4.1.1圆的标准方程。doc - 副本
中职数学 圆的标准方程
程，并判断点 M1(5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把M1(5,7) 的坐标代入方程(x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1 在这个圆上；
把点M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，M点2 的坐标不适合圆的方程，所以点M 2 不 在这个圆上．
点与圆的位置关系
怎样判断点 M0 (x0, y0 ) 在圆 (x a)2 ( y b)2 r2
内呢？圆上？还是在圆外呢？ M0
M0 O
O M0
O
点在圆内
点在圆上
点在圆外
| OM 0 | <r
| OM 0 | =r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (x0-a)2+(y0-b)2=r2
| OM 0 | >r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点与圆的位置关系
练习3.请判断点A(m, 4)与圆x2 + y2 =16的位置关 系是（ D ）
A、圆内
B、圆上
C、圆外
D、圆上或圆外
待定系数法
y P(3,4)
x O
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系
3.求圆的标准方程的方法：
4.1.1 圆的标准何定义圆的？
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
必修二4.1.1圆的标准方程
复习与作业： 复习与作业：
1.复习初中有关点与圆的位置关系 直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系 关系,圆与圆的位置关系有关内容 圆与圆的位置关系有关内容. 关系 圆与圆的位置关系有关内容 2.课本习题 课本习题4.1 A组第 、3题. 组第2、 题 课本习题 组第
得： 整理得： 整理得：
( x − 0) + ( y − 0) = r
2 2
2
x +y =r
2 2
2
典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的 方程， 方程，并判断点 M 1 (5,−7) ， M 2 ( − 5 ,−1) 是否在这 个圆上． 个圆上． 解：圆心是 A(2,−3) ，半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是： 方程是： 2 2
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为 的圆的方程是什么？ 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 因为圆心是原点 ， ＝ ， ＝ 和半径 带入圆的标准方程： 带入圆的标准方程：
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心 (a,b)之间的距离能 与圆心A 圆上任意点 与圆心 之间的距离能 用什么公式表示？ 用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 根据两点间距离公式： 则点M、 间的距离为 MA = 间的距离为： 则点 、A间的距离为： 即：
(x − a )2 + ( y − b )2 .
p ={M | M |= r} A
( x − a ) + ( y − b) = r
4.1.1 圆的标准方程
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
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典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
4.1.1圆的标准方程
2.求过点（0,1）和（0,3），半径等于1 的圆的方程。
x2+(y-2)2=1
典型例题
y 2 ，直线方程 为 y x b，当b为何值时，圆与直线有两个交 点？只有一个交点？没有交点？
2 2
例3：已知圆的方程是 x
分析：法一：代数法 法二：几何法
典例小结 直线与圆的位置关系：
圆心到直线距离为d，半径为r
( x a) 2 ( y b) 2 r 2
圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2 2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上？ 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上． 把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程.
3.点到直线的距离公式？
d
圆的方程
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径． 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用 坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离．
y M (x, y)
ห้องสมุดไป่ตู้
r O
A(a,b) x
3 x 3
2
y 6 10
2
课堂练习
1、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y
C（8、3） P（5、1） X
0
(x-8)2+(y-3)2=13
课堂练习
2、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
4.1.1 圆的标准方程(练习)(解析版)
4.1.1圆的标准方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．方程|x|－1＝1－(y－1)2所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆【答案】D[由题意，x|－1)2＋(y－1)2＝1，|－1≥0，－1)2＋(y－1)2＝1，≥1＋1)2＋(y－1)2＝1，≤－1，故原方程表示两个半圆．]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【答案】D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.选D.]3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5【答案】A[圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.]4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－∞，5)C．(0,5)D．[0,5]【答案】C[由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.]5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为()A ．2B ．1C ．3D ．2【答案】B[x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]二、填空题6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.【答案】±2[∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.]7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【答案】1＋2[圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]8．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________.∞，－32∪34，＋[y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.]三、解答题9．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．【答案】设圆心为(a,0)，则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)求BC 边中线所在直线截其外接圆的弦长．【答案】(1)设其外接圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为顶点在圆上，则：1－a )2＋(2－b )2＝r 2，－a )2＋(1－b )2＝r 2，－a )2＋(4－b )2＝r 2⇒a ＝1，b ＝3，r ＝5，所以△ABC 外接圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.(2)BC 的中点k AD ＝17，所以直线AD 为：x －7y ＋15＝0，圆心(1,3)到直线AD 的距离d ＝22，又因为半径为5，所以半弦长为＝322，所以弦长为3 2.提升篇1．点P x 2＋y 2＝1的位置关系是()A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．与t 有关【答案】C [把点P ＝1＋2t 2＋t 4(1＋t 2)2＝1.所以点P 在圆上．选C.]2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D [由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．]3．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．【答案】5＋2[由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．【答案】(x －2)2＋(y －1)2＝1[依题意设圆心坐标为(a,1)，则1＝|4a －3|5，又a ＞0，∴a ＝2.所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]5．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程.【答案】设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，8×1＋n 2－31＝0，＝4，＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。
4.1.1 圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
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4.1.1 圆的标准方程
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆
的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问
题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情
和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件r = ①
化简可得：222
()()x a y b r -+-= ②
引导学生自己证明222
()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，
并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外
（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上
（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
（教师板书解题过程。
）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标
准方程的两种求法：
①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本127p 第1、3、4题
提炼小结：
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题。