第三章 扭转
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第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
结构力学第三章-扭转
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
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变形几何关系 a
GG d dx dx b
T d
T
E A O1
( d / 2) d dx
E A
D D'
G G'
O2 d
O1
dx
G
D
a
d
O2
D'
b
G'
dx
d dx
GG d tan EG dx
26
扭转圆轴沿轴线单位长度的扭转角
2. 杆表面上的纵向线变成螺旋线。 杆件扭转时，任意两横截面间相对转过的角度，称为两 截面的相对扭转角，用φAB 表示。
4
§3-2 薄壁圆筒的扭转
r0 的圆筒，可假定其 薄壁圆筒 ——通常指 10
Me
应力沿壁厚方向均匀分布 Me n r0 T Me n
n
l
n
内力偶矩——扭矩T
T Me
5
2
§3-1 概 述
工程上的轴是承受扭转变形的典型构件。
若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分 量，则这种受力形式称为纯扭转。
汽车中的转向轴
机器中的传动轴
3
外力作用特点：
圆截面直杆受到一对大 小相等、转向相反、作 用面垂直于杆的轴线的 外力偶作用 变形特点：
1. 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；
24
§3-4
等直圆杆在扭转时的应力和变形计算
受扭后表面变形有以下规律：
(1) 各圆周线绕轴线相对转动一 微小转角，但大小，形状及相互 间距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地 倾斜一个微小角度γ ，认为仍为直 线；因而各小方格变形后成为菱 形。
1.平面假设及变形几何关系
Me
Me
平面假设：变形前横截面为圆 形平面，变形后仍为圆形平面 ，只是各截面绕轴线相对“刚 性地”转了一个角度。 25
引入记号
A
dA
2
d M T dx GI p
I p 2 dA
A
WT
Ip R
MT Ip
d MT G G dx GI p
max
MT R MT Ip Ip / R
max
MT WT
29
小 结
静力方程
A
( dA) M T
薄壁圆筒受扭时变形情况：
Me
A B D C
Me
A1 A B1 B
D
D' C C' 切应变
D1 D1' C1 C1'
表面正方格子倾斜的角度—
直角的改变量 圆筒两端截面之间相对转过
的圆心角
相对扭转角 即 r / l
6
r l tan l
表面变形特点及分析：
3
D 4
Ip
D 4
(1 )
4
3 I p R02 dA 2R0 t
扭转圆轴的应力计算和变形计算 画轴的扭矩图 确定可能的危险截面 极惯性矩和抗扭截面模量的计算 计算危险（最大）点应力 求出最大剪应力 计算最大单位长度扭转角 计算两截面相对扭转角
I p 2 dA W A T
物理方程 G 几何方程
d M T dx GI p
变形计算公式 扭转刚度 应力计算公式 最大应力公式 抗扭截面模量
d dx
max
MT Ip MT WT
I p 2 dA
A
WT
Ip R
30
结 论
圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的
极坐标呈比例 横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比
横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚
度成反比
31
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模 量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭 时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布， 有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请 判断哪一种是正确的。
圆周线只是绕圆筒轴
线转动，其形状、大 小、间距不变；
Me
A B D C
Me
——横截面在变形前后都保持为形状、大小未改 变的平面，没有正应力产生 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。 ——横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向 均匀分布
7
薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析： Me
A B D C
（对车轴而言是外力矩）
18
2. 扭矩(Torque)
M0
扭矩大小可利用截面法来确定。
M0
取左边部分
MT
外力偶
内力偶
外力偶
M0
假想切面
由平衡方程
MT M 0
平衡
19
MT是横截面上的内力偶矩，称为扭矩。
扭矩的符号规定
MT MT
扭矩矢量指向(大拇指） 与 截面的外法线方向一致
正
MT
扭矩矢量指向(大拇指） 与 截面的外法线方向相反
b
'
c
13
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应
力是否正确。
10 kN 20 kN
30kN 50kN
10 kN 20 kN
50kN 30kN 30kN
14
§3-3 传动轴的外力偶矩. 扭矩及扭矩图
1．外力偶矩m的计算 如图所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是 通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。 如轴在m作用下匀速转动φ角，则 力偶做功为W=mφ，由功率定义
N m 9549 n
（N· m）
式中： N—传递功率（千瓦，kW）；n—转速（r/min）。
如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 N· m/s，则有
N m 7024 n
（N· m）
17
例如：富康AX轿车额定功率65kW，在4500转时平稳 （N与n无关）输出扭矩
N 65 M 0 9549 9549 137.9( N m) n 4500
M 0 Fx 0
12
切应力互等定理 y
'
a dy
单元体的两个相互垂直的截面 上，与该两个面的交线垂直的
O ' dx
d
切应力数值相等，且均指向
c x
(或背离) 两截面的交线。
z
b
单元体在其两对互相垂直的平 面上只有切应力而无正应力的 状态称为纯剪切应力状态。
a
'
d
Ip R
max
负
按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与
截面的外法线方向一致者为正，反之为负。
20
扭矩图
10kN m 10kN m
10kN m
M T 10kN m MT MT
M T / kN m
10
20kN m
20
M T 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐 标表示扭矩值，得到扭矩随截面位置而变化的扭矩图。
W 1000 N
单位为N· m
由于二者作的功应该相等，则有
N 1000 2n m / 60
当轴平稳转动时，作用在轴上的外力偶矩与传递的功率和转 速间的关系为 N
m 9549
n
( N m)
式中： N—传递功率（千瓦，kW）；n—转速（r/min）。16
外力偶矩与传递的功率和转速间的关系
A
A 2πr0
得
r0
T T r0 A 2πr02
9
剪切胡克定律 Me
A B D C
Me
由前述推导可知
r0 / l
T 2πr02
薄壁圆筒的扭转实验曲线
10
即 p时
G
这就是剪切胡克定律 其中：G——材料的切变模量 p——剪切屈服极限
E G 对各向同性材料，弹性常数 E, , G 三者有关系 21
11
钢材的切变模量值约为：G 80GPa
单元体· 切应力互等定理 单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面 y a
从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面 Me Me 体
'
dy
d x d z
d
O ' dx
c
d yd z
x
F
y
z
0
自动满足 存在'
z
b
d y d z d x d x d z d y 得
Me
Me
n
r0 n
x
பைடு நூலகம்
1、横截面上无正应力； 2、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布； 3、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布 。
8
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式： 静力学条件 切应力相等
A
d A r0 T
Me
n
因薄壁圆环横截面上各点处的
dA
r0 n
x
T r0 d A r0 A
分别取截面分析 CA段 BC段
M T 1 1640 N m
AD段
1
M T 2 3280 N m