1, x M}，则会合M I N等于（A）{ 1,1}（B）{1,2}（C）{1,1,3,5}（D）{ 1,0,1,2}（2）已知复数 z12 i，且复数 z1， z2在复平面内对应的点对于实轴对称，则z1z2（A） 1+i3 4 i34 4 i（B）（） -（D）155C553x y00 ，则y的最大（3）已知实数 x, y 知足条件x y4开始值是x10x（A）1（B） 2 （C） 3（D） 4S=0, k=1k=k+1S=2S+k否（ 4）履行以下图的程序框图，若输出的S 88 ，则判断是框内应填入的条件是（ A）k 4输出 S （B）k 5（C）k6结束（D）k7（5）以下函数中，与函数y x3的单一性和奇偶性同样的函数是（A） y x （B） y ln x（C） y tan x （ D） y e x e x（6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A） 8+4 2（B）2+22+43（C）2+63（D）2+42+23（7）“m3m ”是“对于 x 的方程sin x m 无解”的（A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件（8）如图，直线 AB 与单位圆相切于点 O ，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记AOP x (0 x) ，OP经过的单位圆O内地区（暗影部分）的面积为 S ，记S f ( x) ，则以下判断正确的是．．（A）当x3时，S31 442（B）x (0,) 时， f ( x) 为减函数（C）对随意x(0,) ，都有 f (x) f (x)222（D）对随意x(0,) ，都有 f (x) f ( x)222第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
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房山区2015年高三第一次模拟试题
高三数学(理科)
考
生
须
知
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1. 已知集合2{|}0M x x x ∈-=R ＝，{|}21,N x x n n ==∈Z ＋，则M N I 为( )
A ．{}0
B ．{}0,1
C ．{}1
D ．φ
2．双曲线2
2
1x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4
B ．2
C ．
1
2
D ．
14
3. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
4．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A ．24
B ．48
C ．72
D ． 120 5. 已知二次函数2
()f x ax bx =+，则“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．7
B ．223
C ．476
D ．233
7．向量(2,0)a =r ，(,)b x y =r ，若b r 与b a -r r 的夹角等于6
π
，则b r 的最大值为（ ）
A ．4
B ．23
C ．2
D ．
43
3
8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ） A ．可在7秒内追上汽车
B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米
C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米
D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米
第II 卷 非选择题(共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在答题卡指定位置。
9．已知复数z 满足(1)1i z i +=-，则复数z =
____．
10．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为____．
11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的 大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
θ=
，现在向该正方形区域内随机地
投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是____．
12．如图所示，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心． 已知6=PA ，22
3
AB =
，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．
13．已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则∆OAB 面积的最小值为____，此时，直线l 的方程为____．
14．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x ∀∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立．当1x ，2[0,2]x ∈，且12x x ≠时，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-，给出下列命题：（1）(2)0f =；（2）直线4x =-是函数()y f x =图象
的一条对称轴；（3）函数()y f x =在[4,4]-上有四个零点；（4）()()20151f f =.其中所有正确命题的序号为
____．
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）
已知函数2()sin(2)2cos 1()6
f x x x x π
=-
-∈+R .
（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12
f A =
，且△ABC 3，求a 的值.
16.（本小题共13分）
为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3组的频率之比为1:2:3， 其中第2组的频数为12.
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.
A
C
E
17.（本小题共14分）
在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；
（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC
所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题共13分）
已知2
1()ln(1)2
f x ax x x =-
+-+，其中0>a ． (Ⅰ)若函数()f x 在点(3,(3))f 处切线斜率为0，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围． 19.（本小题共14分）
动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为2
1
. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线. 20．（本小题共13分）
下表给出一个“等差数阵”：
a表示位于第i行第j列的数.
其中每行、每列都是等差数列，
ij
a的值；
（I）写出
45
a的计算公式；
（II）写出
ij
N 可以分解成两个不是1的正整数之积.. （III）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是21。