2019届人教A版(文科数学) 第3章 第3节 三角函数的图象与性质 单元测试
全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质课件共50页
【变式训练 1】 (1)函数 y＝ 2sinx－1的定义域为 ()
A.π6，56π B.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) C.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) D.kπ＋6π，kπ＋56π(k∈Z)
解析
由
2sinx－1≥0， 得
sinx≥
1 2
，
所
以
2kπ
＋
π 6
≤x≤2kπ＋56π(k∈Z)．
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周 期为 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝|ωπ|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距 离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝ Atanωx 的形式，而偶函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令 t＝sinx，或 t＝sinx±cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最 值)．
(3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化 为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所 换元的取值范围．
解析 对称中心的横坐标满足 2x＋π4＝kπ，解得 x＝－
π8＋k2π，k∈Z.当 k＝1 时，x＝38π，y＝1.故选 B.
5．[课本改编]函数 y＝tanπ4－x的定义域是(
人教A版高中数学必修一课件 《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
24
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
25
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数， 就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于 原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
23
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
【金版教程】届高考数学总复习 第3章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 新人教A版
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基
本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋
2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
3π 2
＋2kπ(k
∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应
先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行
(1)y＝cos(x＋π3)(x∈[0，π])的值域________． (2)y＝tan(4π－x)的单调递减区间__________.
1.f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正周期
想一想：提示：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)
＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．
____
________
________
____
y＝tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____
判断以下命题的正误． ①y＝sinx在第一象限是增函数．( ) ②y＝cosx在[0，π]上是减函数．( ) ③y＝tanx在定义域上为增函数．( ) ④y＝|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y＝ksinx＋1，x∈R则y的最大值为k＋1.( )
Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇
偶
奇
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋
π 2
，
0)，k∈Z
(
kπ 2
，0)，k∈Z
x＝kπ＋
π 2
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：5.4三角函数的图象与性质 3
最小正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是
()
A．π3，1
B．1π2，0
C．51π2，0
D．－1π2，0
【解析】 由题意可得2ωπ＝π，所以 ω＝2，
可得 f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线 x＝π3对称，
故 fπ3＝Asin23π＋φ＝±A， 故可取 φ＝－π6. 故函数 f(x)＝Asin2x－π6，令 2x－π6＝kπ，k∈Z， 可得 x＝k2π＋1π2，k∈Z，故函数的对称中心为k2π＋1π2，0，k∈Z. 所以函数 f(x)图象的一个对称中心是1π2，0. 【答案】 B
A．2
B．32
C．1
D．12
解析：选 A．依题意得函数 f(x)的最小正周期 T＝2ωπ＝2×(34π－π4)＝π，解得 ω＝2，选 A．
2．已知函数 f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是 A．f(x)的图象关于直线 x＝π2对称 B．f(x)的周期为π2 C．(π，0)是 f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间π4，π2上单调递减
()
解析：选 A．f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝12·|sin 2x|，则 fπ2＝12|sin π|＝0，则 f(x)
的图象不关于直线 x＝π2对称，故 A 错误；函数周期 T＝12×22π＝π2，故 B 正确；f(π)＝
1 2|sin
2π|＝0，则(π，0)是
∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)．对于 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可
以利用类似方法求解(注意 y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若 x1＝π4，x2＝34π是函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，
高中数学_三角函数的图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《三角函数的图象与性质》教学设计设计理念新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，注重以学生为主体，教师为主导的教学理念。
本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，引导学生通过实验手段，经历数学知识的建构过程，体验数学发现的喜悦，发展他们的创新意识。
倡导自主探究、动手实践等学习数学的方式，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究数学”，使学生的数学学习活动变的主动而富有个性。
教学分析本节倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图像变换和“五点作图法”来揭示参数φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响，正确找出函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的图象变换规律，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。
如何经过变换由正弦曲线来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢？通过对参数φ、ω、A 的分类讨论，让学生深刻认识到图像变换与函数解析式变换之间的内在联系，通过引导学生对由函数x y sin 到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三维目标一、知识与技能1.理解三个参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。
二、过程与方法1、通过学生经历对函数x y sin =的图象到)sin(A ϕω+=x y 的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；2、培养学生全面分析、抽象、概括的能力；培养学生研究问题和解决问题的能力。
三、情感态度与价值观1.通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；2. 在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思维方式；3. 在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
人教版高中数学A版高中数学必修一《三角函数的图象与性质》三角函数(第一课时正弦函数、余弦函数的图象)
■名师点拨 “五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、 最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数 图象最常用的方法．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝sin x 的图象向右平移π2个单位得到函数 y＝cos x 的图 象．( × ) (2)函数 y＝cos x 的图象关于 x 轴对称．( × ) (3)函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与函数 y＝cos x，x∈[0，2π] 的图象的形状完全一致．( × )
《三角函数的图象与性质》 三角函数(第一课时正弦函
数、余弦函数的图象)1 人教版高中数学A版高中数学必修 一
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功
感谢所有辛勤付出的人民教师
第五章 三角函数
考点
学习目标
了解利用正弦线作正
弦函数图象的方法， 正弦函数、余弦函数的
会用“五点法”画正 图象
弦函数、余弦函数的图
利用三角函数图象解 sin x>a (或 cos x>a)的三个步骤
(1)作出 y＝a，y＝sin x(或 y＝cos x)的图象． (2)确定 sin x＝a(或 cos x＝a)的 x 值． (3)确定 sin x>a(或 cos x>a)的解集． [注意] 解三角不等式 sin x>a，如果不限定范围时，一般先利 用图象求出 x∈[0，2π]范围内 x 的取值范围，然后根据终边相 同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
用“五点法”作三角函数的图象 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝12＋sin x，x∈[0，2π]； (2)y＝1－cos x，x∈[0，2π]．
人教A版高中数学必修一《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
1．设函数 f(x)＝sin(2x－π3)，则 f(x)的最小正周期为( )
A．π2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B.函数 f(x)＝sin(2x－π3)的最小正周期 T＝22π＝π，故选 B.
2．已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，则 a 等 于________． 解析：因为 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，所以 f(0)＝ sin 0－|a|＝0，所以 a＝0.
【解】 (1)令 z＝x＋π3， 因为 sin(2π＋z)＝sin z， 所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3， 所以 T＝2π.
(2)法一(定义法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3) ＝12cos(2x＋π3＋2π) ＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)， 即 f(x＋π)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π.
f(x)的最小正周期为
π，且当
x∈0，π2时，f(x)＝sin
x，则
5π
f
3
等于( )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3 ＝ 23. 【答案】 D
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f53π的值． 解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－ 23.
1．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0，
2)时，f(x)＝2x2，则 f(7)＝( )
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A 组 基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中 ∈ ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：πω6＋π6＝ π＋π2( ∈ )，∴ω＝6 ＋2( ∈ )，∴ωmin ＝2，故选B. 答案：B4．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ． x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12( ∈ ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12( ∈ ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12( ∈ ) D ⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3( ∈ ) 解析：由 π－π2<2x －π3< π＋π2( ∈ )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12( ∈ )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12( ∈ )． 答案：B6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5. 答案：B7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π， ∈ B.⎣⎡⎦⎤k π＋512π，k π＋1112π， ∈ C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6， ∈ D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋23π， ∈ 解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令π2＋2 π≤2x －π3≤3π2＋2 π， ∈ ，得 π＋512π≤x ≤ π＋1112π， ∈ .答案：B8．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B10．已知命题p ：函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈pD ．(綈p )∨q解析：函数f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，其图象关于y 轴对称，故命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题． 答案：B11.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论： ①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝⎛⎭⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎫x －π6为奇函数． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π， 则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确． 答案：D12．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)13．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________. 解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫|φ|<π2 为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋ π( ∈ )．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π414．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π6B 组 能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，对比选项，可知选D.答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤5π8，9π8 C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π8解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2 π，又∵|φ|<π， ∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由2 π＋π2≤2x ＋π4≤2 π＋3π2， ∈ ，得 π＋π8≤x ≤ π＋5π8， ∈ .当 ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎡⎦⎤π8，5π8. 答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0( ∈ )，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以πω6＝k π2( ∈ )，因此ω＝3 ( ∈ )．因为ω∈N *，所以当 ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．[6 π，6 π＋3]， ∈B ．[6 －3,6 ]， ∈C ．[6 ,6 ＋3]， ∈D ．[6 π－3,6 π]， ∈解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6 －3,6 ]， ∈ 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝( ) A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝ π( ∈ )，得x 0＝k π2－π12( ∈ )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12.答案：A6．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B. 答案：B7．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由 π≤x ＋π3≤π2＋ π( ∈ )，得－π3＋π≤x ≤π6＋ π( ∈ )，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π( ∈ )上单调递增；由π2＋ π≤x ＋π3≤π＋ π( ∈ )，得π6＋ π≤x ≤2π3＋ π( ∈ )，即f (x )在⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π( ∈ )上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确． 答案：B8．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案：C9．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－ 3 B ．－2 C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－2. 答案：B10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解析：由题图可知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， 则T ＝π，所以ω＝2， 则y ＝2sin(2x ＋φ)， 因为题图经过点⎝⎛⎭⎫π3，2， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 所以2π3＋φ＝2 π＋π2， ∈ ，即φ＝2 π－π6， ∈ ，当 ＝0时，φ＝－π6，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案：A11．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________． 解析：由2x ＋π4＝ π( ∈ )得，x ＝k π2－π8( ∈ )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0， ∈ .答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0， ∈12．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________． 解析：由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭⎫π3，0，由f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋23π＝712π. 记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π13．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的值域为________． 解析：函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝⎛⎭⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. 函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54；当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，5414．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________． 解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3。