第三章扭转
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第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
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二、扭转外力偶矩的计算
当已知传递功率和 转数时可用下式换算：
P M e 9549 n
( N· ） m 式中：P 为传递的功率，单位 kW
n 为每分钟转数，单位 rpm（r/min=转/分） Me 为相当外扭转力偶矩，单位 N· m
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Me2
1、 横截面变形后仍为平面； 且形状、大小、间距都不
变。称为平面假设;
2、轴向无伸缩； 3、纵向线变形后仍为平行。
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DD d tan dx dx
a T
O1
b T
O2 D D'
d dx
A
a
d
dx
b
距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
答：（D）
面积 A2=4A1 ，则直径D2=2D1 ，许可载 荷与轴直径的立方成正比。
Tmax Wp [ ]
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§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、扭转变形
1、单位长度扭转角
d T dx GI p
rad/m
材料力学
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2、相对扭转角
d —— 扭转角沿长度方向的变化率。 dx 称为单位长度扭转角。
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二、 物理关系
胡克定律：
代入上式得：
d G G dx
G
T
d G dx
切应力在横截 面上的分布为
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三、静力学关系
r0 AdA r0 2 r0 d T
T T 2 2 r0 d 2 A 0 d
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二、切应力互等定理
a dy
´
b
Mz 0
d dxdy d dxdy
= G
式中：
p—剪切比例极限
G —剪切弹性模量 单位：GPa 钢材 G = 80 GPa
E G 2 1
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§3.4
等直杆扭转时的应力和强度
考虑三方面
①变形几何关系
等直圆杆横截面应力 一、变形几何关系
②物理关系
③静力学关系
等直圆杆扭转实验观察：
上式称为切应力互等定理。
´
c z dx d
d
在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
三、剪切胡克定律
T A dA
2
T
dA
O d A G dA dx d 2 2 G A dA I p A dA 令 dx d T d T GI p dx dx GI p
代入物理 关系式 ：
材料力学
d G dx
得
T IP
D 1
3 2
4
d
3 1
1， 2， max max
已知
得
材料力学
0.8
D2 3 1 1.194 4 d1 1 0.8
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两轴的重量比
π 2 D2 d 22 D 2 1 2 W2 A2 4 2 2 π 2 W1 A1 d1 d1 4 2 2 1.194 1 0.8 0.512
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Ip A dA
2
称为横截面对圆心O点 的极惯性矩，单位:mm4。
四、最大切应力
在横截面周边各点 max =R 令
max
TR IP
r
Wp
T Wp
Ip R
称为抗扭 截面系数， 单位：mm3。
Nm
mm
3
max
材料力学
=10 MPa
3
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微段变形
a T
O1
d T dx GI p T d dx GI p
b
T
O2
A
a
D
D'
d
b
dx
GIp:称为抗扭 刚度，单位Nm2
材料力学
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相对扭转角
Me Me
T dx GI p l
当T是常数
Tl GI p
单位：rad
正负号：同扭矩T，正负号仅表示转向。
2、实验后 ①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距 均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 结 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 论 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四 边形。
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横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力 ，沿周向大 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 横截面上分布力的合成为扭矩
T（kN· m）
9.56
15.9
从受力角度看，显然主动轮的位置对轴的内力有 影响。应选择合理布置方式。
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§3.3
薄壁圆筒扭转
一、横截面上的切应力
薄壁圆筒——壁厚d远小于平均半径 r0。 1、实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。
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②计算并校核切应力强度
扭矩图略
max
T 1.592 10 23.6MPa [ ] 3 Wp 70 16
6
③此轴满足强度要求。
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实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8)的 材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴 横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两 轴的重量比。
T
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
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六、圆轴扭转强度条件
max
T W p max
①强度校核
公式仅适用于各向同性、 线弹性材料，在小变形 时的等截面圆直杆。
max
n
B C D
Me A MeB
PA 150 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
MeD
材料力学
PD 200 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
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②求扭矩（扭矩按正方向设）
MeA
1
MeB
MeC
MeD
2 n
l
l r0
材料力学
r0 l
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T=Me
通过扭转实验发现
T
l ( ) r0
( 2A0d )
剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限
时（ ≤ P )，切应力与切应变成正比关系。
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当 ≤ p 时
解决三 类问题
Tmax [ ] Wp
②截面设计 ③确定许可载荷
Tmax Wp [ ]
Tmax Wp [ ]
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等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力，第七章再研究。
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MeA
MeB
MeC
MeD
n
A B C D 6.37
T
（kN· m） 4.78 9.56
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若把主动轮C置于右端，则其扭矩图变为下面所示
MeA MeB MeC MeD
MeA MeB MeD MeC
A
B
C
6.37
D
A
4.78
B
D
C
4.78
9.56
3
MeA=4.78KN· m MeB=4.78KN· m MeC=15.9KN· m MeD= 6.37KN· m
A
1 B
2 C
3
D
T M e T1 M e A 4.78kN m
T2 M e A M e B 9.56kN m T3 M e D 6.37kN m
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四、扭矩图
表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
作扭矩图步骤 1、计算各段扭矩 2、作扭矩图 作内力图的要求 ① 标明内力性质 ② 正确画出内力沿杆轴分布规律 ③ 标明特殊截面的内力数值 ④ 标明正负号 ⑤ 注明单位(只在内力标志后面写一个）
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Ip
D 2 d 2
π 4 2 π d D d 4 32
3
O
πD 1 4 32 d 其中 D
4
D d
πD 4 d 4 πD 3 4 1 Wp D/2 16 D 16 Ip
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应力分布
T
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为什么矩形截面轴扭转时横截面 四个角点处切应力一定为零？
二、扭转外力偶矩的计算
当已知传递功率和 转数时可用下式换算：
P M e 9549 n
( N· ） m 式中：P 为传递的功率，单位 kW
n 为每分钟转数，单位 rpm（r/min=转/分） Me 为相当外扭转力偶矩，单位 N· m
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Me2
1、 横截面变形后仍为平面； 且形状、大小、间距都不
变。称为平面假设;
2、轴向无伸缩； 3、纵向线变形后仍为平行。
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DD d tan dx dx
a T
O1
b T
O2 D D'
d dx
A
a
d
dx
b
距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
答：（D）
面积 A2=4A1 ，则直径D2=2D1 ，许可载 荷与轴直径的立方成正比。
Tmax Wp [ ]
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§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、扭转变形
1、单位长度扭转角
d T dx GI p
rad/m
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2、相对扭转角
d —— 扭转角沿长度方向的变化率。 dx 称为单位长度扭转角。
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二、 物理关系
胡克定律：
代入上式得：
d G G dx
G
T
d G dx
切应力在横截 面上的分布为
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三、静力学关系
r0 AdA r0 2 r0 d T
T T 2 2 r0 d 2 A 0 d
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二、切应力互等定理
a dy
´
b
Mz 0
d dxdy d dxdy
= G
式中：
p—剪切比例极限
G —剪切弹性模量 单位：GPa 钢材 G = 80 GPa
E G 2 1
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§3.4
等直杆扭转时的应力和强度
考虑三方面
①变形几何关系
等直圆杆横截面应力 一、变形几何关系
②物理关系
③静力学关系
等直圆杆扭转实验观察：
上式称为切应力互等定理。
´
c z dx d
d
在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
三、剪切胡克定律
T A dA
2
T
dA
O d A G dA dx d 2 2 G A dA I p A dA 令 dx d T d T GI p dx dx GI p
代入物理 关系式 ：
材料力学
d G dx
得
T IP
D 1
3 2
4
d
3 1
1， 2， max max
已知
得
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0.8
D2 3 1 1.194 4 d1 1 0.8
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两轴的重量比
π 2 D2 d 22 D 2 1 2 W2 A2 4 2 2 π 2 W1 A1 d1 d1 4 2 2 1.194 1 0.8 0.512
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Ip A dA
2
称为横截面对圆心O点 的极惯性矩，单位:mm4。
四、最大切应力
在横截面周边各点 max =R 令
max
TR IP
r
Wp
T Wp
Ip R
称为抗扭 截面系数， 单位：mm3。
Nm
mm
3
max
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=10 MPa
3
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微段变形
a T
O1
d T dx GI p T d dx GI p
b
T
O2
A
a
D
D'
d
b
dx
GIp:称为抗扭 刚度，单位Nm2
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相对扭转角
Me Me
T dx GI p l
当T是常数
Tl GI p
单位：rad
正负号：同扭矩T，正负号仅表示转向。
2、实验后 ①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距 均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 结 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 论 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四 边形。
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横截面上各点处，只 产生垂直于半径的均匀分 布的切应力 ，沿周向大 小不变，方向与该截面的 扭矩方向一致。 横截面上分布力的合成为扭矩
T（kN· m）
9.56
15.9
从受力角度看，显然主动轮的位置对轴的内力有 影响。应选择合理布置方式。
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§3.3
薄壁圆筒扭转
一、横截面上的切应力
薄壁圆筒——壁厚d远小于平均半径 r0。 1、实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。
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②计算并校核切应力强度
扭矩图略
max
T 1.592 10 23.6MPa [ ] 3 Wp 70 16
6
③此轴满足强度要求。
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实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8)的 材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴 横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两 轴的重量比。
T
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
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六、圆轴扭转强度条件
max
T W p max
①强度校核
公式仅适用于各向同性、 线弹性材料，在小变形 时的等截面圆直杆。
max
n
B C D
Me A MeB
PA 150 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300
MeD
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PD 200 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
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②求扭矩（扭矩按正方向设）
MeA
1
MeB
MeC
MeD
2 n
l
l r0
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r0 l
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T=Me
通过扭转实验发现
T
l ( ) r0
( 2A0d )
剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限
时（ ≤ P )，切应力与切应变成正比关系。
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当 ≤ p 时
解决三 类问题
Tmax [ ] Wp
②截面设计 ③确定许可载荷
Tmax Wp [ ]
Tmax Wp [ ]
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等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力，第七章再研究。
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MeA
MeB
MeC
MeD
n
A B C D 6.37
T
（kN· m） 4.78 9.56
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若把主动轮C置于右端，则其扭矩图变为下面所示
MeA MeB MeC MeD
MeA MeB MeD MeC
A
B
C
6.37
D
A
4.78
B
D
C
4.78
9.56
3
MeA=4.78KN· m MeB=4.78KN· m MeC=15.9KN· m MeD= 6.37KN· m
A
1 B
2 C
3
D
T M e T1 M e A 4.78kN m
T2 M e A M e B 9.56kN m T3 M e D 6.37kN m
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四、扭矩图
表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
作扭矩图步骤 1、计算各段扭矩 2、作扭矩图 作内力图的要求 ① 标明内力性质 ② 正确画出内力沿杆轴分布规律 ③ 标明特殊截面的内力数值 ④ 标明正负号 ⑤ 注明单位(只在内力标志后面写一个）
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Ip
D 2 d 2
π 4 2 π d D d 4 32
3
O
πD 1 4 32 d 其中 D
4
D d
πD 4 d 4 πD 3 4 1 Wp D/2 16 D 16 Ip
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应力分布
T
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为什么矩形截面轴扭转时横截面 四个角点处切应力一定为零？