高数2-6
大一高数课件第二章 2-6-1
x = a cos 3 t 例8 求由方程 表示的函数的二阶导数 . 3 y = a sin t
解
dy 3a sin 2 t cos t dy dt = − tan t = = 2 dx dx 3a cos t ( − sin t ) dt
dy′ d2y = dt 2 dx dx dt
dy dt
t = t0
= ( v0t cos α )′ t = t0 = v 0 cosα
t = t0
1 = (v 0 t sin α − gt 2 )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
∴ 在 t0时刻炮弹的速度为
2 v = v x + v 2 = v02 − 2v0 gt0 sinα + g 2 t 02 y
当t =
π
时, x = a ( − 1), y = a . 2 2
π
所求切线方程为
y − a = x − a( − 1) 2
π
即 y = x + a(2 − ) 2
π
例7
不计空气的阻力 , 以初速度 v 0 , 发射角 α 发射炮弹 , x = v 0 t cos α , 1 2 y v t sin α − gt , = 0 2
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 ′= [ ∴y + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
sin x ( x > 0), 求y′. 例5 设 y = x
解
等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x
上式两边对x 上式两边对 求导得
相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.
人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)
空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FH 12 CD，∴FH AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC .解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2:如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a ===∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC .ABCDE答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D5．若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案：D6.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是()A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11.(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D13.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：215.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）16.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.答案：(1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF . ∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
高数上复习题1-6章
高数上第一章 复习题1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→;(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;(3))1311(lim 31x x x ---→;(4)xx x 1sin lim 20→;(5)xx x arctan lim ∞→.(6)145lim1---→x x x x ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.(8)xx x sin ln lim 0→;(9)2)11(lim xx x +∞→;(10))1(lim 2x x x x -++∞→;(11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(12)30sin tan lim xx x x -→;2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .第二章 复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);(2) y =sin 2x ;(3)22x a y -=;(4)xx y ln 1ln 1+-=; (5)xx y 2sin =; (6)x y arcsin=; (7))ln(22x a x y ++=;(8)x x y +-=11arcsin.(9)x x y -+=11arctan ;(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(11))1ln(2x x e e y ++=;2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =(sinx)^n(2) y =x e x .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxy d.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :5. 求下列函数的微分:(1)21arcsin x y -=;(3) y =tan 2(1+2x 2);(3)2211arctan xxy +-=;6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.第三章 复习题1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.第四、五、六章 复习题1. 求下列不定积分:(1)⎰dx e x x 3;(2)⎰+++dx x x x 1133224;(3)⎰dt t t sin;(4)⎰-+dx e e x x 1;(5)⎰--dx x x 2491;(6)⎰-+dx x x )2)(1(1;.(8)⎰-dx x x 92;(9) ⎰-xdx e x cos ;(10)⎰dx x 2)(arcsin ;(11)⎰xdx e x 2sin .(12)dx x x )1(12+⎰;2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.3. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2022;4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积..。
高等数学第二版上册课后答案
高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。
高数二版习题答案下
下册各章习题答案 第七章第八章习题8.11. (1) 1; (2) 0; (3) 41－; (4) e ; (5) 2; (6) 0. 2.)(2122y x xy +≤习题8.2 1. (1)323y y x x z -=∂∂,233xy x y z -=∂∂; (2) )ln(21xy x x z =∂∂,)ln(21xy y y z =∂∂;(3)y x y x y x z csc sec 1=∂∂,y x y x yx y z csc sec 12-=∂∂; (4)1-=∂∂z y z x y x u ,z y zx y u z y z ln 1-=∂∂,y x x y zu z y z ln ln =∂∂; (5)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-,zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂;(6))]2sin()[cos(xy xy y xu-=∂∂,)]2sin()[cos(xy xy x y u -=∂∂, .3. 4π=α.4. (1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂; (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,222222)(y x x y y x z +-=∂∂∂;(3)y y x z x 222l n =∂∂，222)1(--=∂∂x y x x yz ，)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂-； (4)[]22222sin cos 22x x x y x z +-=∂∂,2322cos 2x yy z =∂∂,222sin 2x x y y x z =∂∂∂.5.223231,0y y x z y x z -=∂∂∂=∂∂∂.6. ⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x y x f ；⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x x y f .习题8。
同济大学第五版高数
设 f ( x )在 [a , b] 上连续， (a , b) 内可导, 在
x0 , x0 x (a , b ), 则有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x (0 1).
也可写成 y f ( x 0 x ) x (0 1). 增量y的精确表达式.
1
分析:
例5. 试证至少存在一点
使
法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x 则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f (x) cos ln x sin1 x x
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f ( 0) f ( ) 1 0 2
即 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
例5. 试证至少存在一点
使
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
F ( 2 )F (b)
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f ( a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件,
证 作辅助函数
则在(a , b)内至少存在一点, 使得 ( ) 0.
高数题总结(必备6篇)
高数题总结第1篇a x 2 +b x +c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac △ > 0 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a △>0\quad x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} △>0x1,2=2a−b±b2−4ac△ = 0 x 1 = x 2 △=0\quad x_1=x_2 △=0x1=x2重根△ < 0 △<0\quad△<0两个负根例如： i 2 = − 1 − 9 = ± 3 i i^2=-1\quad \sqrt{-9}=±3i i2=−1−9=±3i根与系数关系： x 1 + x 2 = − b a ， x 1 × x 2 = c a x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1×x_2=\frac{c}{a} x1+x2=−ab，x1×x2=ac例：求解 4 y ′ ′ + 4 y ′ + 5 y = 0 4y''+4y'+5y=0 4y′′+4y′+5y=0 解： 4 λ 2 + 4 λ + 5 = 04λ^2+4λ+5=0 4λ2+4λ+5=0 △ = b 2 − 4 a c = 16 − 4 × 5 = 16 − 80 < 0 △=b^2-4ac=16-4×5=16-80<0 △=b2−4ac=16−4×5=16−80<0 λ 1 , 2 = − 4 ± − 64 2 × 4 = − 4 ± i 8 8 = − 1 2 ± i = α ± β i λ_{1,2}=\frac{-4±\sqrt{-64}}{2×4}=\frac{-4±i8}{8}=-\frac{1}{2}±i=α±βi λ1,2=2×4−4±−64=8−4±i8=−21±i=α±βi 即 α = − 1 2 ， β = 1 α=-\frac{1}{2}，β=1 α=−21，β=1 综上，通解为 y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{αx}(C_1cosβx+C_2sinβx)y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) = e − 1 2 x ( C 1 c o s x + C 2 s i n x ) =e^{-\frac{1}{2}x}(C_1cosx+C_2sinx) =e−21x(C1cosx+C2sinx)高数题总结第2篇高数题总结第3篇斯托克斯公式是xxx公式的推广:xxx公式: 平面图形的面积<==>平面曲线斯托克丝公式: 空间曲面的面积<==>空间曲线微分:求导,求变化率积分:求微分(或称导数)的原函数, 分为定积分和不定积分微分与积分,是相反的一对运算,求加速度,就用微分对速度求导数(就是求速度的变化率).求路程,就用对速度在某一段时间内进行积分级数有什么作用:对数,三角函数,三角对数等等,都是通过级数计算而来.常用的pi,e等,也是用级数计算出多少位的近似值. 再如波形分析,如振动, 声学,电学等,通常都是将波形分解成傅立叶级数,再进行计算.二重积分:求平面图形面积,求空间曲面面积, 求曲面柱的体积三重积分:求空间物体体积,求质量,求质心...(经常要化为二重积分求解)曲线积分与曲面积分:经常要化为重积分来计算.线性插值:双线性插值,三线性插值多项式插值:拉格朗日插值:一阶拉格朗日插值,二阶拉格朗日插值...分段拉格朗日插值(其中有基函数的概念)等, 要构造拉格朗日多项式xxx插值:求xxx多项式xxx插值:差商埃尔米特插值:样条插值:在每个间隔使用低阶多项式(而不是线性函数):三次样条,B 样条分段插值:最近邻插值:找到最近的值,并分配相同的值.这里面最常使用的有:线性插值, 拉格朗日插值,xxx插值,_条插值,最近邻插值(其他的插值法了解一下就好).高数题总结第4篇微积分定理：———若函数f(x)在[a，b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a，b]上可积，且b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)—F(a)这即为xxx—莱布尼茨公式。
高数2-排列组合概率论
例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组 团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多 有1个女生，有多少种不同的组团方式？ 解：分两种情况考虑：一是没有1个女生； 二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件 事件的概率 条件概率、乘法公式、独立性 一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象； 在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预 知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件； 所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位偶数？ 解：按先排个位，再排百位和十位的顺序 排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元 素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取 出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数， 叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．
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f ' ( x0 ) 0
证明
不妨设x U ( x0 )时，f ( x ) f ( x0 ). 于是，对于x0 x U ( x0 ), 有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 x 0, 则有 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0; 若 x 0, 则有 x
例4
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
证
x 例5 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证
用 Lagrange 中值定理证明不等式的步骤： Step1 找出适当的函数 f (x) 及区间, Step2 验证 f (x) 满足Lagrange 中值定理条件, Step3 对 f () 作适当放大或缩小，推出所
当 F ( x ) x,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
例7 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
y
C
y f ( x)
M N
D
B
A
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 . x 2 三、证明等式arcsin 1 x arctan 2 2 1 x ( x ( 0,1) ) . 四、设 a b 0 ，n (Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
y
C
y f ( x)
o
a
1
2 b
x
y
C
y f ( x)
M N
D
B
A
o a
1
x
2 b
x
一、罗尔(Rolle)定理
引理（费马定理） 设函数 f ( x ) 在点x0 的某邻域 U ( x0 ) 内有定义并且在x0 处可导，如果对任意 的 x U ( x0 ) ，有 f ( x ) f ( x0 )(或f ( x ) f ( x0 )) 则
要证的结果.
例6 若 0
2
,
证明 : tan tan . 2 2 cos cos
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x ) 及F ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且F ' ( x ) 在(a , b ) 内每一点处均不为零，那末在(a , b ) 内至少 有一点(a b ) ,使等式
根据f ( x )在x0可导的条件, 在由极限的保号性, 便得到
f ( x0 ) f ( x0 ) lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) 0; x 0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) ( x0 ) f ( x0 ) lim f 0; x 0 x
f ( x0 ) 0.
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) ,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f ( x ) f (1) f ( 0) f ( ) 2 1 0 2 ( x )
x .
设 g( x ) x 2 ,
则 f ( x ), g( x ) 在[0,1]上满足柯西中值定理的 条件,
f (a ) f (b) f ' ( ) ' 成立. F (a ) F (b) F ( )
几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C ( F ( ), f ( )), 在 该点处的切线平行于 弦AB .
y
C
X F ( x) Y f ( x)
M N
D
B
A
o
F (a ) F ( 1 ) F ( x )
设 f ( x)在 (a, b)内可导, x0 , x0 x (a , b), 则有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x (0 1).
也可写成 y f ( x 0 x ) x (0 1). 增量y的精确表达式.
及Rolle定理条件.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
( 2) (1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
o
1
x
y
1
o
1
x
y
o
1
x
例1 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证
例2 证明方程 4ax 3 3bx 2 2cx a b c
在(0,1)内至少有一个实根.
证
说明: 证明 f ( x ) 0 在 (a , b) 内有根用零点定理.
证明 f ( x ) 0 在 (a , b) 内有根用罗尔定理.
an a1 a2 例3 设 a0 0 , 证明 : 在(0,1) 内至 2 3 n1 少存在一个 x , 满足 a0 a1 x a2 x 2 an x n 0 .
关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数. 若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性， 则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F(x) = f(x)
F ( 2 )F (b)
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f ( a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件,
证 作辅助函数
则在(a , b)内至少存在一点, 使得 ( ) 0.
F ( x ) 满足罗尔定理的条件,
则在(a , b)内至少存在一点, 使得 F ( ) 0.
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0 ba
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
则在(a , b)内至少存在一点, 使得 ( ) 0.
即 f ( ) f (b) f (a ) F ( ) 0, F (b) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ( ) . F ( b ) F ( a ) F ( )
x , 0 x 1 f1 ( x ) x 1 3,
2
不满足在闭区间上连续的条件；
1 f2 ( x) , x
x [a , b ]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x ) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、设 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x ) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. I 5、如果函数 f ( x ) 在区间 上的导数__________，那 I 么 f ( x ) 在区间 上是一个常数.
(1)
f ' ( ) 0 即
例如,
f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续,
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f ( ) 0.
f ( x ) 2( x 1),
取 1, (1 ( 1,3))
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle 定理
f (a ) f (b) Lagrange F ( x) x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
思考题解答
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,