结构力学第三章-扭转
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材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
工力03节扭转
将如何变化？
1-1
2-2
mB
mC
n T1
mB
1210
-1590
n T2
x
x
-2800
-1590
§3-3 薄壁圆筒的扭转
横截面上的应力:
直观判断：每点的τ垂直半径，方向顺着T 的转向。Τ沿截面均布。合力矩为T:
2
T R0 ds 2 R02 •
0
R0 10
T
2tR2
A
C
A' C'
B
D
B' D'
GIp
Ip
D4
32
T 180o
G
,D
4
32
T 180
G
49mm
D=59 或60mm
作业
3-9,3-14 3-17,3-20,
作业
3-1, 3-4, 3-5, 3-6,
第三章 扭 转
3-1 与 3-2 概述与内力计算
1. 扭转的概念
受扭转杆件的力学模型为:
m
m
模型的特征：1) 构件多为等直圆截面；
2) 外力偶的作用面与杆件轴线垂直；
3) 横截面之间绕杆件的轴线产生相对角位移。 具有上述特征的变形称为扭转变形。 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴”。 横截面之间的相对角位移，称为扭转角。
τ = G. γ
剪切虎克定律
• 通过实验得到，单元体受剪后，也将发生 变形，这一变形叫剪切变形。用 表示。
• 剪应力和剪应变之间的关系 —— 剪切虎克 定律
• = G G：剪切弹性模量，量纲同E。
G E ,
2(1 )
由进一步的理论 分析可得上式.
船舶结构力学-3杆件扭转理论
杆件应变能
➢ 例1（EA，EI，GAs）
P l1
l2
➢ 例2（不考虑剪力影响）
EA l
EI
P
l
l/2
3-2虚位移原理与李兹法理
虚位移原理 真实力系在任意满足变形协调条件的虚位移过程中 做功的情况，等价于平衡条件
虚力原理 任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移过程中做 功的情况，等价于变形协调条件
第三章 能量法
3-1 能量法基本概念 3-2虚位移原理与李兹法
3-1能量法基本概念
力法，位移法（解析法，初参数） 功能的概念求解结构
➢ 结构的平衡与变形连续条件
能量法（变形能法 变分法（数学上），有限元 功能关系
➢ 弹性体在外载作用下，外力功转变为变形（应变）能，外力 卸变形恢复
➢ 非线性（几何非线性，材料非线性），在外载作用下，外力 功转变为变形（应变）能
应变能(变形能)：
➢ 拉杆为例： A, l, , , P
1
P A ， l ，则应变能V W Al d
1
0
单位体积应变能 V0 d ，为左图中应力应
变曲线下面积应变能0密度（比能）
➢ 三维弹性体空间应力状态:
T
x
y
z
xy
yz
zx
T
x
y
z
xy
yz
zx
待定系数的偏导为０）
基函数只须满足位移边界条件
若结构仅在i处发生一单位虚位移δΔｉ＝１，则有
Pi 1 T 0d
｛ε０｝是由单位虚位移引起的虚应变。 可应用于单刚矩阵计算。
位能驻值原理的近似解法
近似解法，应用范围广 李兹法：利用位能驻值原理将变分问题看作包含有有限
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
ch3扭转-2013
材料力学
第三章 扭 转
Torsion
§3-1 概念与实例 Concepts and Examples
圆轴shaft: 传 动轴，动力轴，通 常为圆截面直杆。 受力及变形的基本 情况如图:
受力情况:
受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力 偶作用（其矩相等，转向相反）。
变形情况:
任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有 相对角位移，称为扭转角Twisting angle。
• 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
3.2.2 Torque---Internal forces of
二、扭矩图 Torque Figure
Torsion snhaft ·Torque IFIigure
按扭矩沿轴线的变化所作的内力图——扭矩图
求Torque的基本方法: 截面法——(注意用设正法)
P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。 试作轴的扭矩图。
解:首先按公式(3－4a)计算外
力偶矩(图a)
m1
9.55 P1 n
9.55 500 300
15.9kNm
m2
m3
9.55 P2 n
9.55 150 300
4.78k Nm
m4
9.55 P4 n
9.55 200 300
6.37k Nm
为正号。
这样，就可以使得按左
段杆和右段杆的平衡条件所 得到的同一截面上的扭矩在 正负号上相一致。
T1 5m
同理 : T m1 6m T m4 3m
为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最 大扭矩及其所在横截面的位置，可仿照轴力图的作法(参见§2-2) 绘制扭矩图。
第三章 扭 转
Torsion
§3-1 概念与实例 Concepts and Examples
圆轴shaft: 传 动轴，动力轴，通 常为圆截面直杆。 受力及变形的基本 情况如图:
受力情况:
受一对作用在垂直于杆轴的两个平面内的力 偶作用（其矩相等，转向相反）。
变形情况:
任意两横截面绕杆轴线作相对转动，因而有 相对角位移，称为扭转角Twisting angle。
• 扭矩及扭矩图 Torque and Torque Figure
3.2.2 Torque---Internal forces of
二、扭矩图 Torque Figure
Torsion snhaft ·Torque IFIigure
按扭矩沿轴线的变化所作的内力图——扭矩图
求Torque的基本方法: 截面法——(注意用设正法)
P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW。 试作轴的扭矩图。
解:首先按公式(3－4a)计算外
力偶矩(图a)
m1
9.55 P1 n
9.55 500 300
15.9kNm
m2
m3
9.55 P2 n
9.55 150 300
4.78k Nm
m4
9.55 P4 n
9.55 200 300
6.37k Nm
为正号。
这样，就可以使得按左
段杆和右段杆的平衡条件所 得到的同一截面上的扭矩在 正负号上相一致。
T1 5m
同理 : T m1 6m T m4 3m
为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最 大扭矩及其所在横截面的位置，可仿照轴力图的作法(参见§2-2) 绘制扭矩图。
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
河海大学材料力学第三章 扭转
3、静力学方面
d G dx
x
r
(a )
τdA
令
dx A I p 2dA 截面极惯性矩 长度4 . A
d Mx dx GI p 代入（ a）式
d A G dx dA M x d 2 G dA M x
2
dA M
A
——切应力互等定理
过一点的相互垂直的两个截面上，垂直于 两截面交线的切应力大小相等，且同时指向或 背离此交线。
§3-4 圆杆扭转时的变形 及超静定问题
一、扭转变形
d M x 单位长度的相对扭转角： dx GI p
Mx d dx GI p
Mx d dx l 0 GI p
τ1
横截面 τ τ
τmax
b
h
τ
T
2、切应力和单位长度扭转角的计算公式
τ1
长边中点： max
WT b3
Mx WT
τmax
b
h
α—— 查表 γ—— 查表
短边中点：τ1=γτmax
Mx 单位长度扭转角： GIT
IT =βb4， β—— 查表
3、对狭长矩形截面（m = h / ≥10)
I Ti W Ti
Mx I i T
Mx 1 max 3 3 hi i
max
∴ 横截面上最大切应力发生在 厚度δi 最大的狭 长矩形的长 度边中点处。
例：两薄壁钢管。（a）为闭口薄壁截面；（b） 为开口薄壁截面。设它们的平均直径D0和厚度δ均相同， 且δ / D0= 1 / 10，试求在相同的外力偶矩作用下，哪种 截面形式较好。
16
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
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- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T GI p dx
P2
D d
P3
P1 n
P4
A
B
C
D
解：由扭矩图，可知 Tmax 9.56KN .m
T
– 4.78 – 9.56
3 1 D 15 WP （ 1 4） （ 1 ( ) 4） 16 16 2 16 16
6.37
x
D3
D3
IP
D 4
（ 1 ） 32 32 16
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：m4
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
d 2 0
O
d
d4
32
d1
D2 d 2
解：
WP1
d
3 1
16
WP 2
D3 2
16
（ 1 4）
带入最大切应力公式：
可得：
max
T WP
T T WP1 WP 2 16T 3 D2 (1 4 ) D2 1.194 d1
即： 16T 3
d1
两轴重量比即为横截面积比
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
Tmax [ ] WP
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
可知：长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
Tl GI p
0
T dx GI p
(若T值不变）
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
4
D 4 15
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 [ ] D 3 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 3 [ ] D 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
Tmax 180 [ ] GI P
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
Ip T
max
② 设计截面尺寸：
G[ ]
③ 计算许可载荷：
T
max
GI p [ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制 成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力 [ ] =40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角 [ ] 0.3 (/m) 。 试根据强度与刚度条件选择轴的半径。
B
C
D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 ,
T1 M 2 0
M2
1
M3
2
M1
3
M4
2、斜截面上的应力
´
´
x
´
η
转角规定：
x
´
轴正向转至截面外法线
ξ 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
F 0 ; dA (dAcos )sin ( dAsin )cos 0 F 0 ; dA (dAcos )cos ( dAsin )sin 0
1 D 4 G (1 4 ) [ ] 32 125.5 103 m 125.5m m Tmax 180
由刚度条件
综合强度条件与刚度条件可知
D 125 .5mm
§3–6 等直圆杆在扭转时的应变能
一、 应变能与应变能密度
单元体微功：
y a dy
T1 M 2 4.78kN m
A 1 B 2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 0 , T2 M 2 M 3 பைடு நூலகம்(4.78 4.78) 9.56kN m T3 M 4 0 , T3 M 4 6.37kN m
③绘制扭矩图
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴：
max [ ]
Tmax [ ] WP
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
max
③ 计算许可载荷：
3 实： D 16 Tmax 3 WP WP D 4 [ ] 空： （ 1 ） 16 Tmax WP [ ]
1 1 dW (dzdy) ( dx ) dV 2 2
´
b
c z
´
dx
应变能密度 ： x
d
dz
dV dW 1 dV dxdydz 2
2 1 G 2 2 2G
等直圆杆在扭转时应变能
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
T
– – 9.56
6.37
x
4.78
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面 一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
GG d tg dx dx
A
E
D D
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离 成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
剪切胡克定律：
G
二、单位长度扭转角[ ] ：
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
或
d T 180 dx GI p
三、刚度条件
max
max
T GI p
(rad/m)
(/m)
或
T 180 GI p
[ ]称为许用单位长度扭转角。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T GI p dx
P2
D d
P3
P1 n
P4
A
B
C
D
解：由扭矩图，可知 Tmax 9.56KN .m
T
– 4.78 – 9.56
3 1 D 15 WP （ 1 4） （ 1 ( ) 4） 16 16 2 16 16
6.37
x
D3
D3
IP
D 4
（ 1 ） 32 32 16
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：m4
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
d 2 0
O
d
d4
32
d1
D2 d 2
解：
WP1
d
3 1
16
WP 2
D3 2
16
（ 1 4）
带入最大切应力公式：
可得：
max
T WP
T T WP1 WP 2 16T 3 D2 (1 4 ) D2 1.194 d1
即： 16T 3
d1
两轴重量比即为横截面积比
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
Tmax [ ] WP
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
可知：长为 l 的一段杆两截面间相对扭转角 为
l
d
Tl GI p
0
T dx GI p
(若T值不变）
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
4
D 4 15
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 [ ] D 3 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
由强度条件
Tmax 16Tmax 3 3 [ ] D 109 10 m 4 WP (1 )[ ]
Tmax 180 [ ] GI P
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
Ip T
max
② 设计截面尺寸：
G[ ]
③ 计算许可载荷：
T
max
GI p [ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。该轴由45号钢制 成，为空心圆截面，内、外半径比为0.5，钢的许用切应力 [ ] =40Mpa,切变模量G=80Gpa,许可单位扭转角 [ ] 0.3 (/m) 。 试根据强度与刚度条件选择轴的半径。
B
C
D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 ,
T1 M 2 0
M2
1
M3
2
M1
3
M4
2、斜截面上的应力
´
´
x
´
η
转角规定：
x
´
轴正向转至截面外法线
ξ 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
F 0 ; dA (dAcos )sin ( dAsin )cos 0 F 0 ; dA (dAcos )cos ( dAsin )sin 0
1 D 4 G (1 4 ) [ ] 32 125.5 103 m 125.5m m Tmax 180
由刚度条件
综合强度条件与刚度条件可知
D 125 .5mm
§3–6 等直圆杆在扭转时的应变能
一、 应变能与应变能密度
单元体微功：
y a dy
T1 M 2 4.78kN m
A 1 B 2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 0 , T2 M 2 M 3 பைடு நூலகம்(4.78 4.78) 9.56kN m T3 M 4 0 , T3 M 4 6.37kN m
③绘制扭矩图
四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴：
max [ ]
Tmax [ ] WP
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
max
③ 计算许可载荷：
3 实： D 16 Tmax 3 WP WP D 4 [ ] 空： （ 1 ） 16 Tmax WP [ ]
1 1 dW (dzdy) ( dx ) dV 2 2
´
b
c z
´
dx
应变能密度 ： x
d
dz
dV dW 1 dV dxdydz 2
2 1 G 2 2 2G
等直圆杆在扭转时应变能
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
T
– – 9.56
6.37
x
4.78
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面 一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
GG d tg dx dx
A
E
D D
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离 成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
剪切胡克定律：
G
二、单位长度扭转角[ ] ：
d T dx GI p
(rad/m)
(/m)
或
d T 180 dx GI p
三、刚度条件
max
max
T GI p
(rad/m)
(/m)
或
T 180 GI p
[ ]称为许用单位长度扭转角。