19-20学年陕西省渭南市临渭区高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年陕西省渭南市临渭区高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( ) A. n 2n+1 B. n 2n+3 C. n 2n−3 D. n2n−1 2. 命题“∀x ∈R ，x 2−1>0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−1≤0B. ∃x 0∈R ，x 02−1>0C. ∃x 0∈R ，x 02−1≤0D. ∀x ∈R ，x 2−1<03. 已知a >0，如果P =√a +√a +3，Q =√a +1+√a +2，则( )A. P >QB. P <QC. P =QD. P 与Q 无法比较大小4. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A. a +c >b +cB. ac >bcC. ac <bcD. a 2>b 2 5. 设双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 16. 抛物线x 2=−2y 的焦点到其准线的距离是( )A. 12B. 1C. 2D. 47. 如图，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，且OM =2MA ，BN =NC ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 23a ⃗ +23b ⃗ +12c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ C. −23a⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ D. 12a ⃗ −23b ⃗ +12c ⃗8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7=11，则S 13=( ) A. 66 B. 99 C. 110 D. 1439.下列选项中，说法正确的是()A. 命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B. 设a⃗,b⃗ 是向量，命题“若a⃗=−b⃗ ，则|a⃗|=|b⃗ |”的否命题是真命题C. 命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D. 命题∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”．10.“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件11.等比数列{a n}中，a1=−1，a4=64，则数列{a n}前3项和S3=()A. 13B. −13C. −51D. 5112.设点P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率为()A. √3+1B. 2C. √3−1D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式2x−1x+2>1的解集为________．14.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u⃗=(1,−3,z)，向量v⃗=(3,−2,1)与平面α平行，则z=______．15.已知1a +4b=1，且a>0，b>0，则a+b的最小值为______ ．16.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为______m．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且(a−b+c)(a−b−c)=(√3−2)ab．(1)求角C的大小；(2)若c=3，△ABC的周长为9，求△ABC的面积．<0．18.已知关于x的不等式2kx2+kx−38<x<1}，求实数k的值；(1)若不等式的解集为{x|−32(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．19.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a2，a3，a4+1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．n(a n+2)20.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知|BF|的最小值与最大值之和为4，且离心率e=√22，抛物线x2=2py的通径为4．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设坐标原点为O，A为直线y=kx与已知抛物线在第一象限内的交点，且有OA⊥OB．①试用k表示A，B两点坐标；②是否存在过A，B两点的直线l，使得线段AB的中点在y轴上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．(1)求证：AC1//平面CDB1；(2)求二面角B−B1C−D的余弦值．22.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，原点到直线xa+yb=1的距离为2√52．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左顶点A做两条互相垂直的直线，分别与椭圆交于P、Q两点，求证直线PQ过定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于基础题．通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式．，解：由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为a n=n2n−1故选D．2.答案：C解析：解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x02−1≤0，故选：C根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：∵P=√a+√a+3>0，Q=√a+1+√a+2>0，∴P2=2a+3+2√a2+3a，Q2=2a+3+2√a2+3a+2，∵a>0，∴√a2+3a<√a2+3a+2，∴P2<Q2，∴P<Q，故选：B．先平方，再比较，即可得到大小关系．本题考查了利用平方法比较大小的方法，属于基础题．4.答案：A本题主要考查了不等式的概念和不等式的性质问题，属于基础题；利用不等式的性质一一判定下列选项即可得解．解：对于A ，因为a >b ，a ，b ，c ∈R ，可得a +c >b +c ，故 A 项一定成立；对于B ，当c =0时，ac =bc ，故B 项不一定成立；对于C ，当c =0时，ac =bc ，故C 项不一定成立；对于D ，当a =1>b =−2时，那么a 2=1，b 2=4，则a 2<b 2，故D 项不一定成立；故选A ．5.答案：C解析：本题主要考查双曲线的渐近线方程的计算，为基础题．化简双曲线渐近线的方程，由a 与b 关系即可求解．解：双曲线渐近线的方程可转化为y =±3x 2，所以b a =32，又因为b =3，所以a =2，故选C ． 6.答案：B解析：解：抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得p =1，故选B ．利用抛物线的标准方程可得p =1，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键． 7.答案：C解析：本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，属于基础题．由BN =NC ，可得ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，由OM =2MA ，可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求解：∵BN =NC ，∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵OM =2MA ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗=−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ． 故选C ．8.答案：D解析：解：S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=143．故选：D ．本题考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 9.答案：D解析：解：A.命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是“若a <b ，则am 2<bm 2”，对于逆命题，取m =0时不成立；B .设a ⃗ ,b ⃗ 是向量，命题“若a ⃗ =−b ⃗ ，则|a ⃗ |=|b ⃗ |”的否命题是“若a ⃗ ≠−b ⃗ ，则|a ⃗ |≠|b ⃗ |”是假命题，若向量a ⃗ 、b ⃗ 的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有|a ⃗ |≠|b ⃗ |，故其逆命题是假命题；C .只要p 、q 中有一个为真命题，则pVq 即为真命题．由此可知：C 为假命题；D .根据：全称命题p ：“∃x 0∈M ，p(x 0)”的否定￢p 为：“∀x ∈M ，￢p(x)”可知：D 正确． 综上可知：正确答案为：D ．故选D ．要否定一个命题只要举出反例即可：对于A 、B 、C 可举出反例；D 根据全称命题p ：“∃x 0∈M ，p(x 0)”的否定￢p 为：“∀x ∈M ，￢p(x)”即可判断出正确与否．掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．10.答案：B解析：本题考查充要条件的判定及椭圆的标准方程，属于基础题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆的标准方程即可判断．解：若方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆，则{5−m>0 m+3>05−m≠m+3,所以{m<5 m>−3 m≠1,即−3<m<5且m≠1．所以“−3<m<5”是“方程x25−m +y2m+3=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．11.答案：B解析：本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等比数列通项公式求出公比为−4，由此利用等比数列前n项和公式能求出前3项和．解：等比数列{a n}中，a1=−1，a4=64，∴a4=−1×q3=64，解得q=−4，∴数列{a n}前3项和S3=−1×[1−(−4)3]1+4=−13．故选：B．12.答案：A解析：本题考查了双曲线定义的应用，双曲线的离心率．首先根据圆与双曲线的方程的交点，确定三角形的各角的大小，进一步确定各边长，从而确定双曲线的离心率．解：∵圆x2+y2=a2+b2，即x2+y2=c2，∴该圆半径为c，经过点F1(−c,0)，F2(c,0)，∵点P是双曲线x2a2−y2b2=1与圆x2+y2=a2+b2的交点，∴△PF1F2为直角三角形，且|OP|=12|F1F2|=c，又∠PF2F1=2∠PF1F2，∴∠PF2F1=60°，∠PF1F2=30°，∴F1F2=2c，PF2=c，PF1=√3c，则2a=√3c−c，∴e=2c2a =√3−1=√3+1，故选A．13.答案：{x|x<−2或x>3}解析：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．不等式2x−1x+2>1，即x−3x+2>0，即(x−3)(x+2)>0，由此求得它的解集．解：∵2x−1x+2>1，∴2x−1x+2−1>0，即x−3x+2>0，∴(x−3)(x+2)>0，解得x<−2或x>3，故不等式的解集为{x|x<−2或x>3}，故答案为{x|x<−2或x>3}．14.答案：−9解析：本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．利用平面的法向量与平面平行向量垂直，数量积为0求解．解：∵l⊥α，∴u⃗⊥v⃗，∴(1,−3,z)·(3,−2,1)=0，即3+6+z=0，∴z=−9．故答案为−9．15.答案：9解析：解：∵1a +4b=1，且a>0，b>0，∴a+b=(a+b)(1a +4b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值为9．故选：9．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．16.答案：300解析：本题考查解三角形的应用，考查正弦定理，属于中档题．首先在Rt△AMD中，算出AM=MDsin45∘=200√2m，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC= 200√3m，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200m，∴AM=MD∘=200√2m.∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA =200√2×√32√22=200√3(m)，在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200√3×√32=300(m)．故答案为300．17.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵(a−b+c)(a−b−c)=(√3−2)ab，∴(a−b)2−c2=(√3−2)ab，可得：a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =√32，又∵C ∈(0,π)， ∴C =π6…6分(2)∵c =3，△ABC 的周长为9， ∴可得：a +b =6， 又a 2+b 2−c 2=√3ab ， ∴(a +b)2−9=(2+√3)ab ，∴36−9=(2+√3)ab ，解得：ab =27(2−√3)， ∴S △ABC =12absinC =12×27(2−√3)×12=27(2−√3)4…12分解析：(1)化简已知等式可得a 2+b 2−c 2=√3ab ，由余弦定理可得cosC =√32，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值．(2)由已知可求a +b =6，利用余弦定理可求ab 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)若关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为(−32,1)，则−32和1是2kx 2+kx −38=0的两个实数根，由韦达定理可得−32×1=−382k，求得k =18．(2)若关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0解集为R ，则k =0，或{2k <0△=k 2+3k <0，求得k =0或−3<k <0， 故实数k 的取值范围为(−3,0]．解析：本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与对应的二次函数的关系，属于基础题．(1)由题意可得−32和1是2kx 2+kx −38=0的两个实数根，由韦达定理求得k 的值． (2)由题意可得k =0，或{2k <0△=k 2+3k <0，由此求得k 的范围．19.答案：解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1=2且a 2，a 3，a 4+1成等比数列，得(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=−1或d=2．当d=−1时，a3=0，这与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．所以d=2，所以a n=a1+(n−1)d=2n，即数列{a n}的通项公式为a n=2n，(n∈N∗).(2)由(1)得b n=2n(2+a n)=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S n=b1+b2+⋯+b n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．解析：本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设数列{a n}的公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项；(2)由(1)得b n=2n(2+a n)=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n−1n+1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．20.答案：解：(1)B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，|BF|的最小值与最大值之和为4，∴a+c+a−c=4，∴a=2．∵e=ca =√22，∴c=√2，∴b2=a2−b2=2，∴椭圆方程为x24+y22=1．抛物线x2=2py的通径为4，∴2p=4，抛物线的方程为x2=4y．(2)①设直线OA 方程为y =kx ，显然k >0，将直线OA 与抛物线联立：{y =kx x 2=4y 得x =4k ，y =4k 2，∴A(4k,4k 2)，(k >0)， ∵OA ⊥OB ，∴设直线OB 方程为y =−1k x ，将直线OB 与椭圆联立：{y =−1kx x 24+y 22=1得y 2=4k 2+2，当y >0时，y =√k 2+2，x =√k 2+2，∴√k 2+2√k 2+2)(k >0)， 当y <0时，y =2，x =√k 2+2，∴B(√k 2+2√k 2+2)(k >0)， 综上A(4k,4k 2)，22)或(22)(k >0)． ②当y >0时，√k 2+2√k 2+2)， ∵AB 的中点在y 轴上， ∴4k −√k 2+2=0，即4k 2+7=0，此时方程无解，当y <0时，B(√k 2+2√k 2+2)， ∴4k +√k 2+2=0，即2√k 2+2+1=0，此时方程无解，综上可知，不存在这样的直线l ，使得AB 的中点在y 轴上．解析：本题考查了椭圆方程的几何性质和直线与抛物线和直线和椭圆的交点坐标，考查了运算能力，属于中档题．(1)根据|BF|的最小值与最大值之和为4，可求出a =2，再根据离心率求出c ，再求得b 2=a 2−b 2=2，则椭圆方程可得，根据抛物线x 2=2py 的通径为4，可得2p =4，即可求出抛物线方程．(2)①设直线OA 方程为y =kx ，与抛物线方程联立，解得即可求出点A 的坐标，根据设直线OB 方程为y =−1k x ，将直线OB 与椭圆联立，解得即可求出点B 的坐标，②根据①的结论，利用线段AB 的中点在y 轴上，若求出k 的值，在存在，否则不存在．21.答案：证明：(1)以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：其中A(2,0，0)，C 1(0,0，2)，C(0,0，0)， D(1,1，0)，B 1(0,2，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，设平面CDB 1的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0, 取x =1，得n⃗ =(1,−1,1)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2+2=0， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， 又AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1．解：(2)平面CDB 1的法向量n ⃗ =(1,−1,1)， 平面BB 1C 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设二面角B −B 1C −D 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， ∴二面角B −B 1C −D 的余弦值为√33．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC 1//平面CDB 1；(2)求出平面CDB 1的法向量和平面BB 1C 的法向量，利用向量法能求出二面角B −B 1C −D 的余弦值．22.答案：解：(1)由题意知：c a =√32，22=2√52，得a =2，b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1;(2)∵A(−2,0)，当PQ 斜率不存在时，设直线AP ：y =x +2，联立{x 24+y 2=1y =x +2得5x 2+16x +12=0，x P x A =125，x P =−65,y P =45，∴x Q =65,y Q =−45， ∴PQ 过定点(−65,0)；当PQ 斜率存在时，设直线PQ:y =kx +m ，P (x 1y 1),Q (x 2,y 2)，联立{x 24+y 2=1y =kx +m，得(1+4k 2)x 2+8mkx +4m 2−4=0，△=(8mk )2−4(4m 2−4)(1+4k 2)=16(4k 2+1−m 2)>0，∴4k 2+1>m 2， x 1+x 2=−8mk1+4k 2,x 1x 2=4m 2−41+4k 2，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2+x 1,y 1)(−2+x 2,y 2)=(−2+x 1)(−2+x 2)+(kx 1+m )(kx 2+m ) =x 1x 2(1+k 2)+(mk −2)(x 1+x 2)+m 2+4=(1+k 2)4m 2−41+4k 2+(mk −2)−8mk 1+4k 2+m 2+4=0，∴12k 2+16mk +5m 2=0,∴(2k +m )(6k +5m )=0，m =−2k 或m =−65k ， 当m =−2k 时，PQ:y =k(x +2)，此时P 或Q 与A 重合，不合题意，故舍去； 当m =−65k 时，PQ ：y =k (x +65)，此时PQ 过定点(−65,0)， ∴综上有直线PQ 过定点，其坐标为(−65,0)．解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由已知可得a=2，b=1，从而可求出椭圆C的方程；(2)讨论PQ斜率是否存在两种情况，设此时PQ的方程，联立椭圆方程，从而可判断出PQ是否存在定点．。