第三章 第三节扭转
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学第五版第三章分解
(3)计算应力：AC段横截面边缘处
外 AC IT P 1D 27.91 5 1 9 8 0 9 0.01 3 5.5 7 MPa
CB段横截面内、外边缘处切应力分别为：
内 CBITP2
d 199
2 6.38108
0.0131.2MPa
外 CBITP2
D 199 2 6.38108
0.01546.8MPa
P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩
图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M 1 ( 9 .5 1 5 3 3 5 0 ) N 0 0 m 1 0 0 .9 1 5 3 N 0 m 1 .9 k 5 m N M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N 5 0 m 4 0 0 . 7 1 3 8 N 0 m 4 . 7 k 8 m N M 4 ( 9 .5 1 5 3 3 2 0 ) N 0 0 m 0 0 6 .3 1 7 3 N 0 m 6 .3 k 7 m N
第二节 薄壁圆筒的扭转
2 实验后： ① 圆周线不变
② 纵向线变成螺旋线
3 结果： ① 圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截 面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不 变，满足平面假设。
② 各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度γ
③ 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形
例 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2m 2m 1m 3m
6kN·m
4kN·m
2kN·m
解：
Ⅰ—Ⅰ截面
m0
外 AC IT P 1D 27.91 5 1 9 8 0 9 0.01 3 5.5 7 MPa
CB段横截面内、外边缘处切应力分别为：
内 CBITP2
d 199
2 6.38108
0.0131.2MPa
外 CBITP2
D 199 2 6.38108
0.01546.8MPa
P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩
图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M 1 ( 9 .5 1 5 3 3 5 0 ) N 0 0 m 1 0 0 .9 1 5 3 N 0 m 1 .9 k 5 m N M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N 5 0 m 4 0 0 . 7 1 3 8 N 0 m 4 . 7 k 8 m N M 4 ( 9 .5 1 5 3 3 2 0 ) N 0 0 m 0 0 6 .3 1 7 3 N 0 m 6 .3 k 7 m N
第二节 薄壁圆筒的扭转
2 实验后： ① 圆周线不变
② 纵向线变成螺旋线
3 结果： ① 圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截 面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不 变，满足平面假设。
② 各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度γ
③ 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形
例 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2m 2m 1m 3m
6kN·m
4kN·m
2kN·m
解：
Ⅰ—Ⅰ截面
m0
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
03扭转zws PPT课件
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
对AB段：
A1
B
C
Mx0: T1MeA0
T 1M eA35 N m 0
MeA T1
33
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
例 1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350N·m，
MeB=1000N·m， MeC=650N·m。作此轴的扭矩图。
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
2
对AB段： T135N 0m
A1
B2
C
对BC段： T265N 0 m
2.作扭矩图
350 N. m
T
+
T 65N 0m max
-
650 N. m
35
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
例题4-2
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
36
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
11
§3-2、薄壁圆筒的扭转及截面上的应力计算
③ 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变成平行四
边形，而每个直角都改变了相同的角度，这种直角 的改变量称为切应变。这种切应变是由切应力引起的， 因此在横截面的圆周上各点的切应力是相等的，
又由于t<<R0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。
m0
m0
20
§3-2、薄壁圆筒的扭转及截面上的应力计算
3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的T－φ 图
T
Tb
Ts
φ O 实验表明：当扭矩不超过某个极限时，扭矩T与圆筒最右端截面 相对于支座的转角φ 成正比（该比例关系和圆筒长度L，厚度t， 平均半径R0 ，以及材料本身的特性有关）。
第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类
12
挤压面积的计算
d
挤压力
t Fbs
Abs=td
bs
Fbs Abs
计算挤压面
①挤压面为平面，计算挤压面就是该面
②挤压面为弧面，取受力面对半径的投 影面
13
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
14
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
A
A向
B向
B
注意：实际挤压面 是半圆柱
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
挤压力计算 面 积 Abs
剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
m1
m4
n
A
B
C
D
T
– –
4.78
6.37
x
9.56
38
§3.2.3 扭转时内力的计算
39
§3-3 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
1、实验观察和假设推论
40
41
实验现象：
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。
理论力学 第三章扭转07.8.28
侧边平行。
τ max
=T Wt
=
T β b3
=
3×103 0.346× 0.063
= 40.14×106 Pa =
40.14MPa
2.横截面短边中点处的切应力：τ =ντ max = 0.858× 40.14 = 34.44MPa
3.的单位长度扭转角：
-4-
第三章
扭转习题答案
ϕ′ = T = T =
解：1.扭矩图
2.切应力强度条件
AB段：
τ AE
=
TAE Wp
=
π
16 ×18000 × 0.143(1− (100 /140)4 )
= 45.2MPa < [τ ]
T图 （kN.m）
14 ⊕
CB段：τ CB
= TCB Wp
= 16×14000 π × 0.13
= 71.3MPa < [τ ]
18
3.刚度条件
/ m) ×1800
/π
= 0.460 / m < [ϕ′] ,所以轴的强度和刚度安全
3-20 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作 用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已知材料的切变 模量为G。 解：杆内积蓄的应变能
∫ Vε =
l (mx)2 dx = m2l3 = 16m2l3 0 2GI p 6GI p 3Gπ d 4
( 3 16T )2
πd2
=
d2
=
π[τ ]
= (1− 0.84 )2/3 = 1.95
π D2 (1− 0.82 )
D2 (1− 0.82 )
(3
π
16T (1− 0.84 )[τ
)2 (1− ]
03扭转
Me m T (x) x
第三章 扭转
Me
m
Me
Me
T
−M e
8
受扭杆件内力计算的例题
例3： ： 如图杆件，已知转速n=100r/min，输入功率 A=40kW， 如图杆件，已知转速 ，输入功率P ， 输出功率P 输出功率 B=PC=20kW，试绘制扭矩图。 ，试绘制扭矩图。 解： d A 1. 计算外力偶： 计算外力偶： B
T >0 T >0
T <0
T <0
第三章
扭转
4
受扭杆件内力计算的例题
M 例1： ： 如图杆件，已知M。 如图杆件，已知 。 试绘制扭矩图。 试绘制扭矩图。 注意： 注意： 图中各力偶都是外力偶； 图中各力偶都是外力偶； 各外力偶也可以用矢量表示： 各外力偶也可以用矢量表示： M M M 4M 2M
第三章
扭转
扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 非圆截面杆扭转的概念 扭转超静定
第三章
扭转
1
第一节
扭转的概念和实例
γ ϕ
Me
扭转是杆件的基本变形之一。 扭转是杆件的基本变形之一。 M e 是杆件的基本变形之一
A
受力特点： 受力特点： 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用， 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用，这些力 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 变形特点： 变形特点： 横截面绕轴线旋转， 横截面绕轴线旋转，两截面间的相对角位移称扭转 角φ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线，与变形前 ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线， 平行于轴线）的夹角称为剪切角γ。 （平行于轴线）的夹角称为剪切角c'
第三章 扭转
Me
m
Me
Me
T
−M e
8
受扭杆件内力计算的例题
例3： ： 如图杆件，已知转速n=100r/min，输入功率 A=40kW， 如图杆件，已知转速 ，输入功率P ， 输出功率P 输出功率 B=PC=20kW，试绘制扭矩图。 ，试绘制扭矩图。 解： d A 1. 计算外力偶： 计算外力偶： B
T >0 T >0
T <0
T <0
第三章
扭转
4
受扭杆件内力计算的例题
M 例1： ： 如图杆件，已知M。 如图杆件，已知 。 试绘制扭矩图。 试绘制扭矩图。 注意： 注意： 图中各力偶都是外力偶； 图中各力偶都是外力偶； 各外力偶也可以用矢量表示： 各外力偶也可以用矢量表示： M M M 4M 2M
第三章
扭转
扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 非圆截面杆扭转的概念 扭转超静定
第三章
扭转
1
第一节
扭转的概念和实例
γ ϕ
Me
扭转是杆件的基本变形之一。 扭转是杆件的基本变形之一。 M e 是杆件的基本变形之一
A
受力特点： 受力特点： 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用， 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用，这些力 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 变形特点： 变形特点： 横截面绕轴线旋转， 横截面绕轴线旋转，两截面间的相对角位移称扭转 角φ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线，与变形前 ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线， 平行于轴线）的夹角称为剪切角γ。 （平行于轴线）的夹角称为剪切角c'
材料力学-扭转ppt课件
´
a
b
dy
´
c
d
T
①无正应力 dx
②横截面上各点处只产生垂直于半径
的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小
不变，. 方向与该截面的扭矩方向一19 致。
二、薄壁圆筒剪应力
根据实验观测的结果，圆轴截面
上应力应该如右图分布:
且扭矩T应该是截面上所有剪切
力对圆心的矩的总和。因此有
T
AdAr0 T
r0 AdAr02r0tT
由 m 0 x
m2 1 m3 2
T1
A1 B2
m1 3 m4
x
C 3D
分别有
T1m2 0 T1m2 4.78kNm
.
13
②求扭矩（扭矩按正方向设）
利用截面法: 分别用1-1 ， m2
2-2 ， 3-3截面将AB ， BC与CD段截开,选研究 对象，画受力图：
由 m 0 x
A
m3 2 m1
T2
.
21
四、薄壁圆筒扭转变形
L
A
A'
在圆轴截面上 AA' R
在圆轴表面上 AA' L
RL
.
22
五、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系:
.
23
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
薄壁圆筒横截面
T T 2 r02 t 2A0 t
扭转剪应力的计
算公式
其中A0：平均半径所作.圆的面积。
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研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。
剪应力互等定理：
物体内任一点处 于相互垂直的截面上 ，剪应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。
Mn
Mn
t
t At c
t′
A dx
t dy
t′
dx
A的平衡？
SMC(F)=tdxdy-tdydx=0
10.3.1 圆轴扭转的应力公式
1. 变形几何条件
变形前
变形后
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。 Mn
A
g g
C
r
df O C D df r D
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：
研究思路：
变形几何条件
g rd /dx
---(1) ---(2) ---(3)
+
材料物理关系
d t r Ggr Gr dx
d G dx
+
静力平衡关系
r 2 dA Mn
A
Mn r tr Ir
圆轴扭转剪应力公式： 且由(2)、(4)可知 单位扭转角为：
---(4)
---(5)
例3-1 传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入 功率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别 为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 9 / 23 n 700
Mn /GIr=const. , 故有：
AB Mn L/ GIr
GI r称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
26 若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 / 23
例10-2 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
半径为r处的剪应力则为：
g
d t r Gg r Gr dx
圆轴扭转时 无正应力
15 / 23
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
t max
tr
A B g r
r o
MT
r
d --(3) t r Gg r Gr dx
r 圆轴几何及MT给定，df/dx为 常数；G是材料常数。 截面上任一点的剪应力与该点 到轴心的距离r成正比； 剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。 对半径为r的其它各处，可 作类似的分析。 13 / 23
B
dx
对半径为r的其它各处， 作类似的分析。 Mn
r A B gr C df C D O D
同样有： CC= gdx=rdf r 即得变形几何条件为：
gr
g rd / dx
Mn 图
Mn /kN.m C B A 1.64 3.28 D 2.18
11 / 23
§10-3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
静力平衡条件
+ 变形几何条件 + 材料物理关系
刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。 / 23 12
2.18 A D
M n3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
Mn 图
1.64 3.28
M n 3280 N m
10 / 23
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
+ 向 按右手法确定
--(1)
dx
剪应变g的大小与半径 r成正比。与单位扭转 角df /dx成正比。
14 / 23
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。 在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg
--(2)
t
G G 11 O
ts
G是t-g曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。
A
dA
r
dr
抗扭截面模量 W r =I r/r 讨论内径d，外径D的空心圆 截面，取微面积 dA=2prdr, 则有： 极惯 性矩 I r 2p
D/ 2 d /2
o
d D
r 3d r
p (D 4 - d 4 )
32
pD 4
32
a=d/D
-a 4) (1
抗扭截面模量： Wr I r /( D / 2 ) p D 3( 1-a 4 ) / 16
t=t
24 / 23
纯剪应力状态: 微元各面只有剪应力作用。
s
t A c
t′
s45
t dy
t′
A dx
t c
45
t45
t
s
dx
纯剪应力 状态等价于转 过45后微元的 二向等值拉压 应力状态。
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由 解得： s45=-t；t45=0。 此拉应力控制的。 还有：s-45=t； t-45=0 25 / 23
解: 1) 画扭矩图。
f24
MA
f18
MB
MC
C
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A
1000
B
1000
t max1
M n1 M n1 p D13 d Wr 1 [1 ] 16 D1
3
Mn /N.m 150
100 B C
27 / 23
150 10 16 3 4 80.8MPa 24 p [1 - (18 / 24) ]
16 / 23
gr
C t r df C O DM n D
最大剪应力在圆轴 dx 表面处。
3. 力的平衡关系
d --(3) t r Gg r Gr dx
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
t max
tr
tr
dA
取微面积如图，有：
r o
19 / 23
圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
空 心 圆 轴 极惯 性矩 实 心 圆 轴
-a 4 4 (11 - a ) ) (
o d D
o
D
Ir I
r
p D 44 pD
32
32
a=d/D=0 Ir 32 Wr
p D4
pD3
16
20 / 23
抗扭截 p D3 Wr ( 1- a 4 ) 面模量 16
简捷画法：
FN图（轴力）
2kN 8kN
Mn 图 10kN m 10kN m o A x C
5kN
5kN
2kN
B 20kN m + 向 按右手法确定
20
8kN
5kN
+向
5kN
M n / kN m
+
3kN
10 5kN
FN 图
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 8 / 23
1 / 23
§3-1 扭转的概念和实例
工程构件分类:
杆
板
y x z
块体
杆的基本变形:
轴向拉压
扭
转
弯 曲
2 / 23
研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
M0
y
作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程: SMx=0
传动轴
fAB x M0
z
变形前
汽车转向轴 变形后
变形特征：相对扭转角 fAB 圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
ts/n tb/n
(延) (脆)
smax =[s]=
s max FN / A [s ]
[t]与[s]之关系：
t max Mn / Wr [t ]
[t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性)
[t]=0.8~1.0[s] (铸铁，脆性) 29 / 23
2.刚度条件
单位统一为 /m， 则有： 扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏； o Mn 180 [ ] q max q 另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作 p GI r （弧度转换为角度） ，即还须满足刚度条件。
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
剪应力互等定理：
物体内任一点处 于相互垂直的截面上 ，剪应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。
Mn
Mn
t
t At c
t′
A dx
t dy
t′
dx
A的平衡？
SMC(F)=tdxdy-tdydx=0
10.3.1 圆轴扭转的应力公式
1. 变形几何条件
变形前
变形后
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。 Mn
A
g g
C
r
df O C D df r D
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：
研究思路：
变形几何条件
g rd /dx
---(1) ---(2) ---(3)
+
材料物理关系
d t r Ggr Gr dx
d G dx
+
静力平衡关系
r 2 dA Mn
A
Mn r tr Ir
圆轴扭转剪应力公式： 且由(2)、(4)可知 单位扭转角为：
---(4)
---(5)
例3-1 传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入 功率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别 为PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 9 / 23 n 700
Mn /GIr=const. , 故有：
AB Mn L/ GIr
GI r称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
26 若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 / 23
例10-2 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
半径为r处的剪应力则为：
g
d t r Gg r Gr dx
圆轴扭转时 无正应力
15 / 23
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
t max
tr
A B g r
r o
MT
r
d --(3) t r Gg r Gr dx
r 圆轴几何及MT给定，df/dx为 常数；G是材料常数。 截面上任一点的剪应力与该点 到轴心的距离r成正比； 剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。 对半径为r的其它各处，可 作类似的分析。 13 / 23
B
dx
对半径为r的其它各处， 作类似的分析。 Mn
r A B gr C df C D O D
同样有： CC= gdx=rdf r 即得变形几何条件为：
gr
g rd / dx
Mn 图
Mn /kN.m C B A 1.64 3.28 D 2.18
11 / 23
§10-3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
静力平衡条件
+ 变形几何条件 + 材料物理关系
刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。 / 23 12
2.18 A D
M n3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
Mn 图
1.64 3.28
M n 3280 N m
10 / 23
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
+ 向 按右手法确定
--(1)
dx
剪应变g的大小与半径 r成正比。与单位扭转 角df /dx成正比。
14 / 23
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。 在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg
--(2)
t
G G 11 O
ts
G是t-g曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。
A
dA
r
dr
抗扭截面模量 W r =I r/r 讨论内径d，外径D的空心圆 截面，取微面积 dA=2prdr, 则有： 极惯 性矩 I r 2p
D/ 2 d /2
o
d D
r 3d r
p (D 4 - d 4 )
32
pD 4
32
a=d/D
-a 4) (1
抗扭截面模量： Wr I r /( D / 2 ) p D 3( 1-a 4 ) / 16
t=t
24 / 23
纯剪应力状态: 微元各面只有剪应力作用。
s
t A c
t′
s45
t dy
t′
A dx
t c
45
t45
t
s
dx
纯剪应力 状态等价于转 过45后微元的 二向等值拉压 应力状态。
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由 解得： s45=-t；t45=0。 此拉应力控制的。 还有：s-45=t； t-45=0 25 / 23
解: 1) 画扭矩图。
f24
MA
f18
MB
MC
C
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A
1000
B
1000
t max1
M n1 M n1 p D13 d Wr 1 [1 ] 16 D1
3
Mn /N.m 150
100 B C
27 / 23
150 10 16 3 4 80.8MPa 24 p [1 - (18 / 24) ]
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gr
C t r df C O DM n D
最大剪应力在圆轴 dx 表面处。
3. 力的平衡关系
d --(3) t r Gg r Gr dx
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
t max
tr
tr
dA
取微面积如图，有：
r o
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圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
空 心 圆 轴 极惯 性矩 实 心 圆 轴
-a 4 4 (11 - a ) ) (
o d D
o
D
Ir I
r
p D 44 pD
32
32
a=d/D=0 Ir 32 Wr
p D4
pD3
16
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抗扭截 p D3 Wr ( 1- a 4 ) 面模量 16
简捷画法：
FN图（轴力）
2kN 8kN
Mn 图 10kN m 10kN m o A x C
5kN
5kN
2kN
B 20kN m + 向 按右手法确定
20
8kN
5kN
+向
5kN
M n / kN m
+
3kN
10 5kN
FN 图
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 8 / 23
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§3-1 扭转的概念和实例
工程构件分类:
杆
板
y x z
块体
杆的基本变形:
轴向拉压
扭
转
弯 曲
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研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
M0
y
作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程: SMx=0
传动轴
fAB x M0
z
变形前
汽车转向轴 变形后
变形特征：相对扭转角 fAB 圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
ts/n tb/n
(延) (脆)
smax =[s]=
s max FN / A [s ]
[t]与[s]之关系：
t max Mn / Wr [t ]
[t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性)
[t]=0.8~1.0[s] (铸铁，脆性) 29 / 23
2.刚度条件
单位统一为 /m， 则有： 扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏； o Mn 180 [ ] q max q 另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作 p GI r （弧度转换为角度） ，即还须满足刚度条件。
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m