2015级入学考试(数学)

本溪县高中2015级入学考试数学试卷考试时间:120分 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知边长为a 的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ）A ． a 是无理数B ． a 是方程x 2﹣8=0的一个解 C ． a 是8的算术平方根D ． a 满足不等式组2.已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根3． 有3 cm ，3 cm ，6 cm ，6 cm ，12 cm ，12 cm 的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若－1＜a ＜0，则31,a a a一定是 ( )(A)a 1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大 (C) a 1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大5．盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2，1，4．随机摸出一个小球，其数字为p （放回），再随机摸出一个小球，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2＋px ＋q=0有实数根的概率是（ ） A.19 B.13 C.23 D.896． 如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上． 根据图中提供的信息，有下列说法： （1）食堂离小明家0.4 km ；（2）小明从食堂到图书馆用了3 min ； （3）图书馆在小明家和食堂之间；（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min其中正确的有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，对折矩形纸片ABCD ，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC 与EF 重合， 折痕为GH ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在GH 上的点N 处，并使折痕经过点B ，折痕BM 交GH 于点 I ．若AB =4 cm ，则GI 的长为（ ）A ．410cm B ．43cm C ．54cm D ．515cm 8．若},,,max{21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,(321a a a A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b B ，记}.,,max{332211b a b a b a B A =⊗设,1(-=x A )1,1+x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=|1|21x x B ，若1-=⊗x B A ，则x 的取值范围为（ ）A ．9．如图，已知抛物线x x y l 221:21-=与x 轴分别交于O 、A 两点，它的对称轴为直线x=a ，将（第7题）IABCDE FG H MN（第6题）y /min抛物线1l 向上平移4个单位长度得到抛物线2l ，则图中两条抛物线、对称轴与y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1610．如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AD 上，且AD 为∠BAC 的角平分线．若∠ABE=∠C，AE ：ED=2：1，则△BDE 与△ABC 的面积比为何？（ ） A ． 1：6B ． 1：9C ． 2：13D ． 2：15第9题二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．若m 是方程210x x +-= 的一个根，则代数式3222013m m ++的值= .12. 在很小的时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如下图（1）的规则练习数数，数到2016时对应的指头是 __________ (填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).第12题 图（1） 第13题 图（2） 第14题 图（3）13．如左下图（2），在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC上一动点，则PB+PE 的最小值是 ．14．如左下图（3）所示，直线2+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、 B ，点P 为函数x y 2=(x ＞0)图象上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PE 、PF，当PE 、PF 分别与线段AB 交于点C、D 时，则AD ·BC 的值为．15．观察下列不等式：21241324613524681357......>⋅>⋅⋅>⋅⋅⋅>照此规律，由此猜测第n 个不等式为：*()n N ∈16．若对于多项式x 2+2x+3，当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，多项式的值相等；当x 取x 3、x 4（x 3≠x 4）时，多项式的值相等；当x 取x 5、x 6（x 5≠x 6）时，多项式的值相等；…；当x 取x 2013、x 2014（x 2013≠x 2014）时，多项式的值相等；则当x= 时，(x- x 1)2+(x- x 2)2+(x- x 3)2+(x- x 4)2…+(x - x 2013)2+ (x- x 2014)2的值最小．17．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则第10题第17题第18题(1) 圆2C 的半径长等于(用a 表示)；(2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数，用a 表示，18.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF⊥AE 交CD 边于F ，延长BA 到点G ，使AG=CF ，连接GF ．若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，则GF 的长为 . 三、解答题（共2小题，共22分）19．（10分）如图a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD ^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立（不要求考生证明）．若将图a 中的垂直改为斜交，如图b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB 交BD 于F ，则：（1）111AB CD EF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.20．（12分）定义符号{}mi n a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时,{}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.四、解答题（共6小题，满分74分） 21．（12分）如图1，已知双曲线ky x=(k>0)与直线y= k′x 交于A,B 两点，点A 在第一象限，试解答下列问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线ky x= (k ＞0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限．①证明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．22．（12分）有三张正面分别写有数字-2，-1,1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值。

放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为（x ，y ）。

（1）用树状图或列表法表示（x ，y ）所有可能出现的结果；（2）求使分式有意义的（x ，y ）出现的概率；（3）化简分式；并求使分式的值为整数的（x ，y ）出现的概率。

23.（12分）（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF=DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决:保持（1）中的条件不变，若DC=2DF ，求AB AD值． （3）类比探究: 保持（1）中的条件不变，若DC=nDF ，求ABAD的值（直接写出答案）24.（12分）一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款. 现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用(m²-1)元，(m 为正整数，且m²-1＞100)；如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用(m²-1)元 （1）设初三年级共有X 名学生，则 ①X 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支 元，批发价每支应为 元；(用含x 、m 的代数式表示) （2）若按批发价每购15支与按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生?并确定m 的值25.（12分）如图，在长方形ABCD 中，AB=5cm,BC=7cm,点P 从A 开始沿线段AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿线段BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，点P 、Q 分别从A ，B 两点同时出发了t 秒钟，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0＜t ＜3.5） （1）经过几秒钟后，PQ 的长度等于5cm ． （2）经过几秒钟后，△BPQ 的面积等于4cm ．（3）经过几秒钟后，△DPQ 是等腰三角形？（第25题）26．（14分）如图，抛物线y =ax 2+bx+c 的开口向上，顶点M 在第三象限，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，点A 坐标为（－3，0），点B 坐标为（1，0）．（1）试用含a 的式子表示b ，c ；（2）连接AM 、CM 、CB ，试说明△OCB 与四边形AMCO 的面积之比是一个定值，并求出这个定值；（3）连接AC ，若∠AC M =90°，解决下列问题：①求抛物线解析式并证明∠MAO =∠ACB ；②线段AM 上是否存在点D ，使以点A 、O 、D 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出点D 坐标；若不存在，说明理由．FA ED B C（第26题）c。