三角函数的化简求值(含答案) (1)
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数求值-学生版 (1)
三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】一、“给角求值”例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°练习2、（1）化简;︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）求值： .练习3：求()00001tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值二、“给值求值”：例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-ππ ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=, )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。
高考数学难点16 三角函数式的化简与求值(含答案解析)
难点16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a)2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21 B.－2 C.34 D. 21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒ 5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
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三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)
1.化简的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
2.化简的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
3.下列选项中，不是化简的结果的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
4.化简的结果的是( )
A.，其中
B.，其中
C.，其中
D.，其中
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
5.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
6.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
8.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
9.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
10.函数（）的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。