24三角函数化简、求值、证明(一)
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
三角函数的化简详解
三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 【例1】证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin22+=++证明：左边ααααααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22+⋅+⋅=ααααααααααααc o s s i n 1c o s s i n )c o s (s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2s i n 2224224=+=++=右边ααααααααααcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类．【例2】 已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22=-=-θθθθ和，且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22θθθθ显然0cos ≠θ，由①×θ2cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ又0≠a ，∴ab-=θcos 代入①得a a b b a 2223=+0)(222=-⇔b a ∴22b a =点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径．【例3】 化简)10tan 31(50sin 00+解：原式=000000010cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+ 110cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 000000000===+⋅=点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为ββα-+)(；α2可变为)()(βαβα-++；βα-2可变为αβα+-)(；α可视为2α的倍角；)45(0α±可视为)290(0α+的半角等等．【例4】（2005年全国卷）设α为第四象限角，若513sin 3sin =αα，则=α2tan _______. 解： 513tan 1tan 3tan 2tan tan 2tan sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22=+-=-+=-+=αααααααααααααααα ∴91tan 2=α 又∵α为第四象限角 ∴31tan -=α∴43tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 点评这里将α3写成αα+2，将α写成αα-2是解题的切人点．根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键．【例5】已知锐角α、β满足)cos(2csc sin βααβ+=，2πβα≠+，求βtan 的最大值及β的值。
【高考风向标】高考数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 文
设 φ(t)＝t＋4t ，由(1)知 t∈[1， 2]， ∴φ′(t)＝1－t42<0， 即函数 φ(t)在区间[1， 2]上是减函数， 其最小值为 φ( 2)＝ 2＋ 42＝3 2. 即 x＝π4时，函数 f(x)的最小值为 3 2. 【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如： 若 sinα＋cosα 是“一次”，则 sinαcosα 是“二次”；若 1＋k是“一 次”，则 2k＋1 是“二次”等．
∵x∈0，2π，∴x＋π4∈π4，34π. ∴ 2sinx＋π4∈[1， 2]． ∴sinx＋cosx 的取值范围是[1， 2]． (2)设 t＝sinx＋cosx，则 t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1. 则 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5＝t2＋t 4＝t＋4t .
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的 三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分 母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数 f(x)的最小值．
正解：(1)sinx＋cosx＝
2
22sinx＋
2
2
cosx
＝ 2cos4πsinx＋sinπ4cosx＝ 2sinx＋π4.
2．三角公式的三大作用 (1)三角函数式的化简． (2)三角函数式的求值． (3)三角函数式的证明． 3．求三角函数最值的常用方法 (1)配方法． (2)化为一个角的三角函数． (3)数形结合法． (4)换元法． (5)基本不等式法等．
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值在高考数学中，三角函数式的化简与求值是一个很常见的难点。
在解决这一难点时，我们需要掌握一些基本的化简公式和常用的解题技巧。
首先，我们来回顾一下一些常见的三角函数化简公式：1.两角之和的三角函数公式：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinBcos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)2.两角之差的三角函数公式：sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3.倍角的三角函数公式：sin2A = 2sinA·cosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)4.半角的三角函数公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]（在这里需要根据A的范围来确定取正还是取负）掌握了这些基本的化简公式后，我们可以运用它们来解决一些常见的难点问题。
1.求三角函数值：高考中经常会出现需要求一些特定角度的三角函数值的问题。
我们可以通过套用基本的化简公式，将所给的角度化简到我们熟悉的角度（如30°，45°，60°等），然后代入公式求值即可。
例如，要求sin75° 的值，我们可以化简为sin(45°+30°)，然后套用两角之和的公式，得到sin45°·cos30° + cos45°·sin30°。