2020届人教A版高三数学理科一轮复习综合检测试卷(一)含答案

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(一)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点( )A.(1,2)B.⎝⎛⎭⎫32，0 C ．(2,2) D.⎝⎛⎭⎫32，44．设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN →＝NM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．15．下面图(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1、A 2、…、A 16，图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图(1)图(2)A ．6B ．10C ．91D ．926．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……，若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是( ) A ．64 B ．63 C ．62D ．617．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( ) A.π32 B.3π16 C.π16D.3π328．已知函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④9．(2020·洛阳统考)设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.3210．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N (110,102)，若P (100≤ξ≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设n ＝ʃπ204sin x d x ，则二项式(x －1x )n 的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．112．(2020·济源模拟)已知F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝2 016|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．14．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心． 若f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝________. 15．已知集合M ＝N ＝{0,1,2,3}，定义函数f ：M →N ，且点A (0，f (0))，B (i ，f (i ))，C (i ＋1，f (i ＋1))(其中i ＝1,2)．若△ABC 的内切圆圆心为I ，且IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )，则满足条件的△ABC 有________个．16．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2020·北京西城区二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(1)求ω与φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝455，求2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)． (1)当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)证明：⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e (n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．19.(12分)(2020·咸阳模拟)如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC＝2.又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证：PC⊥AC；(2)求二面角M—AC—B的余弦值；(3)求点B到平面MAC的距离．20．(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：131163341 2412531263 1612122534 5(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；(2)已知该厂生产一件产品的利润y (单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，ξ<3，2，3≤ξ<5，4，ξ≥5若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和均值．21.(12分)已知数列{a n }，其前n 项和是S n 且S n ＋12a n ＝1 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1) (n ∈N *)，求使方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551成立的正整数n 的值．22．(12分)(2020·合肥质检)焦点分别为F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点M (2,1)，且△MF 2F 1的面积为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,3)作直线l ，直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，求直线l 倾斜角θ的取值范围； (3)在(2)的条件下，使得|MA |＝|MB |成立的直线l 是否存在？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．综合检测(一) 1．C2．C[依题意，知a n＝2n－1，1a n a n＋1＝12n－1·2n＝122n－1＝12×14n－1，所以T n＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ，选C.] 3．D [由题可知，y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x ，y )，由表格可知，x ＝1＋2＋34＝32，y ＝1＋3＋5＋74＝4，所以y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点⎝⎛⎭⎫32，4.] 4．B [因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM →＝mAB →＋nAC →，且m ＋n ＝1，又AN →＝13AM→＝13(mAB →＋nAC →)＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝13(m ＋n )＝13.] 5．B [由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.]6．C [前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n (n ＋3)2，由n (n ＋3)2＝2 015，解得n ＝62.]7．D [满足不等式组的区域如图△ABO 内部(含边界)，由于直线y ＝x 与y ＝－x 垂直，△ABO 与圆x 2＋y 2＝2的公共部分如图阴影部分是14圆，则点P 落在圆x 2＋y 2≤2内的概率为P ＝S 扇形S △ABO ＝14×2π12×2×⎝⎛⎭⎫43＋4＝3π32.]8．B [由于函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大．由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角∠ABC 一定是钝角，故①对，②错．由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB <BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③错，④对．]9．A [依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.]10．B [∵考试的成绩ξ服从正态分布N (110,102)． ∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称， ∵P (100≤ξ≤110)＝0.35，∴P (ξ≥120)＝P (ξ≤100)＝12(1－0.35×2)＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9.] 11．B [由定积分得n ＝－4cos x |π20＝4，二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r (－1x)r ＝C r 4(－1)r x4－2r，由4－2r ＝0，得r ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]12．B [设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→⊥PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2(c 2－b 2)c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.] 13.2 0172 015解析 由题意得|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， e ≤|PF 1|＋|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2 017|PF 2|2 015|PF 2|＝2 0172 015. 14．2 015解析 由f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，得f ′(x )＝3x 2－3x ＋12，∴f ″(x )＝6x －3，由f ″(x )＝6x －3＝0，得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，∴f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝f ⎝⎛⎭⎫22 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 016＝…＝f ⎝⎛⎭⎫1 0072 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0092 016＝f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＝2 ∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016 ＝2×1 007＋1＝2 015. 15．18 解析由IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )知△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A 点是4×4的格点中第一列的点．当i ＝1时，B 点是第二列格点中的点，C 点是第三列格点中的点，此时腰长为2，5，10的△ABC 分别有6个、4个、2个，当i ＝2时，B 点是第三列格点中的点，C 点是第四列格点中的点，此时腰长为5的△ABC 有6个，如图，△ABC 为其中的一个．综上，满足条件的△ABC 共有18个． 16．i ≤10?解析 这是一个循环结构，s ＝0，n ＝2，i ＝1，其中变量i 是计数变量，它应使循环体执行10次，因此条件应是i ≤10？. 17．解 (1)f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．设f (x )的最小正周期为T .由图象可得T 2＝π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π2，所以T ＝π，ω＝2. 由f (0)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝1， 因为φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π6. (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由f ⎝⎛⎭⎫α4＝2cos α2＝455，得cos α2＝255， 所以cos α＝2cos 2α2－1＝35.所以2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α＝2sin α(1－cos α)2sin α(1＋cos α)＝1－cos α1＋cos α＝14.18．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，∴f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2).x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：x (0，12)12 (12，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝25－ln 54， f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.(2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0.∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ，令x ＝1n 2，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋124＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋134＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4 <1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1，∴⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e. 19．(1)证明 ∵PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴PC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AC .(2)解 在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P (0,0，z )，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，M (0,1，z )，B (0,2,0)，∴CP →＝(0,0，z )，AM →＝(0,1，z )－⎝⎛⎭⎫32，－12，0＝⎝⎛⎭⎫－32，32，z .∵cos 60°＝|cos 〈AM →，CP →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CP →|AM →||CP →|＝z 23＋z 2·|z |，且z >0，∴z z 2＋3＝12，得z ＝1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，1.设平面MAC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·CA →＝0，得⎩⎨⎧－32x ＋32y ＋1＝0，32x －12y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－1，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－33，－1，1.∵平面ABC 的一个法向量为CP →＝(0,0,1)． ∴cos 〈n ，CP →〉＝n ·CP →|n ||CP →|＝217.显然，二面角M —AC —B 为锐二面角， ∴二面角M —AC —B 的余弦值为217. (3)解 点B 到平面MAC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CB →·n |n |＝2217.20．解 (1)由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝630＝15，二等品概率为P 2＝930＝310，三等品概率为P 3＝1530＝12.(2)由题意得：Z 的可能取值为2,3,4,5,6,8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：P (Z ＝2)＝12×12＝14，P (Z ＝3)＝2×12×310＝310，P (Z ＝4)＝310×310＝9100，P (Z ＝5)＝2×12×15＝15，P (Z ＝6)＝2×310×15＝325，P (Z ＝8)＝15×15＝125.∴Z 的分布列为∴E (Z )＝2×14＋3×310＋4×9100＋5×15＋6×325＋8×125＝3.8.21．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，因为S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，所以S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1 (n ≥2)，所以{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． (2)由于1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ， 故b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝－n －1， 1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2. 由12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100. 22．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由M (2,1)， △MF 2F 1的面积为3，得12·2c ·1＝3⇒c ＝3，故椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，又椭圆C 过点M (2,1)， ∴4a 2＋1a 2－3＝1且a 2>3，于是(a 2)2－8a 2＋12＝0且a 2>3，∴a 2＝6， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)易知θ＝π2时，符合题意；当θ≠π2时，可设直线l 方程为y ＝kx ＋3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0，由Δ＝144k 2－4×12×(1＋2k 2)>0， 解得k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上知θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (3)易知，当直线l 与x 轴垂直时，不合题意． 假设存在直线l 满足条件，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若M ，A ，B 三点共线，注意到|MA |＝|MB |，故A ，B 两点重合于点M ，这与A ，B 是椭圆C 上不同的两点矛盾． 故M ，A ，B 三点不共线，取AB 的中点D ，连接MD ，知MD ⊥AB .由方程(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0知x 1＋x 2＝－12k1＋2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝－12k 21＋2k 2＋6＝61＋2k 2.于是，点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋2k 2，31＋2k 2，由MD ⊥AB 得31＋2k 2－1－6k1＋2k 2－2＝－1k (k >1或k <－1)，得k 2＋k ＋1＝0，此方程无实数解，所以满足条件的直线不存在．。