初二2 勾股定理应用
八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖3篇
1、八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖在教学工作者实际的教学活动中，时常需要准备好教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编整理的八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计范文，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一、教学任务分析勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点。
学习勾股定理极其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必然基础。
《数学课程标准》对勾股定理教学内容的要求是：1、在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念；2、在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力；3、经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性；4、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
本节《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》第３节、具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题、在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；有些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力、本节课的教学目标是：1、能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
2、经历实际问题抽象成数学问题的过程，学会选择适当的数学模型解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力并体会数学建模的思想、教学重点和难点：应用勾股定理及其逆定理解决实际问题是重点。
把实际问题化归成数学模型是难点。
二、教学设想根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时，在思维能力情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念，我想尽量给学生创设丰富的实际问题情境，使教学活动充满趣味性和吸引力，让他们在自主探究，合作交流中分析问题，建立数学模型，利用勾股定理及其逆定理解决问题。
勾股定理的应用及方法
勾股定理的应用及方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。
勾股定理的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。
下面我将介绍一些常见的勾股定理的应用及解题方法。
1. 求解三角形的边长和角度：勾股定理可以用于求解三角形的边长和角度。
当我们已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。
而已知两边长和夹角时，可以利用勾股定理计算出第三边长或者求解夹角的大小。
例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度：3²+ b²= 5²9 + b²= 25b²= 16b = 4同样地，已知直角三角形的两条直角边长度为3和4，可以利用勾股定理计算斜边的长度：3²+ 4²= c²9 + 16 = c²c²= 25c = 52. 解决实际问题：勾股定理也可以应用于解决实际问题。
例如，在测量中，我们经常需要通过已知的边长计算其他未知边长的问题。
有一道经典的应用题是“房子问题”：如果一个房子的两堵墙的长度分别为6米和8米，房子的对角线长度是多少？根据勾股定理可知，对角线的长度即斜边的长度c，可以通过勾股定理求解：6²+ 8²= c²36 + 64 = c²c²= 100c = 10因此，房子的对角线长度为10米。
3. 判断三角形的形状：勾股定理还可以用来判断三角形的形状。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。
例如，如果一个三角形的三条边长分别为3、4和5，我们可以通过勾股定理验证这个三角形是否为直角三角形：3²+ 4²= 5²9 + 16 = 2525 = 25由此可见，三角形的三条边满足勾股定理，所以这个三角形是一个直角三角形。
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用一、勾股定理在网格中的应用例1、已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n的式子表示)为＿.分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.二、勾般定理在最短距离中的应用例2、如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形问题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3、如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。
初二数学勾股定理的应用的知识点
初二数学勾股定理的应用的知识点
初二数学勾股定理的应用的知识点
勾股定理应用举例：
1、已知直角三角形的任意两边求第三边。
2、已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系。
3、证明包含平方（算术平方根）关系的.几何问题。
4、构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。
平面展开——最短路径问题求解方法：
解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得路径的长度。
由于展开的方法可以多种，因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。
1、勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数。
2、常见的勾股数有哪些：
（1）3，4，5
（2）6，8，10
（3）8，15，17
（4）7，24，25
（5）5，12，13
（6）9，12，15。
3、勾股数组的规律：
（1）如果a为一个大于1的奇数，b、c是两个连续自然数，且，则a，b，c为一组勾股数；
（2）如果a，b，c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数；。
勾股定理的应用举例与解题方法
勾股定理的应用举例与解题方法勾股定理是一条著名的数学定理，它在几何学和代数学中具有广泛的应用。
本文将通过举例和解题方法来探讨勾股定理的应用。
一、求解直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是求解直角三角形的边长。
直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
在这种三角形中，直角边即为斜边相对的两条边。
根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
举例1：已知一个直角三角形的一条直角边长度为5，另一条直角边长度为12，求斜边的长度。
解题方法：根据勾股定理可以得到：斜边的平方 = 直角边1的平方 + 直角边2的平方代入已知条件可得：斜边的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到斜边的长度为13。
因此，该直角三角形的斜边长度为13。
二、验证三条边是否构成直角三角形通过勾股定理，我们还可以验证三条边是否构成直角三角形。
举例2：已知三条边的长度分别为3、4、5，判断它们是否构成直角三角形。
解题方法：按照勾股定理，如果三条边的平方和等于斜边的平方，那么它们所构成的就是直角三角形。
代入已知条件可得：3² + 4² = 9 + 16 = 25而斜边的平方为5² = 25由此可见，两者相等，所以这三条边构成了直角三角形。
三、解决几何问题勾股定理不仅可以用于解决三角形问题，还可以应用于其他几何问题。
举例3：已知一个矩形的两条边长分别为5和12，求对角线的长度。
解题方法：由于矩形的对角线可以看作是直角三角形的斜边，我们可以利用勾股定理来求解。
根据勾股定理可以得到：对角线的平方 = 矩形的一条边长的平方 +矩形的另一条边长的平方代入已知条件可得：对角线的平方 = 5² + 12² = 25 + 144 = 169开方得到对角线的长度为13。
因此，该矩形的对角线长度为13。
四、应用于物理问题勾股定理还可以应用于物理问题的求解中。
举例4：一个投射角度为45度的物体以10 m/s的速度抛出，求物体在水平方向上的飞行距离。
八年级数学第二章复习第1课时 勾股定理、勾股定理的应用
八年级数学第二章复习第1课时 勾股定理、勾股定理的应用一、知识点：1、勾股定理：2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：二、典型例题：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。
求BC 边上的高AD 。
例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。
例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？边的长为多少？第二课时平方根、立方根一、知识点：1、什么叫做平方根？2、平方根的表示方法：3、平方根的性质：4、算术平方根：5、算术平方根的性质：6、什么叫做立方根？7、立方根的性质：二、举例：例1：填空题：⑴16的平方根是 ；25的平方根是 ；4916的平方根是 ； 2.56的平方根是 ；(-2)2的平方根是 ；210-的平方根是 。
勾股定理的实际应用案例
勾股定理的实际应用案例勾股定理是几何学中的一个重要定理，被广泛应用于解决直角三角形的相关问题。
它是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方和的关系，数学表达式为a² + b² = c²。
尽管勾股定理是一个简单的公式，但它在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
本文将介绍勾股定理的几个实际应用案例。
1. 建筑设计中的勾股定理应用勾股定理在建筑设计中被广泛应用于测量和规划。
例如，在设计一座房屋时，我们可以利用勾股定理来确保窗户与房屋的外墙垂直对称。
通过测量和应用勾股定理，建筑师可以确定窗户边缘与建筑结构的正确角度，确保窗户在视觉上的对称性，从而提高建筑的审美价值。
2. 导航系统中的勾股定理应用勾股定理在导航系统中也有着重要的应用。
例如，当我们使用GPS导航时，导航系统需要计算我们的位置和目标位置之间的距离。
在这个过程中，勾股定理被应用于计算两个地理坐标之间的直线距离，以确定最短路径和行驶时间。
这种应用使导航系统能够提供更准确的路线规划和导航指引。
3. 建构几何中的勾股定理应用勾股定理在建构几何中也有广泛的应用。
建构几何是指使用规定的工具和方法进行几何图形的精确绘制和测量。
在建构正方形、长方形和其他多边形时，勾股定理可用于确保图形的边缘长度和角度的准确度。
例如，在建设一个正方形时，我们可以利用勾股定理确保所有四个角都是直角，从而使得正方形的各边长度和角度相等。
4. 物理学中的勾股定理应用勾股定理在物理学中也有着重要的应用。
物理学家经常使用勾股定理来计算物体的位移和速度之间的关系。
当一个物体沿着直角路径运动时，我们可以利用勾股定理计算物体在任意时间点的位置和速度。
此应用在机械工程和运动学中非常常见，能够帮助科学家和工程师解决运动轨迹、速度和加速度相关的问题。
总结：勾股定理具有广泛的实际应用，不仅在数学和几何学中有重要作用，而且在建筑设计、导航系统、建构几何和物理学等领域也有着深远的影响。
利用勾股定理解决问题
利用勾股定理解决问题勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在本文中，我将通过举例和分析，向中学生及其父母介绍如何利用勾股定理解决问题。
一、求直角三角形的斜边长勾股定理的最常见应用就是求直角三角形的斜边长。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：a² + b² = c²。
例如，已知直角三角形的直角边分别为3和4，我们可以利用勾股定理求出斜边的长度。
根据关系式，我们有3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，进一步计算得到c² = 25，因此c = 5。
所以，该直角三角形的斜边长为5。
二、判断三条边长是否构成直角三角形利用勾股定理，我们还可以判断三条边长是否构成直角三角形。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边长满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
举个例子，假设有一个三角形，其三条边长分别为5、12和13。
我们可以利用勾股定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
根据关系式，我们有5² + 12² = 13²，即25 + 144 = 169，计算结果正确。
因此，这个三角形是直角三角形。
三、求直角三角形的边长比例利用勾股定理，我们还可以求解直角三角形的边长比例。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：a² + b² = c²。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为10，其中一条直角边长为6，我们可以利用勾股定理求解另一条直角边长。
根据关系式，我们有6² + b² = 10²，即36 + b²= 100，进一步计算得到b² = 64，因此b = 8。
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第二讲勾股定理的应用
一、知识回顾
1.1 勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222
+=．
a b c
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
1.2 勾股定理的逆定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形三边同时扩大/缩小相同倍数后，仍然为直角三角形。
1.3 勾股数
满足222
+=的三个正整数，称为勾股数．常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；
a b c
勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数。
二、勾股定理的应用：
2.1利用勾股定理求长度
利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直
角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边。
【例1】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能
到达小树和伙伴在一起？
【例2】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端为7米。
(1)这个梯子顶端离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
2.2 利用勾股定理求面积
利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关
系中去，有时还要注意整体思想的应用。
【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，
S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。
变式：将△ABC 外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？
如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆
的面积S 1、S 2、S 3之间的关系是
【例4】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【例5】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
2.3 勾股定理与方程结合：
如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。
【例6】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm ，将△ABC 折叠，使点
B 与点A 重合，折痕为DE ，求CD 的长。
【例7】 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB 所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和D 处．CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知A B =25km ，CA =15km ，DB =10km ，试问：阅览室E 应建在距A 多少㎞处，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？
三、勾股定理逆定理的应用：
3.1 判断垂直
【例8】木匠师傅做了一个门框，现在只有一把卷尺，如何确定门框4个角是否都为直角？
3.2 判断三角形形状
【例9】已知2212(13)10250x y z z -+-+-+=，试判断以,,x y z 为三边长的三角形的形状。
【例10】如果一个三角形的三边长,,a b c 满足222
200121620a b c a b c +++=++，试说明这个三角形是直角三角形。