江苏高一数学下学期期中试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。
江苏省高一数学下学期期中试题(含解析)
【解析】
平面 ，那么 ，又 平面 ， 平面 ，设 ，在 中， ，在 中， ， ， 时，三棱锥P-AEF体积最大为 ，此时， ， .
【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
那么由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为2．
故答案为：2．
【点睛】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：〔1〕圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；〔2〕圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
那么k2= =﹣4，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
那么直线l的斜率的取值范围是〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕，
故答案为〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕．
【点睛】此题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道根底题．
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即樟卯结构〕啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内〔容器壁的厚度忽略不计〕，假设球形容器外表积的最小值为30π，那么正四棱柱的高为______．
【详解】
证明：〔1〕取PB的中点E，连接EN，AE．
江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________参考答案：1．C【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解．【详解】设()i ,z a b a b =+ÎR ，则2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，2724iz =--Q ，227224a b ab ì-=-\í=-î，解得34a b =ìí=-î或334i 4a z b =-ì\=-í=î．或34i z =-+．所以复数z 的虚部为4±．故选：C.2．B【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A ；由复数相等的定义可判断B ；用特殊值可判断C 、D.【详解】对于A ，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A 错误；对于B ，若i z a b a =+Î（R,b Î R )则当0a b ==时，i 0z a b =+=，反之，若i=0z a b a =+Î（R,b Î R )，则由复数相等的定义知，必有0a b ==成立，故若i z a b a =+Î（R,b Î R )，则当且仅当0a =且0b =时，0z =，B 正确；对于C ，令12i z z =1=，，则2222121i 0z z +=+=，此时不满足120z z ==，C 错误；若i 1i(,x y x y +=+ÎC )，不妨令i x =，i y =-，满足等式，此时1x y ==不成立，故D 错误．故选:B 3．B【分析】结合线面垂直的性质即可分析.【详解】过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选：B.4．B【分析】把条件2222OA OB CA CB -=-转化为2222OA OB CA CB-=-uuur uuu r uuu r uuu r ，再根据向量的运算与a 的位置关系为：//b a 或故答案为：//b a 或b a Ì13．24,55æöç÷èø。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
离为（ ）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ， 故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ， 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .
2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数()()22i 0m m m -+-=，则实数m =（）A ．2B ．3C ．0D ．1【答案】A【分析】根据复数相等可得出关于实数m 的方程组，即可解得实数m 的值.【详解】因为复数()()22i 0m m m -+-=，则有20(2)0m m m -=⎧⎨-=⎩，解得2m =，故选：A.2．已知向量()2,1a =r ，(),1b λ=- ，若a b ∥，则实数λ=（）A ．2B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】若a b ∥，则()211λ⨯-=⨯，解得2λ=-.故选：C.3．某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为24的样本，则应抽取的老年人人数为（）A ．6B ．10C ．8D ．4【答案】D【分析】首先确定抽样比，再用抽样比乘以样本容量即可得到应抽取的老年人人数.【详解】首先确定抽样比2718154276=++，则抽取一个容量为24的样本，应抽取的老年人人数为12446⨯=，故选：D.4．已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．12-B ．12C ．34-D ．34【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由πtan()34α+=，得πtan tanπtan 14tan()3π41tan 1tan tan 4ααααα+++===--，解得1tan 2α=.故选：B5．已知向量()1,2a =r ，()4,b k = ，若a 与b 垂直，则a 与a b + 夹角的余弦值为（）A ．33B ．34C ．55D ．45【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为a 与b垂直，则1420k ⨯+⨯=，解得2k =-，即()4,2b =- ，可得()5,0a b +=，则()222215205,125,505a a b a a b ⋅+=⨯+⨯==+=+=+= ，所以a 与a b + 夹角的余弦值()55cos ,555a a b a a b a a b⋅++===⨯⋅+.故选：C.6．已知1cos cos 2αβ-=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．5972【答案】D【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ-=-+=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=，两式相加得()()1113cos cos sin sin 22cos 249326αβαβαβ-=-+=+=-，()59cos 72αβ∴+=.故选：D.7．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，若60A =︒，1b =，3ABC S = ，则sin sin a bA B++的值为（）A ．2393B ．239C ．39D ．13【答案】A【分析】利用三角形的面积求出c ，利用余弦定理求出a ，然后求出sin aA 进而得出sin sin a b A B++的值．【详解】因为60,1,3ABC A b S ︒=== ，所以131sin602c =⨯⋅︒，所以4c =，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-，所以2116413a =+-=，13a =，所以由正弦定理得13239sin 3sin s 2i 3n a bA B a A ++===．故选：A ．8．已知正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅的取值范围是（）A ．(]0,16B ．[)0,16C ．(]0,8D ．[)0,8【答案】B【分析】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，利用平面向量数量积的运算性质可得2PE = ，求出PF 的取值范围，可得出24CP DP PC PD PF ⋅=⋅=- 的取值范围.【详解】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，则()()()()22240PA PB PE EA PE EB PE EA PE EA PE EA PE ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，所以，2PE = ，所以，点P 在以线段AB 为直径的半圆弧上，如下图所示：当点P 为线段EF 与半圆弧的交点时，PF取最小值2，结合图形可知，2241625PF BF CF BC <=+=+=，故225PF ≤<，同理可得[)240,16CP DP PC PD PF ⋅=⋅=-∈ ，故选：B.二、多选题9．对一组数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅，如果将它们改变为()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅，其中0c ≠，则下面结论中正确的是（）A ．均值变了B ．方差不变C ．均值与方差均不变D ．均值与方差均变了【答案】AB【分析】根据均值、方差的性质分析判断.【详解】设数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅的均值为x ，方差2s ，则数据()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅的均值为x c +，方差2s ，且0c ≠，故均值改变，方差不变，故A 、B 正确，C 、D 错误.故选：AB.10．已知复数3i1iz +=-，则下列说法正确的是（）A ．5z =B ．z 的虚部为2-C ．z 的共轭复数为12i -D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的概念、模、共轭复数定义、几何意义判断各选项．【详解】由题意知，复数3i (3i)(1i)12i 1i 2z +++===+-，所以5z =，虚部为2，z 的共轭复数为12i -，z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：ACD.11．下列各式中，值为1的是（）A ．3tan1513tan15-︒+︒B ．24tan15cos 15︒︒C ．2cos10sin 20cos 20︒-︒︒D ．()sin 5013tan10︒+︒【答案】ABD【分析】逆用差角的正切计算判断A ；切化弦并降幂扩角计算判断B ；凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C ；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D 作答.【详解】对于A ，3tan15tan 60tan15tan 4511tan 60tan1513tan15-︒︒-︒==︒=+︒︒+︒，A 是；对于B ，22sin154tan15cos 154cos 154sin15cos152sin 301cos15︒︒︒=⋅⋅︒=︒︒=︒=︒，B 是；对于C ，2cos10sin 202cos(3020)sin 202(cos 30cos 20sin 30sin 20)sin 203cos 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒===︒︒︒，C 不是；对于D ，sin 50(cos103sin10)sin 502cos50sin100sin 50(13tan10)1cos10cos10cos10︒︒+︒︒⋅︒︒︒+︒====︒︒︒，D 是.故选：ABD12．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，则下列命题中正确的是（）A ．在ABC 中，sin sin AB >的充要条件是A B>B ．在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形C ．在锐角ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B >恒成立D ．在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形【答案】ACD【分析】根据正余弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =⇒=,所以222π,Z,A B k k =+∈或22π2π,Z,A B k k +=+∈因此A B =或π2A B +=，故ABC 为等腰三角形或者直角三角形，故B 错误；对于C ，因为锐角三角形ABC ，故ππ2A B >+>,故cos()0A B +<，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+<，故sin sin cos cos A B A B >，故C 正确；对于D ，2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c b ac +-=，结合2b ac =得2()0a c -=，故a c =，又60B =︒，故60A B C ===︒，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是.【答案】17【分析】利用百分位数的求法即可.【详解】因为1590%13.5⨯=，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.14．已知4a = ，a 与b 的夹角为120°，则a 在b方向上的投影向量的模为.【答案】2【分析】由投影模长公式cos a θ⋅ ，代入数据即可求得a 在b 方向上的投影向量的模.【详解】a 在b 方向上的投影向量的模1cos 4cos120422a θ⎛⎫=⋅=⨯︒=⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为：2.15．若342ππβπα<<<<，且()2cos 10αβ+=-，4sin 25β=，则αβ-=.【答案】34π【分析】由题意求出αβ-的范围，cos 2β，()sin αβ+的值，而αβ-=()2αββ+-，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.【详解】因为4πβπ<<，所以222πβπ<<，4sin 205β=>，所以22πβπ<<，所以42ππβ<<，所以24ππβ-<-<-，32ππα<<，所以524ππαβ<-<，因为22πβπ<<，4sin 25β=，则3cos 25β=-，524παβπ<+<，()2cos 10αβ+=-，所以()72sin 10αβ+=-所以()()()()sin sin 2sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ⎡⎤-=+-=+-+⎣⎦7232421051052⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以αβ-=34π.故答案为：34π.16．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别表示角,,A B C 所对边的长，πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23b =，则a c +的取值范围是.【答案】(6,43⎤⎦【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得π3B =，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理π43sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数求取值范围.【详解】因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+，π312sin cos 2sin cos cos 3cos sin cos cos 622C B C C B B C B C ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即cos cos sin sin 3cos sin cos cos B C B C B C B C -+=-，整理得sin sin 3cos sin B C B C =，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得sin 3cos B B =，即tan 3B =，且()0,πB ∈，可得π3B =，因为ABC 为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，由正弦定理可得234sin sin sin 32a b c A B C ====，即4sin ,4sin a A c C ==，可得()4sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2sin 23cos a c A C A A B A A A +=+=++=++π6sin 23cos 43sin 6A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3sin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(π43sin 6,436a c A ⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故a c +的取值范围是(6,43⎤⎦.故答案为：(6,43⎤⎦.四、解答题17．已知复数()11i z a a =+∈R ，复数234z i =-，(1)若12z z +∈R ，求实数a 的值；(2)若2a =，求12z z .【答案】(1)4(2)112i+【分析】（1）根据复数的加法结合复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的乘法运算求解.【详解】（1）由已知()1244i z z a +=+-∈R ，则40a -=，解得4a =，（2）当2a =时，()()1212i 34i 34i 6i 8112i z z =+-=-++=+.18．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率直方图.(1)求a 的值；(2)试估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；(3)试估计该地区某种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】(1)0.006(2)12(3)47.9【分析】（1）由概率之和为1即每个小长方形的面积之和为1可求得a ；（2）首先计算[)20,30的小长方形的面积即概率，即可求得年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；（3）由平均值等于组中值乘以小长方形的面积之和即可求得平均年龄.【详解】（1）由()0.0010.0020.0120.0170.0230.0200.0170.002101a ++++++++⨯=，得0.006a =.（2）0.0121010012⨯⨯=从而估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数为12人（3）设平均年龄为x ，则由频率直方图可得：(50.001150.002250.012350.017450.023550.02650.017x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.006850.002)1047.9+⨯+⨯⨯=从而估计本地区某种疾病患者的平均年龄为47.9岁.19．如图，在ABC 中，25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，设CA a= ，CB b = ．(1)用a ，b 表示AF ，BE；(2)如果60ACB ∠=︒，2AC =，且CD EF ⊥，求BC ．【答案】(1)13AF b a =- ；12BE a b =-；(2)3【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）先求得,EF CD ，由CD EF ⊥，可得0CD EF ⋅= ，从而可得222301510b a -= ，结合已知可得3b = 即可.【详解】（1）因为25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ，所以1133AF AC CF CA CB b a =+=-+=- ，1122BE BC C E B CA b C a =+=-+=- .（2）因为11112332EF EC CF CA CB b a =+=-+=-，()223223555555CD CA AD CA AB CA CB CA CB b aCA =+=+=+=+=-+又因为CD EF ⊥，所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以222301510b a -= ，由2a = ，可得3b = ，所以BC 的长为3.20．在ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.(1)求sin sin BC；(2)若1AD =，1DC =，求ABC 的面积.【答案】(1)12(2)3158【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理运算求解；（2）因为πADC ADB ∠+∠=，分别在ABD △和ACD 中使用余弦定理，结合（1）中的2AB AC =，可解得1cos 4ADC ∠=，进而计算出△ABC 的面积.【详解】（1）因为AD 平分BAC ∠，则BAD CAD ∠=∠，即sin sin BAD CAD ∠=∠，又因为2ABD ADC S S =△△，则11sin 2sin 22AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⨯⋅∠，所以2AB AC =，在ABC 中，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ==.（2）因为::2:1ABD ADC S S BD DC ==△△，所以22BD DC ==，在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠，又因为πADC ADB ∠+∠=，所以cos cos ADC ADB ∠=-∠，由（1）知2AB AC =，则()22222cos 42cos AD BD AD BD ADC AD DC AD DC ADC++⋅∠=+-⋅∠，即()144cos 4112cos ADC ADC ++∠=+-∠，所以1cos 4ADC ∠=，因为()0,πADC ∠∈，所以2115sin 1cos 1164ADC ADC ∠=-∠=-=，由于2ABD ADC S S =△△，所以1153153311248ABC ADC S S ==⨯⨯⨯⨯=△△.21．已知函数()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若()2f x =，求x 的取值集合；(2)若()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)}{|ππ,4x x k k =∈+Z (2)(,22⎤-∞⎦【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简整理后，解方程即可求出结果；（2）()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，进而利用二倍角和同角的平方关系化简整理，再结合均值不等式即可求出结果.【详解】（1）因为()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πππππ2cos sin 23cos 3sin 23cos 266633x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1π3πππππ2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 223233333x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 2x =，若()2f x =，则π22π2x k =+，k ∈Z ，所以x 的取值集合为}{|ππ,4x x k k =∈+Z （2）因为()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以sin 2cos 23a x x -≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.由ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得sin 20x ≠，因此3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.2222223cos 23sin 3cos cos sin sin 2cos sin 22sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x+++-+==2tan 22tan tan tan x x x x+==+.因为ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan 1,3x ⎡⎤∈⎣⎦，由基本不等式得22tan 2tan 22tan tan x x x x+≥⋅=，当且仅当tan 2x =时，取到等号.所以a 的取值范围为(,22⎤-∞⎦.22．已知,,a b c 分别表示ABC 中角,,A B C 所对边的长，cos b A c =，2b =(1)求B ；(2)若O 为ABC 的外接圆，若PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，求PM PN ⋅ 的最小值.【答案】(1)π2(2)223-【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数的和差公式化简求值即可；（2）结合图形，利用数量积的定义与圆的切线的性质转化PM PN ⋅ ，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）已知cos b A c =，由正弦定理得sin cos sin B A C =，又因为πA B C ++=，所以()sin sin C A B =+，所以()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+，即sin cos 0A B =，可得sin 0A =或cos 0B =，因为0πA <<，0πB <<，所以sin 0A ≠，则cos 0B =，即π2B =.（2）由O 为ABC 的外接圆，且π2B =，所以ABC 的外接圆的半径112r OA OC b ====，又因为PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，所以1OM ON == ，又222221PM PN OP ON OP ==-=- ，1OP > ，所以()2cos 12sin PM PN PM PN MPN PM PN NPO ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅-∠ ()2222222212113ON PM OP OP OP OP OP ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪=-=--=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22223223OP OP≥⋅-=- ，当且仅当42OP = 时，等号成立，所以PM PN ⋅ 的最小值为223-.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分利用圆的切线的性质，将cos MPN ∠转化为212ON OP ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ ，从而得解.。
江苏省南京高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ） z ()13i z i -=-i zA ．1B ．2C D ．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．z【详解】由题意． 23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i i z i i i i --++--====+--+=故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．已知向量，满足，则向量，夹角的大小等于（ ）a b||a = ||b = ()1a b b -⋅= a b A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】A【分析】先由得到，再根据数量积公式得到()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= cos θ=的范围进行求解.【详解】设向量向量，的夹角为， a bθ由，得， ()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= 即，2||||cos ||1a b b θ⋅-=因为||a = ||b =所以，解得 21θ-=cos θ=又因为，所以，0180θ≤≤ 30θ= 即向量，的夹角的大小为30°． a b故选：A ．3．已知复数z 1，z 2，则z 1z 2的代数形式是（ ）cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭cos sin 66i ππ⎫+⎪⎭ABcos sin 44i ππ⎫+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭C D【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得． 【详解】∵a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，∴， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-∴, sin()sin()sin cos sin cos B C C A C B C A +-+=-∴， sin cos sin cos 0B C A C -=∴或，∴或，cos 0C =sin sin A B =2C π=A B =故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用． 5．若，则（ ） 4sin 3cos 0αα-=2sin 22cos αα+=A ．B ．C ．D 4825562585【答案】B【解析】由，求得，再由，即可求出．4sin 3cos 0αα-=3tan 4α=222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+【详解】由，求得， 4sin 3cos 0αα-=sin 3tan cos 4ααα==而， 222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++所以． 22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则ABC ∆3AB AC ==4BC =P BC ()AP AB AC⋅+（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意(01)BP BC λλ=≤≤义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设.(01)BP BC λλ=≤≤，()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+ 因为，()()()()220BC AB AC BA AC AB AC AC AB λλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯所以.()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅= 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力. 7所得的结果是（ ）2cos 20-︒A ．B ．C ．D ．2141232【答案】B【分析】，再结合2cos20︒=展开整理即可得答案.()sin40sin6020=-【详解】2cos202cos20︒=====.sin2012sin202===故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在2cos20︒=化简整理即可求解.()sin40sin6020=-8．已知中，的面积为（）ABC1,sin,23B C A BCπ=-==ABCAB．C．D【答案】C【分析】由已知判断为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解与的值，B sin B sinC b c代入三角形面积公式得答案．【详解】解：由，得，可得为锐角，2B Cπ=-2C Bπ-=B又，，则，1sin3A=1sin()3B C∴+=1sin(223Bπ+=即，，解得，则1cos23B=∴21213cos B-=cos=B sin B=sin sin()cos2C B Bπ=+==由正弦定理，sin sin sina b cA B C==得．sinsina BbA==sin6sina CcA=．∴111sin6223ABCS bc A==⨯⨯=故选：．C二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是( ) A ．若复数(i 为虚数单位)，则 1i1iz +=-i z =B ．若复数z 满足，则2z ∈R z ∈R C ．若复数，则z 为纯虚数的充要条件是()i ,z a b a b =+∈R 0a =D ．若复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 1z =【答案】AD【分析】A ：根据复数的除法运算法则计算即可；B ：设，根据求出a 、b ()i ,z a b a b =+∈R 2z ∈R 的值即可判断；C ：根据纯虚数的概念即可判断；D ：设，求出z 对应的点(a ，b )()i ,z a b a b =+∈R 的轨迹方程即可判断．【详解】对于A ，，故A 正确； ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+对于B ，设z =a +b i ，a 、b R ，则， ∈2222i z a b ab =-+；当a =0，b ≠0时，z =b i R ，故B 错误；20z ab ∈⇒=R ∉对于C ，，则z 为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0，故C 错误；()i ,z a b a b =+∈R 对于D ，设，则，()i ,z a b a b =+∈R 2211z a b =⇒+=则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确． 故选：AD ．10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）a bA ．若，则，的方向相同+=- a b a b a bB ．若⊥，则a ba b a b +=- C ．若，则在方向上的投影向量为a b a b +=+ a b aD ．若存在实数λ使得，则a b λ=+=- a b a b 【答案】BC【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D 的正误，再根据投影向量的定义可判断C 的正误．【详解】因为，， +=- a b a b 2222+22a b a b a b a b +⋅=+-⋅ 故即，故，共线反向，故A 错误．a b a b ⋅=-⋅ cos ,1=- a b a b若⊥，则，故，故B 正确．a b 2240a b a b a b +--=⋅=a b a b +=- 若，则即，a b a b +=+ 2222+22a b a b a b a b +⋅=++⋅a b a b ⋅=⋅ 故，故，共线同向，故cos ,1a b = a b()0b a λλ=> 则在方向上的投影向量为，故C 正确． a b b a a a a a bλλ==由A 选项的分析可知：即为，共线反向，且， +=- a b a b a ba b ≥ 故当时，，共线同向，故不成立， 0λ>a b+=- a b a b 故选：BC ．11．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），ABC a ∈R tan A tan B x 230x ax a -++=则可能是（ ） ABC A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】BCD【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，，230x ax a -++=tan A tan B 所以，所以，tan tan tan tan 3A B a A B a +=⎧⎨⋅=+⎩tan tan tan()(2)1tan tan 1(3)2A B a aA B a A B a a ++===≠--⋅-+--且或. 24(3)06a a a ∆=-+≥⇒≥2a <-所以， tan()02aA B a +=<--因为，所以，从而可得， A B C π+=-tan()tan()tan 0A B C C π+=-=-<tan 0C >所以.02C π<<当时，，所以，，此时锐角三角形.6a ≥tan tan 0A B ⋅>02A π<<02B π<<ABC 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 3a <-tan tan 0A B ⋅<,A B ABC 若，则，此时，所以，解得或（舍），tan tan A B =A B =tan tan 2a A B ==322a aa ⋅=+6a =2a =-当时，是等腰三角形.6a =ABC 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. ABC 故选：BCD12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则下列224sin 02A Bb a a +-+=结论正确的是（ ） A ．角C 一定为锐角 B ． 22220a bc +-=C ． D ．sin 2sin cos 0B A C +=3tan tan 0A C +=【答案】BCD【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断. 【详解】∵，∴， 224sin02A Bb a a +-+=224cos 02C b a a -+=即，∴， ()22cos 10b a a C -++=cos 02bC a=-<又，∴一定是钝角，故A 错误；()0,C π∈C 由余弦定理知，， 222cos 22a b c bC ab a+-==-化简得，，故B 正确；22220a b c +-=∵， ()()222222222tan sin cos sin cos 1tan cos sin sin cos 332a b c bc A A C A C a b C A C C A c b ab b c a +-⋅-==⋅=⋅==-⋅+-∴，3sin cos cos sin 0A C A C +=，C 正确；()sin 2sin cos 0sin 2sin cos 0A C A C B A C ++=⇒+=∴，D 正确； 3tan tan 0A C +=故选：BCD【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、填空题13．已知平面向量，，且，则 _________ . ()2,1a =- (),2b m = a b ⊥+= a b【分析】利用求出，再求出的坐标后可求其模长．a b ⊥ m a b +【详解】因为，故，，故， a b ⊥220m -=1m =()3,1a b += 故a +14．已知，且_____________. π0π2αβ<<<<cos αβ==αβ+=【答案】54π【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出. sin ,cos αβ()sin αβ+αβ+【详解】因为， π0π2αβ<<<<cos αβ==所以 sin α===cos β===所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛== ⎝因为，所以， π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<所以，54αβπ+=故答案为：. 54π15．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西A B D A B D 15︒、北偏东方向．再往正东方向行驶16海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏45︒C B C A C 西方向，则、两岛屿之间的距离为___________海里． 60︒A B【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形在中由正弦定理求得的值，在中求出ADC △AD BDC BD ，在中由余弦定理求得的值． ADB AB 【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，105ADC ∠=︒30ACD ∠=︒16CD =45DAC ∠=︒在中，由正弦定理得：，解得ADC △16sin 45sin 30AD=︒︒AD==又，，所以， 45BDC ∠=︒90BCD ∠=︒16BC DC ==BD =又，154560ADB∠=︒+︒=︒在中，由余弦定理得：ADB ， 222260384AB =+-⨯︒=解得AB =所以､两岛屿之间的距离为 A B 故答案为：四、双空题16．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．DE AB ⊥且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF +()DE DF DA +⋅____________．【答案】 11120【分析】设，由可求出；将化为关于BE x =222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ ()DE DF DA +⋅ x的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥， 22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅ ， 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，的最小值为. 310x =()DE DF DA +⋅ 1120故答案为：1；. 1120五、解答题17．已知复数（，是虚数单位）.123i,2i z a z a =+=-R a ∈i (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； 21z z +a (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 1z 260x x m -+=m 【答案】(1) 2a >-(2) 18m =【分析】（1）写出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的几何意义结合题意列出2z 21z z +方程组，从而可得出答案；（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案. 【详解】（1）解：，22i z a =+，()()1223i z z a a +=+++因为在复平面内对应的点落在第一象限，21z z +所以，解得；2030a a +>⎧⎨+>⎩2a >-（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根， 1z 260x x m -+=所以虚数也是一元二次方程的根， 13i z a =-260x x m -+=则，2111126,9z z a z z a m +==⋅=+=所以.3,18a m ==18．已知角是的内角，若，. A ABC),cos a A A = ()1,1b =-r (1)若，求角A 的值；a b (2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.()f x a b =⋅ ()f x a b 【答案】(1)；(2). 5π6(-【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A ，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并()f x 根据投影 的定义求在上的投影向量.a b 【详解】解：(1)∵角是的内角，∴，A ABC 0πA <<又，且，),cos a A A = ()1,1b =-r a b ∴，即，cos 0A A -=12cos 02A A ⎫⎪⎭+=∴， πsin 06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∵，∴， 0A π<<ππ7π666A <+<则，即； ππ6A +=5π6A =(2)， ()πcos 2sin 6f x a b A A A ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ ∵，∴要使取得最大值，则，即. ππ5π666A -<-<()f x ππ62A -=2π3A =∴， 2π2π31,cos ,3322a ⎫⎛⎫==-⎪⎪⎭⎝⎭∴在上的投影向量为. ab ()(1,1a b b b ⋅⋅=-=- 19．在①A = ，a =b =②a = 1，b = A = ；③a，b = ，B =这3π6π3π三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 ________ ，解三角形.【答案】；或 ②ππ232B C c ===，，2ππ136B C c ===，，【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可. 【详解】（1）选择条件①π3a b A==根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或，时，，不符合题意.π4B∴=3π4B=3π4B=πA B+>所以选择条件时，，此时，①π4B=ππ5ππA Bπ4312C=--=--=计算得：sinsina CcA===此时三角形的解只有一个，不符合题意.（2）选择条件.②π16a b A===，根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或π3B∴=2π3B=时，，此时计算得：π3B=ππππA Bπ632C=--=--=2c=时，，此时计算得：2π3B=π2πππA Bπ636C=--=--=1c a==选择条件，解三角形可得结果为：②或ππ232B C c===，ππ136B C c===，，（3）选择条件③π3a b B==根据正弦定理得：sinsin1a BAb===，此时，计算得：π2A∴=ππππA Bπ326C=--=--=c=此时三角形只有一个解，不符合题意.所以选择条件，解三角形结果为：或 ②ππ232B C c ===，ππ136B C c ===20．在中，角所对的边分别为，且．ABC , ,A B C ,,a b c ()cos =2cos a B c b A -（1）求角；A （2）若向量，求的取值范围． ()2cos ,2cos ,0,sin 2c mB A n æöç÷ç÷è==ø2m n - 【答案】（1）；（2）． 3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得；A （2）由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由（1）求得角范C 围，结合余弦函数性质可得结论．【详解】解：（1）在中，ABC cos =(2)cos a B c b A -由正弦定理：，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，因为，故，sin 2sin cos C C A =(0,)C π∈sin 0C >从而，又，所以． 1cos 2A =(0,)A π∈3A π=（2） ()2cos ,10),si ,n 2(n C m B == 22cos ,12si )c n ((o = ,cos s 2C m n B B C -=- 2222cos cos m n B C -=+ 1cos 21cos 222B C ++=+)11cos 2c (os 22B C =++ ]12=1+[cos2223()cos C C p +-4()co ]11[cos 222s 3C C p -+=+]1=1+[22cos 221cos 2C C C +--111[cos 2]222C C =+- 11cos(2)23C π=++因为，， 203C π<<52333C πππ<+<11cos 232C π⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以 1151cos 22234C π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭所以2152,24m n éö÷-Îê÷êëø 所以． 2m n -Î21．如图，在四边形中，，，ABCD 34ABC π∠=AB AD⊥AB =（1）若的面积；AC =ABC ∆（2）若，，求的长. 6ADC π∠=CD =AD【答案】（1）；（2.12【分析】（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得从而，在sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭1=sin 4x πθ⎛⎫-⎪⎝⎭ACD ∆中，由正弦定理得θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin ∠CAD ．再利用余弦x 定理可得结果.【详解】（1）因为，34ABC π∠=AB =AC =所以，即，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2230BC BC +-=所以.1BC =所以. 11122ABC S =⨯= （2）设，，则， 04BAC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AC x =2CAD πθ∠=-在中，由正弦定理得：， ABC ∆sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以； 1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，，所以. ACD ∆sin sin 62x CD ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭x =即，1sin 4πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 2θ=所以，sin cos CAD θ∠=所以AC x ==cos CAD ∠=所以在中，.ACD ∆2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠即，解得（舍）.2220AD --=AD =AD =【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知的最小正周期是． ()()21sin cos (0)2f x x x x f x ωωωω=->π(1)求的值；ω(2)若，求值； ()4π7π5312f αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭sin2α(3)当时，讨论方程的根的个数． π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6f x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】(1)；1ω=； (3)答案见解析.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合函数的最小正周期计算作答.()f x （2）利用（1）的结论，结合平方关系及和角的正弦公式求解作答.（3）求出函数，并探讨在上的性质，由函数值的变化情况即可推理作答. π()6y f x =+π[0,2【详解】（1）依题意， 1cos 21cos 2π()22sin(22226x x f x x x x ωωωωω-=-=-=-函数的最小正周期，解得， ()f x 2ππ2ω=1ω=所以的值是1.ω（2）由（1）知，，于是，而， π()sin(2)6f x x =-π4()sin(2)65f αα=-=π7π312α≤≤则，， ππ2[,π]62α-∈π3cos(2)65α-=-所以 ππππππsin2sin[(2sin(2cos(2)sin 666666αααα=-+=-+-. 431()552=+-⨯=（3）由（2）知，函数，显然， πππ(sin(2),[0,662f x x x +=+∈ππ7π2[,]666x +∈函数在上单调递增，函数值由增大到1，在上单调递减，函数值由1减小π()6y f x =+π[0,612ππ[,62到， 12-则当或时，方程的根的个数为0； 12k <-1k >π()6f x k +=当或时，方程的根的个数为1； 1k =1122k -≤<π(6f x k +=当时，方程的根的个数为为2. 112k ≤<π()6f x k +=。
江苏高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则（ ） ()3,4a = ()1,2a b -= a b ⋅=A ．5B ．14C ．D ．6-【答案】B【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.a【详解】因为，，所以， ()3,4a = ()1,2a b -= ()()1,22,2b a =-=所以.324214a b ⋅=⨯+⨯=故选：B. 2．已知，则（ ） 1cos 3α=sin sin2αα=A ．B ．C ．D ．1272278271627【答案】D【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案. 2sin α【详解】因为，所以； 1cos 3α=228sin 1cos 9αα=-=所以. 28116sin cos 29327sin sin22αααα=⨯==⨯故选：D.3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，则塔尖之间的AC =BC =45MCA ∠=︒30NCB ∠=︒120MCN ∠=︒MN 距离为（ ）米.A ．80B ．120C ．D ．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.,MC NC MN【详解】，80,160MC NC ====在三角形中，由余弦定理得：MCN米.MN ===故选：D4．在中，，，则（ ） ABC 4cos 5A =()1tan 3A B -=tan B =A ．B ．C ．D ．139139559【答案】A【分析】先求出，根据可求答案. tan A ()1tan 3A B -=【详解】因为在中，，所以为锐角，且， ABC 4cos 5A =A 3sin 5A =所以； sin 3tan =cos 4A A A =因为，所以， ()1tan 3A B -=tan tan 1=1tan tan 3A B A B -+即，解得. 933tan 1tan 44B B -=+1tan 3B =故选：A.5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为ABC D BC 2AE ED =ED xAB y AC =+ 19x y+（ ）A ．B ．16C ．48D ．60163【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.2,AE ED =13ED AD =331x y +=【详解】, 12,3AE ED ED AD =∴=,，又B ，D ，C 三点共线， 13AD x AB y AC =+33AD xAB y AC =+331,0,0,x y x y ∴+=>>, ()1919327333273048y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当即当时取最小值. 1948x y ∴+≥327,y x x y =11,412y x ==故选:C.6．已知，且，，则（ ）π02βα<<<()12cos 13αβ-=3cos25β=()sin αβ+=A ．B ．C ．D ．6365336548651665【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为所以， π02βα<<<π02αβ<-<又，所以，()12cos 13αβ-=()5sin 13αβ-===因为，所以， π02β<<02πβ<<因为，所以， 3cos25β=4sin 25β==所以. ()()()()sin sin[2]sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ+=-+=-+-531246313513565=⨯+⨯=故选：A7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长ABC A B C a b c 1b =22cos a c C -=ABC 的最大值为（ ）A B C ．3 D ．113【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B ，利用余弦定1cos 2B =理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. a c +【详解】由,可得, 1b =22cos a cC -=2sin sin 2sin cos A C B C -=即，即， 2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=2cos sin sin 0B C C -=因为，故， ()0,π,sin 0C C ∈≠12cos 10,cos 2B B -=∴=而，故， (0,π)B ∈π3B =故，即，2222cos ()31b a c ab B a c ac =+-=+-=22()()31314a c a c ac ++=+≤⨯+解得，当且仅当时取等号，02a c <+≤1a c ==故周长的最大值为， ABC 213+=故选：C8,且,,则（ ） cos cos αββα=-()0,πα∈()0,πβ∈αβ-=A ．B ．C ．D ． π3π3-2π32π3-【答案】C【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从αβ-αβ-而求出.αβ-【详解】,()0,πα∈ ()0,πβ∈,,sin 0,sin 0αβ∴>>cos cos 0βα∴->又时,是减函数,,. ()0,πx ∈ cos y x =αβ∴>0παβ∴<-<由和差化积公式可得:,2sincos2sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=,,,,()0,πα∈ ()0,πβ∈sin02αβ+∴>,∴sin22αβαβ--=,又,, ∴tan2αβ-=0παβ<-< π23αβ-∴= 2π3αβ∴-=故选:C.二、多选题9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是ABCD 5AB =4BC =E F BC CD （ ）A ．B ．12AE AB AC =+ 12AF AB AD =+ C ． D ．41AE AF ⋅=25AC AB ⋅=【答案】BD【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可. 【详解】如图建系，，()()()()()50,0,5,0,5,4,0,4,5,2,,42A B C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭,A 选项错误;()()155,05,412,2212AB AE AC ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭+,B 选项正确; ()()1155,00,4,4222AB AD AF ⎛⎫++== ⎪⎝⎭=,C 选项错误;()5255,2,484122AE AF ⎛⎫⋅=⋅=+≠ ⎪⎝⎭,D 选项正确. ()()5,45,0554025AC AB ⋅=⋅=⨯+⨯=故选：BD.10．下列代数式的值为1的是（ ） A ． B ． 4sin75cos75︒︒22cos 15sin 15︒-︒C ． Dcos15sin15-︒︒【答案】AD【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案. 【详解】对于A ，，A 正确； 14sin75cos7502si 5n1︒︒=︒=对于B ，，B 不正确； 22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=对于C， cos15sin15i 5n15⎫︒︒=︒︒-⎪⎪⎭C 不正确； )cos45cos15sin45sin15=︒︒︒︒=︒=-对于D ，D 正确. ()tan60tan15tan 601511tan60tan15︒-︒==︒-︒=+︒︒故选：AD.11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（ ）ABC A B C a b cA ．若，，，则是钝角三角形 2a =3b =4c =ABCB ．若，则是等腰三角形 sin2sin2A B =ABC C ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C >ABCD ．若，则为锐角三角形 cos cos cos 0A B C ++>ABC 【答案】AC【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案. 【详解】对于A ，因为，，，所以为最大角，2a =3b =4c =C ，所以是钝角三角形，A 正确；22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯ABC 对于B ，因为，所以或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=即或，是等腰三角形或直角三角形，B 不正确； A B =π2A B +=ABC 对于C ，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C 正cos cos cos 0A B C >cos ,cos ,cos A B C ABC 确；对于D ，当时，满足，但是为钝角三角形，D 不正π2π,63A B C ===cos cos cos 0A B C ++>ABC 确. 故选：AC.12．已知，则的值用可以表示为（ ） sin10a = 2231sin 40cos 40- a A ．B ．C ．D ．2841a a +-2421a a +-16a 32a 【答案】AD【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案. 【详解】 222222313cos 40sin 40sin 40cos 40sin 40cos 40--=， ()()2222311cos801cos8048cos8048sin1048221cos 101sin 101sin 804a a +--+++====--又 ()sin30sin 310=⨯sin(1020)sin10cos 20cos10sin 20=+=+22sin10(12sin 10)2sin10cos 10=-+ 313sin104sin 102=-=， 31342a a ∴-=故，得到 3681a a -=()()3222246883214832111a a a a a a a a a a-+-+===---故选：AD三、填空题13．向量在向量方向上的投影向量______. ()3,4a = ()1,2b =- c =【答案】()1,2-【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】向量在向量方向上的投影向量是. ()3,4a = ()1,2b =- ()1,2a bb b b⋅⋅==-故答案为：()1,2-14．函数的最小值为______. ()2sin cos2f x x x =-【答案】32-【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.()f x 【详解】，()22sin cos22sin 2sin 1f x x x x x =-=+-，根据二次函数的性质可知，1sin 1x -≤≤当时，取得最小值. 21sin 222x =-=-⨯()f x 2113221222⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32-15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______,a b a b a -= ()0a a b ⋅-= a b - b【答案】135°或者34π【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB 为等a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，，则，a OA=b OB = a b OA OB BA -=-= 若||＝||，，即||＝||，且⊥，a b - a ()0a a b ⋅-= BA OA OA BA 则△OAB 为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°＝135°， a b - b故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．四、双空题16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且ABD △1AB AD ==DAB θ∠=B DBC ，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.BC BD =θ=AC【答案】3π41【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此2π34AC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈时的值.θ【详解】在中，由余弦定理得ABD △，2222cos 112cos 22cos BD AD AB AD AB DAB θθ=+-⋅∠=+-=-故，，BC =()0,πθ∈π0,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，，所以， π2ABC θ-∠=π2DBC ∠=πππ222ABC ABC DBC θθ-∠=∠+∠=+=-故2222cos 122cos π2AC AB BC AB BC ABC θθ⎛⎫=+-⋅∠=+--- ⎪⎝⎭32cos 32cos 22θθθθ=-+=-+，π32cos 4sincos2sin 2cos 33224θθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，()0,πθ∈ππ3π,444θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故当，即时，取得最大值，最大值为，ππ42θ-=3π4θ=2AC 3故AC 1=故答案为：，3π41五、解答题17．已知.()πsin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值域；()f x (2)若，，求的值.()35f α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α【答案】(1) []1,1-【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得； （2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可. 【详解】（1）， ()11sin sin cos sin cos 3226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以的值域为 ()f x []1,1-（2）由（1）得，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ππ2π,663⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭α所以.π4sin 65α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-⨯=18．已知，. π02α<<21sin 12sin 22αα=-(1)求的值； tan2α(2)若，，求的值. π02β<<2tan 2tan 30ββ--=αβ+【答案】(1)43-(2) 3π4【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然tan 3β=()tan 1αβ+=-后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以， 21sin 12sin 22αα=-1sin cos 2αα=所以，所以tan 2α=22tan 224tan21tan 143ααα⨯===---（2）因为，所以或. 2tan 2tan 30ββ--=tan 3β=tan 1β=-因为，所以，所以. π02β<<tan 0β>tan 3β=所以()tan tan 23tan 11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯因为，，所以，所以. π02α<<π02β<<0παβ<+<3π4αβ+=19．在中，角的对边分别为.已知. ABC ,,A B C ,,a b c cos cos cos a b cA B C+=+(1)求角的大小；A (2)若为线段延长线上一点，且，求. D BC ,3BA AD BD CD ⊥=sin ACD ∠【答案】(1)； π3【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角()()sin sin A B C A -=-性质即可求的大小；A（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求ACB θ∠=2BC CD =ACD ACB △tan θ=角三角函数关系、诱导公式即可求的大小. sin ACD ∠【详解】（1）由正弦边角关系得：， sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+所以sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+则，即， sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-()()sin sin A B C A -=-所以（舍）或，故 . πC B -=2B C A +=ππ23A A A -=⇒=（2）设，且，ACB θ∠=2BC CD =在中，①， ACD ππsin sin 66CD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，②， ACB △ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，πsin 3πsin 6θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭tanθ⇒=所以sin si n ACD θ∠==20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.αβP Q(1)若，求的值； 13,22OP OQ ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()cos αβ-(2)若，，求的值. π6α=OP OQ -= 2cos 2π3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)14(2) 4781-【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；,OP OQ （2）根据，根据倍角公式可得答案. OP OQ -= ()8cos 9βα-=【详解】（1）因为，，()cos ,sin OP αα= ()cos ,sin OQ ββ= 所以， ()13cos cos ,sin sin ,22OP OQ αβαβ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以， 1cos cos 23sin sin 2αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式平方相加，得， ()522cos 2αβ+-=解得. ()1cos 4αβ-=（2）因为OP OQ -=== 所以. ()8cos 9βα-=因为，所以. π6α=π8cos 69β⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以 2πcos 2πcos 2π36ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2ππcos22cos 166ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 284721981⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，ABCD 他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是AC 2AD DC ==1AB =3BC =AC 3cos 4cos B D -定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和ABC ADC △1S 2S ，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题： 2212S S +(1)求出的值；3cos 4cos B D -(2)求的最大值.2212S S +【答案】(1)1(2)498【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案； 2AC （2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.2212,S S 【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，ABC 1AB =3BC =. 2222cos 196cos 106cos AC AB BC AB BC B B B =+-⋅=+-=-同理，在中，.ADC △288cos AC D =-所以，106cos 88cos B D -=-所以.3cos 4cos 1B D -=（2）由（1）可知； 3cos 1cos 4B D -=在中， ABC ， ()2222211199sin 13sin sin 1cos 2244S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理可得，在中，ADC △. ()()222221344cos 43cos 152cos 3cos 44S D B B B =-=-⨯-=⨯+-令，则cos B x =， ()()()22222212933314915233434422612S S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫+=-++-=-++=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值，最大值为. 16x =2212S S +498所以，当时，的最大值为. cos 16B =2212S S +49822．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB P Q AC BC 上异于，的动点，且.C B 120PMQ ∠=︒(1)当时，求的长度；120MQB ∠=︒PQ(2)若为的中点，设，求的取值范围.N PQ ()90120MQB θθ∠=︒<<︒22MN NP - 【答案】(1)PQ =(2)(1,6--【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求； ,MP MQ PQ （2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒MQB θ∠=θ,MP MQ 22MN NP - MP MQ ⋅ 等变换的知识可求范围.【详解】（1）在直角中，，，为的中点， ABC 90C ∠=︒24AB AC ==M AB 所以，.30B ∠=︒2MB =在中，，，，MQB △120MQB ∠=︒30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得sin sin MB MQ MQB B=∠sin 2sin B MQ MB MQB ==∠在中，，同理，由正弦定理可得. MPA △2,30,60MA AMP A =∠=︒=︒MP =在中，，，MPQ 120PMQ ∠=︒MQ MP =根据余弦定理，2222cos PQMP MQ MP MQ PMQ =+-⋅∠得， 241193323PQ ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭所以PQ =（2）在中，，，，MQB △MQB θ∠=30B ∠=︒2MB =根据正弦定理，得. sin sin MB MQ MQB B=∠sin 1sin sin B MQ MB MQB θ==∠同理，在中，MPA △MP =因为， ()()()()22MN NP MN NP MN NP MN NP MN NQ MP MQ -=+⋅-=+⋅+=⋅所以 ()1cos120sin sin 210MP MQ MP MQ θθ⋅=︒=︒-== （用积化和差化简不扣分）=因为，所以，所以，90120θ<<︒︒1802240θ<<︒︒150230210θ︒︒<-<︒所以，所以()1cos260θ-≤-︒<()1cos230θ-≤-︒<所以16-<≤-所以的取值范围为.MP MQ⋅(1,6--。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学
一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线033=-+y x 的倾斜角的大小为（ ）
A. 6π
B. 3π
C. 32π
D. 6
5π
2.在ABC ∆中，3
A π
∠=，3BC =，AB =，则C ∠的大小为（ ）
A. 6π
B. 4π
C. 2π
D. 3
2π
3.点P 是直线02=-+y x 上的动点，点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为（ ）
A. 12-
B.1
C.12+
D.2 4．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为（ ）
A. ),2()41,(+∞⋃-∞
B. )1,41(
C.
),1()4
1,(+∞⋃-∞ D. ),1[]4
1
,(+∞⋃-∞
5． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝2 3 ，则a ＋b ＋c
sinA ＋sinB ＋sinC
等于
（ ）
A ．1
B ．2 3
C ．4
D ．4 3
6．圆x 2
+y 2
+4x ﹣4y ﹣8=0与圆x 2
+y 2
﹣2x+4y+1=0的位置关系（ ） A. 相交 B. 外离 C. 内切 D. 外切 7. 直线 ,m n 和平面α， 若n m ,与平面α都平行，则直线 ,m n 的关系可以是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 以上都有可能 8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若sin 3sin cos A C B =，且2c =，则ABC ∆的面积最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．
处.
9. 已知R m ∈，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 若12//l l ，则实数m 的值为 ．
10. 在△ABC 中，已知BC=2，AC=7，,3
2π
=B ，那么△ABC 的面积是 ．
11．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ， 90=∠ABC ，
1===BC AB PA ，则PC 与平面PAB 所成角的正切值．．．
为 ． 12．如果平面直角坐标系中的两点A )1,1(+-a a ，B ),(a a 关于直线L 对称，那么直线L 的方程为 ．
13. 若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有三个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R 的值为___________.
14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
A c C a
B b cos cos cos 2+=,则角B 的值 ．
15．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进10
3
米后到
点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_____米．
P
A B
C
（第11题）
C
D E A
B
θ
2θ 4θ
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为22420
+-+=．若直线
x y x y =+上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 3
y x b
的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中
点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF//平面PDC．
18. （10分）在ABC
∆中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
=+.
a b C B
cos sin
（1）求角B的值；
（2）若
a=，求b的值.
∆的面积S=5
ABC
19. （12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿
正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 小时追上，此时到达C 处．
（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．
20. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，ABC AA 平面⊥1,底面为正三角形，AB ＝AA 1，D 是BC 的中点，P 是CC 1的中点. 求证：（1）A 1B//1AC D 平面； （2）11B P AC D ⊥平面.
21. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及
点(1,0)A -，(1,2)B ．
（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；
（2）在圆C 上是否存在点P ，使得22
PA +
P 的
个数；若不存在，说明理由．
22．（14分）如图，圆，：1)2(22=+-y x M 点)1(t P ，-为直线1-=x l ：上一动
点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B . （1）若，1=t 求切线所在直线方程； （2）求AB 的最小值；
（3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求ST 的最小值.。