2016-2017年湖北省鄂东南联盟学校高一上学期数学期中试卷带答案

2016-2017学年湖北省鄂东南联盟学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若∁U A={1，3，5，7，9}，则集合A=（）A．{2，6，8}B．{2，4，6，8}C．{0，2，4，6，8}D．{0，2，6，8} 2．（5分）若a＜0，则=（）A．x B．x C．﹣x D．﹣x3．（5分）已知a=5，b=log 23，c=3﹣0.6，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c4．（5分）函数的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，2]C．[0，2） D．（0，2）5．（5分）若{x|x2≤a，a∈R}∪∅=∅，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）6．（5分）有一组实验数据如表所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A．y=2x+1﹣1 B．y=x2﹣1 C．y=2log2x D．y=x37．（5分）设f（x）是定义在[a﹣1，2]上偶函数，则f（x）=ax2+bx+1在[﹣2，0]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与a，b有关，不能确定8．（5分）已知函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，且集合A={x∈N*|2x≤x2}，B={y|y=f（x），x∈[﹣1，1）}，则可建立从集合A到集合B的映射个数为（）A．4 B．8 C．16 D．329．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+2，则f（lg5）+f（lg）=（）A．4 B．0 C．1 D．210．（5分）下列函数能用二分法求零点的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=ln（x+2）2D．f（x）= 11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）12．（5分）设a＞0且a≠1，函数f（x）=log a|x2﹣（a+）x+1|在[1，2]上是增函数，则a的取值范围（）A．a≥2+B．0＜a＜2﹣C．a≥2+或0＜a＜1 D．a≥2+或0＜a＜2﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若点P（2，4）在函数f（x）=log a x的图象上，点Q（m，16）在f （x）的反函数图象上，则m=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则满足f（x）=f（）的所有x值的和为．15．（5分）已知幂函数（p∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两不同的零点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集为R，函数f（x）=的定义域为集合A，集合B={x|x （x﹣1）≥2}（1）求A∩B；（2）若C={x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁R B），求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）写出函数的单调区间，并证明函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性．19．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+3．（1）若x∈[﹣1，2]，求f（x）的最大值；（2）求f（x）在[m，0]的最大值与最小值．20．（12分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸线正东20km处有一个城镇，在点P与城镇的中点处有一个车站，假设一个人要从小岛前往城镇，若他先乘船到达海岸线上的点P与车站之间（不含车站），则可租自行车到车站乘车去城镇；若他先乘船到达海岸线上的车站与城镇之间（含车站），则可乘车去城镇，设x（单位：km）表示此人乘船到达海岸线处距点P的距离，且乘船费用y与乘船的距离s之间的函数关系为：y=（单位：元）自行车的费用为0.5元/km，乘车的费用为1元/km，此人从小岛到城镇的总费用为w（x）（单位：元）．（1）求w（x）的函数解析式；（2）当x为何值时，此人所花总费用w（x）最少？并求出此时的总费用．21．（12分）若函数f（x）在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）≥f（x0）+f （1）成立，则称x0为函数f（x）的“可增点”．（1）判断函数f（x）=是否存在“可增点”？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，说明理由；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，+∞）上存在“可增点”，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=1，对于任意x∈R，f（x）≥x，且f（+x）=f（﹣x）．令g（x）=f（x）﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）求函数f（x）解析式；（2）探求函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．2016-2017学年湖北省鄂东南联盟学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若∁U A={1，3，5，7，9}，则集合A=（）A．{2，6，8}B．{2，4，6，8}C．{0，2，4，6，8}D．{0，2，6，8}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，当∁U A={1，3，5，7，9}时，集合A={2，4，6，8}．故选：B．2．（5分）若a＜0，则=（）A．x B．x C．﹣x D．﹣x【解答】解：∵a＜0，ax3≥0，∴x≤0，∴=|x|=﹣x，故选：D．3．（5分）已知a=5，b=log 23，c=3﹣0.6，那么（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：a=5＜0，b=log 23＞1，c=3﹣0.6∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．4．（5分）函数的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，2]C．[0，2） D．（0，2）【解答】解：∵函数的值域，∴4﹣2x≥0，∴x≤2当x=2时，y=0，∵0≤4﹣2x＜4，∴0≤y＜2，∴函数的值域为：[0，2），故选：C．5．（5分）若{x|x2≤a，a∈R}∪∅=∅，则a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【解答】解：∵{x|x2≤a，a∈R}∪∅=∅，∴{x|x2≤a，a∈R}=∅，∴x2≤a，a∈R无解，∴a＜0．∴a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：D．6．（5分）有一组实验数据如表所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A．y=2x+1﹣1 B．y=x2﹣1 C．y=2log2x D．y=x3【解答】解：由函数的表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与二次函数的类型，选项C不正确；当x=2.01时，y=2x+1﹣1＞4；y=x2﹣1≈3，y=x3＞7，当x=3时，y=2x+1﹣1=15；y=x2﹣1≈8，y=x3=27，故选：B．7．（5分）设f（x）是定义在[a﹣1，2]上偶函数，则f（x）=ax2+bx+1在[﹣2，0]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与a，b有关，不能确定【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[a﹣1，2]上的偶函数，可得b=0，并且a﹣1=﹣2，解得a=﹣1，所以函数为：f（x）=﹣x2+1，在[﹣2，0]上是增函数，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，且集合A={x∈N*|2x≤x2}，B={y|y=f（x），x∈[﹣1，1）}，则可建立从集合A到集合B的映射个数为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：由题意，集合A={x∈N*|2x≤x2}={0，1，2}，B={y|y=f（x），x∈[﹣1，1）}={﹣1，0}∴可建立从集合A到集合B的映射个数为23=8．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+2，则f（lg5）+f（lg）=（）A．4 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵f（x）=ln（﹣x）+2，∴f（x）+f（﹣x）=ln（﹣x）+2+ln（+x）+2=lg1+4=4，则f（lg5）+f（lg）=f（lg5）+f（﹣lg5）=4．故选：A．10．（5分）下列函数能用二分法求零点的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=ln（x+2）2D．f（x）=【解答】解：对于A：f（x）=x2≥0恒成立，故不能用二分法求零点，对于B：f（x）=≥0恒成立，故不能用二分法求零点，对于C，f（x）=ln（x+2）2，f（0）=ln4＞0，f（﹣1）=0，f（﹣1.5）＜ln＜0，故能用二分法求零点，对于D：f（x）=≥0恒成立，故不能用二分法求零点，故选：C．11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．12．（5分）设a＞0且a≠1，函数f（x）=log a|x2﹣（a+）x+1|在[1，2]上是增函数，则a的取值范围（）A．a≥2+B．0＜a＜2﹣C．a≥2+或0＜a＜1 D．a≥2+或0＜a＜2﹣【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2，则函数y=x2﹣（a+）x+1的对称轴为x=，令g（x）=x2﹣（a+）x+1，∵g（1）=2﹣（a+）＜0，∴y=|x2﹣（a+）x+1|在[1，2]上是增函数，∴要使函数f（x）=log a|x2﹣（a+）x+1|在[1，2]上是增函数，则，解得a．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若点P（2，4）在函数f（x）=log a x的图象上，点Q（m，16）在f （x）的反函数图象上，则m=16．【解答】解：函数f（x）=log a x的图象经过点P（2，4）可得：4=log a2，解得：a=．∴f（x）=点Q（m，16）在f（x）的反函数图象上，即（16，m）在f（x）的图象上．则有：m=解得：m=16故答案为16．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则满足f（x）=f（）的所有x值的和为﹣4．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也单调，若f（x）=f（）则必有|x|=||，即±x=，若x=，则必有x（x+2）=x+1，即x2+x﹣1=0，其两根之和x1+x2=﹣1，若﹣x=，则必有﹣x（x+2）=x+1，即x2+3x+1=0，其两根之和x3+x4=﹣3，故方程|x|=||有4个解，且4个解之和x1+x2+x3+x4=﹣4；故答案为：﹣4．15．（5分）已知幂函数（p∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是（1，4）．【解答】解：∵幂函数（p∈N*）在（0，+∞）上是减函数，∴p2﹣2p﹣3＜0，解得﹣1＜p＜3，∵p∈N*，∴p=1或2．当p=1时，y=x﹣4为偶函数满足条件，当p=2时，y=x﹣3为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即＜，∵y=x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上都为增函数，∴a2﹣1＜3a+3＜0或0＜a2﹣1＜3a+3，解得：1＜a＜4，故答案为：（1，4）．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两不同的零点，则实数k的取值范围是（1，）．【解答】解：如图，在同一坐标系中作出函数y=f（x）与y=k的图象，由图象易知当时，两函数图象有两个交点．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知全集为R，函数f（x）=的定义域为集合A，集合B={x|x （x﹣1）≥2}（1）求A∩B；（2）若C={x|1﹣m＜x≤m}，C⊆（∁R B），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x﹣1＞0得，函数f（x）的定义域A={x|x＞1}，又x2﹣x ﹣2≥0，得B={x|x≥2或x≤﹣1}，∴A∩B={x|x≥2}．（2）∵C⊆{x|﹣1＜x＜2}，①当C=∅时，满足要求，此时1﹣m≥m，得；②当C≠∅时，要C⊆{x|﹣1＜x＜2}，则，解得，由①②得，m＜2，∴实数m的取值范围（﹣∞，2）．18．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）写出函数的单调区间，并证明函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性．【解答】解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，且，所以函数f（x）为偶函数．（2）函数f（x）的减区间是（﹣∞，0），增区间是（0，+∞），x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣1，任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x2）=﹣1﹣+1=，∵x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）为减函数．19．（12分）已知函数f（x）=22x﹣2x+1+3．（1）若x∈[﹣1，2]，求f（x）的最大值；（2）求f（x）在[m，0]的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）=22x﹣2•2x+3，令2x=t，所以f（x）=h（t）=t2﹣2t+3=（t ﹣1）2+2．（1）若x∈[﹣1，2]，则，当t=4时，h（t）max=h（4）=11．（2）若x∈[m，0]，即m≤0时，则t∈[2m，1]，当0＜2m≤1，结合函数h（t）的图象可知，h（t）在[2m，]1上递减，∴f（x）min=h（1）=2，f（x）max=h（2m）=22m﹣2 m+1+3．20．（12分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸线正东20km处有一个城镇，在点P与城镇的中点处有一个车站，假设一个人要从小岛前往城镇，若他先乘船到达海岸线上的点P与车站之间（不含车站），则可租自行车到车站乘车去城镇；若他先乘船到达海岸线上的车站与城镇之间（含车站），则可乘车去城镇，设x（单位：km）表示此人乘船到达海岸线处距点P的距离，且乘船费用y与乘船的距离s之间的函数关系为：y=（单位：元）自行车的费用为0.5元/km，乘车的费用为1元/km，此人从小岛到城镇的总费用为w（x）（单位：元）．（1）求w（x）的函数解析式；（2）当x为何值时，此人所花总费用w（x）最少？并求出此时的总费用．【解答】解：（1）由题意0≤x＜10，w（x）==，10≤x＜20，w（x）==，∴．（2）当0≤x＜10时，，当x=8时，w（x）取得最小值，当10≤x＜20时，，当x=16时，w（x）取得最小值，所以当x=16时，此人所花总费用最少，为12.125元．21．（12分）若函数f（x）在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）≥f（x0）+f （1）成立，则称x0为函数f（x）的“可增点”．（1）判断函数f（x）=是否存在“可增点”？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，说明理由；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，+∞）上存在“可增点”，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）假设函数有“可增点”，则⇒即x02（x0+1）＜0，∴﹣1＜x0＜0，所以函数存在可增点，∴﹣1＜x0＜0．（2）若在（0，+∞）上存在可增点，即有成立，即，且a＞0，依题意不等式在（0，+∞）上有解，记，当a=2时，，不符合条件；当0＜a＜2时，a﹣2＜0，函数g（x）开口向下，符合条件；当a＞2时，函数g（x）的对称轴，且g（0）=2a﹣2＞0，所以在（0，+∞）上g（x）＞0，不符合．综上可得0＜a＜2．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=1，对于任意x∈R，f（x）≥x，且f（+x）=f（﹣x）．令g（x）=f（x）﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）求函数f（x）解析式；（2）探求函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．【解答】解：（1）由f（0）=1，得c=1，由可知，所以a=﹣b，又对于任意x∈R，f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x+1≥0都成立，所以a＞0，△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0，∴a=1，b=﹣1，所以f（x）=x2﹣x+1．（2）∵，若，其对称轴为，当，即0＜m≤1时，函数在上为增函数；当，即m＞1时，函数在上为减函数，在上为增函数；若其对称轴为，此时，所以函数在上为减函数，在上为增函数，且g（0）=0，g（1）=m＞0，所以函数g（x）在（0，1）上有一个零点；当m=1时，∵，没有零点；当m＞1时，函数g（x）在上为增函数，在上为减函数，且g（0）=0，g（1）=2﹣m，若2﹣m≥0，即1＜m≤2时，函数g（x）在（0，1）上没有零点，若2﹣m＜0，即m＞2时，函数g（x）在（0，1）上有一个零点．综上得，当0＜m＜1或m＞2时函数g（x）在（0，1）上有一个零点；当1≤m≤2时，函数g（x）在（0，1）上没有零点．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。