材料力学第三章 扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
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B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
G
d
dx
3.静力学方面
切向内力对o的的矩为： dA
G
G
d
dx
dA
O
T A dA
A
G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，
D＝90mm，δ＝2.5mm。
Me 1.5kN.m
Me 1.5kN.m
试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；
(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同
的实心圆轴，重量之比为多少?
解：(1)最大切应力
A
B
精确值
1,max
T WP1
1.5 103 903(1 0.944 ) 109
单元体直角的改变量γ称为切应变
单位为弧度（rad）
d
a
ds
´
c
dx
b
d
与切应变相对应，单元体左、右两个面 上必有切应力τ。
单元体
切应力分布规律
（1）因为沿圆周方向所有单元
体的切应变γ是相同的，所以圆 周各点处的切应力τ应相等，而
方向垂直于半径。（因为剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
（2）又因壁很薄，又可近似 的
称为圆截面的极惯性矩
则有
T
GI p
d
dx
或
d
dx
T GI p
带入（b）式，得
T
Ip
（3-8） （3-9）
T
Ip
max
TR IP
T IP
R
令： I P
R
WP
则:
max
T
WP
（3-9）
T max
0
R
称为圆截面的扭转截面系数
（3-11）
注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。
0.01m
31.2 106
Pa
31.2
MPa
例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m， M2=4kN.m， M3=1.5kN.m，
G=80GPa
求： C截面相对于A截面的扭转角 AC
解：（1）计算扭矩
T1 M1 2.5kN m
M1 75 M 2 50 M3
T2 M3 1.5k N m
转向
MA
9549 PA n
9549 60 300
1.91103 N m
1.91kN m
A
B
C
D
MB
9549
PB n
9549 120 300
3.82103
N m
3.82kN m
MA
MB
MC
MD
MC
9549 PC n
9549 360 11.46103 300
N m
A
B
C
D
11.46kN m
MA
得：T3 M A MB MC 5.73kN m
MB
MC
T3
A
B
C
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
3.绘扭矩图
T1 1.91kN m T2 5.73kN m T3 5.73kN m
表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。
上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
三、塑性材料在纯剪切时的力学性能
由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某 一范围之内时，扭转角φ和外力偶矩Me成线性关系。
T
0
T
0
T
0
二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算
基本公式: I p A 2dA
WP
IP R
实心轴 ：
IP
2dA
d 2
2
2d
d
4
0
32
A
WP
IP R
Ip d2
d3
16
空心轴 ：
IP 2dA A
D
2 d
2
2
2 d
(D4 32
d
4
)
D4 (1 4 )
32
WP
IP R
D3
16
(1 4 )
其中 d
D
d
o dA
d
d
o dA
d D
三、扭转角
d T (x) dx
GI p
相距为l的两个横截面的相对 扭转角为
l T (x) dx
0 GI p
（3-16）（普遍式）
对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、 IP均为常量，故有
T
l
dx
Tl
任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
扭转实例：
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图
一、功率、转速和力偶矩之间的关系 主动轮 转向 从动轮
设某传动轴,其传递的功率为P(kW),
转速为n（r／min）
A
B
功率在1分钟做功：
Me
A
Me
第三章 扭转
目录
§3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-6 矩形截面杆的扭转 §3-7 圆杆的极限扭矩
§3-1 概述
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行
四边形。
因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的
转动视为横截面的转动，任意两个横
a
截面相对转动的角度称为相对扭转角。
a1
ab cd
由于相邻横截面的距离未变，圆周 线长度也未变，故单元体沿x和s方 向均无线应变，从而可知杆的横截 面和径截面上均无正应力。
单元体左、右两个面发生了相对错 动，因错动而倾斜的角度，也就是
1.几何方面
R
•
dx
R
•
dx
（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，
只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上
所有矩形均变成平行四边形。
（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、 形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平 面一样绕轴线作相对转动。
MD
9549 PD n
9549 180 5.73103 300
N m
5.73kN m
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
2.计算扭矩
1-1截面
l R
a
a1
R
l
（3-3）
式中R为外半径，对于薄成顺时针转向力偶，其矩为
( dzdy)dx
组成逆时针转向力偶，其矩为
( dzdx)dy
a
dy
´
c
Mz 0 ( dzdx)dy ( dzdy)dx 0z
dx
´
b
d dz
得
（3-4）（切应力互等定理）
求：AC段、CB段的最大和最小切应力。
T
BC,max
WP 2
Me
199N m
0.033
1
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
G
d
dx
3.静力学方面
切向内力对o的的矩为： dA
G
G
d
dx
dA
O
T A dA
A
G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，
D＝90mm，δ＝2.5mm。
Me 1.5kN.m
Me 1.5kN.m
试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；
(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同
的实心圆轴，重量之比为多少?
解：(1)最大切应力
A
B
精确值
1,max
T WP1
1.5 103 903(1 0.944 ) 109
单元体直角的改变量γ称为切应变
单位为弧度（rad）
d
a
ds
´
c
dx
b
d
与切应变相对应，单元体左、右两个面 上必有切应力τ。
单元体
切应力分布规律
（1）因为沿圆周方向所有单元
体的切应变γ是相同的，所以圆 周各点处的切应力τ应相等，而
方向垂直于半径。（因为剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
（2）又因壁很薄，又可近似 的
称为圆截面的极惯性矩
则有
T
GI p
d
dx
或
d
dx
T GI p
带入（b）式，得
T
Ip
（3-8） （3-9）
T
Ip
max
TR IP
T IP
R
令： I P
R
WP
则:
max
T
WP
（3-9）
T max
0
R
称为圆截面的扭转截面系数
（3-11）
注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。
0.01m
31.2 106
Pa
31.2
MPa
例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m， M2=4kN.m， M3=1.5kN.m，
G=80GPa
求： C截面相对于A截面的扭转角 AC
解：（1）计算扭矩
T1 M1 2.5kN m
M1 75 M 2 50 M3
T2 M3 1.5k N m
转向
MA
9549 PA n
9549 60 300
1.91103 N m
1.91kN m
A
B
C
D
MB
9549
PB n
9549 120 300
3.82103
N m
3.82kN m
MA
MB
MC
MD
MC
9549 PC n
9549 360 11.46103 300
N m
A
B
C
D
11.46kN m
MA
得：T3 M A MB MC 5.73kN m
MB
MC
T3
A
B
C
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
3.绘扭矩图
T1 1.91kN m T2 5.73kN m T3 5.73kN m
表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。
上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
三、塑性材料在纯剪切时的力学性能
由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某 一范围之内时，扭转角φ和外力偶矩Me成线性关系。
T
0
T
0
T
0
二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算
基本公式: I p A 2dA
WP
IP R
实心轴 ：
IP
2dA
d 2
2
2d
d
4
0
32
A
WP
IP R
Ip d2
d3
16
空心轴 ：
IP 2dA A
D
2 d
2
2
2 d
(D4 32
d
4
)
D4 (1 4 )
32
WP
IP R
D3
16
(1 4 )
其中 d
D
d
o dA
d
d
o dA
d D
三、扭转角
d T (x) dx
GI p
相距为l的两个横截面的相对 扭转角为
l T (x) dx
0 GI p
（3-16）（普遍式）
对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、 IP均为常量，故有
T
l
dx
Tl
任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
扭转实例：
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图
一、功率、转速和力偶矩之间的关系 主动轮 转向 从动轮
设某传动轴,其传递的功率为P(kW),
转速为n（r／min）
A
B
功率在1分钟做功：
Me
A
Me
第三章 扭转
目录
§3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-6 矩形截面杆的扭转 §3-7 圆杆的极限扭矩
§3-1 概述
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行
四边形。
因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的
转动视为横截面的转动，任意两个横
a
截面相对转动的角度称为相对扭转角。
a1
ab cd
由于相邻横截面的距离未变，圆周 线长度也未变，故单元体沿x和s方 向均无线应变，从而可知杆的横截 面和径截面上均无正应力。
单元体左、右两个面发生了相对错 动，因错动而倾斜的角度，也就是
1.几何方面
R
•
dx
R
•
dx
（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，
只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上
所有矩形均变成平行四边形。
（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、 形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平 面一样绕轴线作相对转动。
MD
9549 PD n
9549 180 5.73103 300
N m
5.73kN m
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
2.计算扭矩
1-1截面
l R
a
a1
R
l
（3-3）
式中R为外半径，对于薄成顺时针转向力偶，其矩为
( dzdy)dx
组成逆时针转向力偶，其矩为
( dzdx)dy
a
dy
´
c
Mz 0 ( dzdx)dy ( dzdy)dx 0z
dx
´
b
d dz
得
（3-4）（切应力互等定理）
求：AC段、CB段的最大和最小切应力。
T
BC,max
WP 2
Me
199N m
0.033
1