最新高三数学第二轮专题复习三角函数式的化简与求值教学设计

合集下载

高中数学_三角函数式的化简求值教学设计学情分析教材分析课后反思

4、采用学生板演的方式，加深了板演学生的印象，真正做到“有则改之，无则加勉”
5、学生犯错误的过程，及其他学生进行纠正的过程加深了学生对知识的理解，增强了应用的自如性，提高了学习的兴趣。
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人：学校：
教材分析
纵观近几年的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数考题，他们形式独特、背景鲜明、
知识回顾：第三章的公式
出示自主检测
展台展示第三章公式
口头展示自主检测答案及解题方法
教师读课标分析、学习目标，更深入了解要学习的内容，从高考题入手说明这一部分重要性
让学生回顾公式，归纳总结
让学生解决自主检测
引导学生展示并给予鼓励
培养学生掌握学习的方法，以达到事半功倍的效果。
培养学生自主探究的能力的能力，培养归纳总结的能力
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人：学校：
课标分析
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简求值和恒等式证明。
自主检测
当堂检测
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人：学校：
课后反思
由于近几年三角函数知识和向量在高考题中呈现形式精彩纷呈，题目在高考题中属于中低档题，学生还是不易拿到分，三角函数的化简与求值要求学生会灵活运用，能准确地进行计算，所以选定本课题。
在教学中创新之处：
1、以学生为主体、教师为主导教学。
课题名称：三角函数式的化简和求值人教版·必修4

三角函数的化简与求值(教学案)

三角函数的化简与求值（教学案）【热身训练】1．计算sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝________.解析：原式＝－sin 16°cos 46°＋cos 16°sin 46°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12.2．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.3．已知cos(75°＋α)＝13，则c os(30°－2α)的值为________．解析：设75°＋α＝t ，则α＝t －75°，且cos t ＝13，所以cos(30°－2α)＝cos(30°－2t ＋150°)＝cos(180°－2t )＝－cos 2t ＝－(2cos 2t －1)＝79.4．(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan[(α－π4)＋π4]＝α－π4＋tan π41－α－π4π4＝16＋11－16＝75.【热点追踪】在数学高考中，三角函数的化简与求值问题一直是必考内容之一，其中三角函数的恒等变形更是高考考查的重点．三角的化简与求值有时还会与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形、应用题等相融合，体现高考在知识交汇处命题这一理念. （一）给值求值问题例1. 已知sin(α＋π6)＋cos α＝－33，求cos(π6－α)的值．解析：由sin(α＋π6)＋cos α＝－33，展开化简可得sin(α＋π3)＝－13，所以cos (π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin(α＋π3)＝－13.变式1 已知tan(π6－α)＝33，则tan(5π6＋α)＝________.解析：tan(5π6＋α)＝tan[π－(π6－α)]＝－tan(π6－α)＝－33.变式2 已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________.解析：设θ＋15°＝t ，则θ＝t －15°，且sin t ＝45，cos t ＝35，所以cos2t ＝2cos 2t －1＝－725，sin 2t ＝2sin t cos t ＝2425，所以2θ－15°＝2t －45°，所以cos(2θ－15°)＝cos(2t －45°)＝22(cos 2t ＋sin 2t )＝17250. （二）三角恒等变换的有关应用例2. 已知α，β∈(0，π2)，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值．变式1 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即sin αcos β＝12sin βcos α＝13，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－13. 变式2 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，求sin(2α＋π4)＋2cos π4cos 2α的值．解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝3.sin(2α＋π4)＋2cosπ4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋22(1＋cos 2α)＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＋22＝22·2×332＋1＋2·1－321＋32＋22＝0.（三）三角函数中求角问题例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标．．．是31010，点B的纵坐标．．．是255.(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．变式1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是2 10.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标．解析：(1)在△AOB中，由余弦定理得，cos∠AOB＝OA2＋OB2－AB22OA·OB＝12＋12－25522×1×1＝35，即cos β＝35. (2)因为cos β＝35，β∈(0，π2)，所以sin β＝1－cos 2β＝1－352＝45.因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513，因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sinαcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B (－3365，5665)．【乘热打铁】1．已知α∈(π，3π2)，且cos α＝－45，则tan(π4－α)＝________.解析：tan α＝34，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan a ＝1－341＋34＝17.2．已知θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，则sin θ＝________.解析：因为θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，所以sin(θ＋30°)＝35，所以sin θ＝sin[(θ＋30°－30°)]＝sin(θ＋30°)cos 30°－cos(θ＋30°)sin 30°＝35×32－45×12＝33－410.3．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β.解析：(1)由m ⊥n 得，2cos α－s in α＝0，tan α＝2，故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35.(2)由α∈(0，π2)，β∈(0，π2)得，α－β∈(－π2，π2)．因为sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.则sin β＝sin[(α－(a －β)]＝sinαcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因β∈(0，π2)，得β＝π4.4．(2017·苏州摸底考试)在平面直角坐标系中，设向量m ＝(3cos A ，sin A )，n ＝(cos B ，－3sin B )，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．(1)若m ⊥n ，求证：C 为直角； (2)若m ∥n ，求证：B 为锐角．＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3tan B ＋tan B 1＋3tan 2B ＝－2tan B1＋3tan 2B<0，所以tan B >0，即证B 为锐角．。

高中数学复习专题讲座(第16讲)三角函数式的化简与求值

题目高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决快速阅读记忆：英语单词速记：/?id=330 更多资料下载：典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托熟知三角公式并能灵活应用错解分析公式不熟，计算易出错技巧与方法解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值命题意图本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托二次函数在给定区间上的最值问题错解分析考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错技巧与方法利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或－22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值命题意图本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析在求f -－1(1)的值时易走弯路技巧与方法等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-=+==- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=56)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A21B －2 C34 D21或－2 2 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2 答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π36556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－2cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π) ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为 AB 的中点，P (21,23)8 解设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x 232-t2max 0.5min 0.50.50.514248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=++====>∴======- 当且仅当即在时是减函数时此时课前后备注。

高考数学《三角函数》专题三角函数的化简和求值学案

第5课时三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法 ① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π]、（2,2ππ-）的角．例1. （1）化简：οοοοο40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos +++（2）化简：xx x x 4466cos sin 1cos sin 1---- 解：∵οοοο10cos 10sin 310cos 10tan 31+=+ ＝οοοοο10cos 50cos 210cos )1060cos(2=- ∴原式 οοοοοοοοοο20cos 220cos 220cos 2140cos 20cos 270sin 10cos 50cos 50sin 240cos 222=+=⋅+==2 变式训练1：已知xx x f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为．解：αsin 2 例2. 已知0cos 2cos sin sin 622=-+αααα，α∈[2π，π]，求sin （2α＋3π）的值．解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0典型例题基础过关⇔3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠2π即α∈(2π,π) ∴tanα＝－32 sin(2α＋3π)＝sin2αcos 3π＋cos2αsin 3π ＝sinαcosα＋23(cos 2α－sin 2α) ＝αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⨯++ ＝αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-+++＝2635136+-解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠2π 从而条件可化为 6 tan 2α＋tanα－2＝0∵α∈(2π,π) 解得tanα＝－32(下同解法一) 变式训练2：在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积．解：∵sinA＋cosA ＝22 ①∵2sinAcosA＝－21 从而cosA ＜0 A∈(ππ,2) ∴sinA－cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26②据①②可得 sinA ＝426+ cosA ＝426+- ∴tanA＝－2－3 S △ABC ＝4)26(3+例3. 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ①由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) 得0＜α＜2π ∴ 0＜2α＜π 由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ② ∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．解：由sinα＝415 α为第二象限角∴cosα＝－41 ∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++ ＝αcos 221＝－2例4．已知310cot tan ,43-=+<<ααπαπ．（1）求tanα的值；（2）求)2sin(282cos 112cos 2sin 82sin 522πααααα--++的值．解：（1）由310cot tan -=+αα 得03tan 102tan 32=++α 解得tanα＝－3或31tan -=α又παπ<<43，所以31tan -=α为所求．（2）原式：ααααcos 282cos 111sin 42cos 15--+⋅++-⋅=ααααcos 2216cos 1111sin 8cos 55--+++-=625226tan 8cos 22cos 66sin 8-=-+=-=αααα 变式训练4：已知k =++αααtan 12sin sin 22（4π<α<2π），试用k 表示sin α－cos α的值．解：∵αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++ ∴k＝2sinαcosα∵(sinα－cosα)2＝1－k又∵α∈(2,4ππ) ∴sinα－cosα＝k -1 析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度② 变换函数名③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．小结归纳。

2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第3讲第2课时三角函数式的化简与求值课件

23πsin x
＋
sin
π 3
－ 2sin
π 3
－
3 cos
23－
3＋
3×12cos x＝0.
2π
3
cos
x ＝ 12＋1－
3×
3
2
sin
x＋
解法二：原式＝ sin x＋π3 － 3 cos π－x＋π3 ＋ 2sin x－π3 ＝ 2sin x＋π3＋π3 ＋ 2sin x－π3 ＝ 2sin x＋23π ＋ 2sin x－π3 ＝ 2sin π＋x－π3 ＋ 2sinx－π3＝－2sin x－π3＋2sinx－π3＝0.
[误区警示] 本题极易求得两解，问题出在∠B 上，因为由 sin B＝153，可得两个 B 值，考虑 A 的因素，只有一个适合，因此 sin C 只有一个结果．
2．(2024·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( D )
tan(α＋5β)＝( B )
A．151
B．121
C．121
D．151
[解析] 因为 tan(α＋2β)＝3，所以 tan 2(α＋2β)＝1－2tatannα2＋α＋2β2β＝1－6 9＝－34，所以 tan(α＋5β)＝tan[2(α＋2β)－(α－β)] ＝1t＋anta2nα2＋α2＋β2－βt·atannαα－－ββ ＝1＋－－34－34×2 2＝121.故选 B．
∴12sin
α＋
3 2 cos
α＝13，
∴cosα－π6＝13，
∴sin2α＋π6＝sin2α－π6＋2π ＝cos 2α－π6 ＝2cos2α－π6－1 ＝2×132－1＝－79.

高中数学_三角函数求值教学设计学情分析教材分析课后反思

三角函数求值教学设计一、教学目标：1、知识与技能：掌握三角函数求值的各种公式，并对不同类型的问题，能选择正确的公式进行计算。

2、过程与方法：通过探究学习和小组合作交流学习，培养学生的归纳总结和合作互助的精神与能力。

3、情感态度价值观:通过问题情境的设置，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而提升学生的数学素养，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质和扎实严谨的科学观。

二、教学重点、难点重点：掌握各种三角函数的求值公式；难点：综合运用三角函数求值公式进行恒等变换解决相关求值问题。

三、教学方法本节课采用探究、归纳、小组合作、启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以三角求值为主线，从问题出发，放手让学生探究思索，得出方法和技巧，再应用到实际解决问题中去。

以现代信息技术为教学辅助手段，使学生体会到各种三角求值题目对本节知识和公式的考察方式，加深学生对三角函数求值的理解。

的值。

10),10βα-=且课后限时训练A.-B.C.D.- 2.tan(-570°)+sin240°= ( ) A.- B. C. D. 3．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（）A.21 B. —21C. 23D. —234.=-+0tan50tan703tan50tan70 （） A. 3 B.33 C. 33- D. 3- 5.5310,cos ,+510αβαβαβ==-设，为钝角，且sin 求的值. B 、提高组已知71tan ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．关注学生差异，注重分层设计题目。

1、板书设计：2、时间安排：课题引入：1分钟复习回顾：5分钟例1及变式1：6分钟例2及变式2：15分钟例3及变式：15分钟三角函数求值常见题型与公式例1 1、三角函数定义例1小结 2、知角求值 3、知值求值（角）例2 4、化简求值例2小结例3 例3小结屏幕投影课堂总结：3分钟学情分析：本节课面对的是高一学生，与高三学生相比，虽然在前面学生已经掌握了三角函数定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式，简单的三角恒等变换公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，但学生的推理、运算能力仍有不足，在数学的应用意识和应用能力方面尚需进一步培养。

2021-2022年高三数学总复习专题二第1讲三角函数(3)教学案

2021年高三数学总复习专题二第1讲三角函数（3）教学案教学内容：三角函数的图象与性质（3）教学目标：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、基础训练：1. 【xx 高考安徽卷文第7题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是2. 【xx 高考大纲卷文第2题】已知角的终边经过点（-4,3），则cos=3. 【xx 高考大纲卷文第14题】函数的最大值为 .二、例题教学：例1、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π (1)求当f(x)为偶函数时φ的值；复备栏(2)若f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间．解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k ∈Z.∴f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12，k ∈Z.变式训练：已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋3cos2ωx－32(ω>0)，直线x ＝x1，x ＝x2是y ＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4. (1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解：(1)f(x)＝12sin 2ωx＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx＋32cos 2ωx＝sin(2ωx＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2， T ＝2π2ω＝πω＝π2， ∴ω＝2，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g(x)＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x≤π2，课后反思： ∴－π6≤t≤5π6. g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k<12或－k ＝1∴－12<k≤12或k ＝－1巩固练习：完成专题强化训练。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三数学第二轮专题复习：三角函数式的化简与求值高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决典型题例示范讲解
例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值错解分析公式不熟，计算易出错技巧与方法解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－21cos40°+2
1
cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－21cos40°－41cos40°－
43sin40°+43sin40°－2
3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41
解法二设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°
y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+
3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4
1，
即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=1 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2
1
的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值知识依托二次函数在给定区间上的最值问题错解分析考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错技巧与方法利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类等解由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得 f (a )＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122
)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 或－22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+2
1，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5
例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +
3π)－3sin 2x +sin x cos x
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；
(3)若当x ∈［12π
，12
7π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值命题意图本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析在求f -－1(1)的值时易走弯路
技巧与方法等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π
)－3sin 2x +sin x cos x
=2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x
=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +
3π
)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2
π，即x =k π－
125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π
，故f -－1π 例 4 已知2π
＜β＜α＜
43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________
解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－βπ π＜α+β＜4
3π,
∴54sin(),cos().135αβαβ-==+=- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+co s(α－β)sin(α+β)
.65
56)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－5
4, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572 sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21
=-- 学生巩固练习
1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2
βα+的值是( ) A 21
B －2
C 34
D 2
1
或－2 2 已知sin α=53，α∈(2
π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______
3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=13
5，则sin(α+β)=_________ 4 不查表求值:.10cos 1)
370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒ 5 已知cos(4π
+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值参考答案 1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0, 又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2
π,0), 又tan(α+β)=342
tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2
=β+α-β
+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2
β+α=－2 答案 B 2 解析 ∵sin α=53,α∈(2
π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=2
1可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 3
1()2
βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 224
1()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-答案 247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π53 65
56)sin(.65
5613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]4
3()4cos[(]2
)43()4sin[()sin(.13
12)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即
4 答案 2 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5
4)4sin(,2435,471217.25
7)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ
又解。