北师大版数学九上同步练第一章综合练习2
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定 同步测试(解析版)
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定同步测试一．选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等【解答】 B ∵矩形和菱形是平行四边形,∴C、D是二者都具有的性质,A是菱形具有的性质,对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质.故选B.2.下列说法错误的是( )A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形【解答】 DA.有一个内角是直角的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等,正确,故本选项不符合题意;C.对角线相等的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;D.有两个角是直角的四边形不一定是矩形,可以是直角梯形,故本选项符合题意.故选D.3．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，∴△AEB≌△GED．∴AE＝EG．设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．故选：C．4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6√3B.8C.6D.6√2AC=6.【解答】 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=12∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=√OC2-OE2=3√3.∴BC=2EC=6√3.故选A.5．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）。
(完整)九年级数学上册第一章综合练习题及答案(2)
慧学云教育九 年 级 数 学 试 题（图形与证明二）一．选择题1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ )A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形2、 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中正确的是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．绿花、黄花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、紫花种植面积一定相等3．如图，直线1l ∥2l ，若155,265∠=︒∠=︒，则3∠A 50︒B 55︒C 60︒D 65︒4、若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（ A ．50° B ．100° C ．80° D ．65°5、如图1，□ABCD 的周长是28㎝，△ABC 的周长是22㎝，则AC 的长为 （ ）A ．14㎝B ．12㎝C ．10㎝D ．8㎝1 26、下列命题中，真命题是 （ ）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为（ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．108、如图2，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ） A ．四边形ABCD 是平行四边形 B ．AC ⊥BDDCB AＡ Ｆ Ｃ ＤＢ Ｅ3C ．△ABD 是等边三角形 D ．∠CAB ＝∠CAD9、如图3，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是 （ ） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则 （ ） A ．S=2 B ．S=4 C ．S=2.4 D ．S 与BE 长度有关二．填空题11．已知平行四边形ABCD 中,AB =14cm,BC =16cm,则此平行四边形的周长为 _____cm.12．矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为 cm.13．如下图（1），在平行四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =o ∠，则BCE =∠14．在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，请补充一个条件： ，使得四边形ABCD 是平行四边形。
九年级数学上册 第一章 证明二同步练习 北师大版2
一、填空题1、 如图1，假设⊿ABE ⊿ADC ，那么AD = AB ，DC = ；∠D = ∠ ；∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°那么∠DEC ＝ ．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，那么周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，那么顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，那么最多能添加这样的钢管 根。
二、选择题6、给出以下命题，正确的〔 〕 ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形〔 〕〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个 7、满足以下条件的两个三角形一定全等的〔 〕 A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形 8、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，那么∠A 的度数是〔 〕 〔A 〕30°〔B 〕 36°〔C 〕45°〔D 〕54° 9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，那么图中的等腰三角形有〔 〕〔A 〕6个 〔B 〕7个 〔C 〕8个 〔D 〕9个 10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，那么∠APE 的度数是〔 〕 〔A 〕45°〔B 〕55° 〔C 〕60°〔 D 〕75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程： ：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中， ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？假设正确，请写出每一步推理根据；假设不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程； 12、：线段a 、h (如图) 求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= .(2)作 . (3) . (4)连结 .那么△ABC 为所求等腰三角形.一、填空题 1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形 2、△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，那么_______=________.§证明(二) §证明(二)DCB A 21E.3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D是BC 的中点，DE ⊥AC ，那么∠C =__________°;CE ∶EA =__________.4、如上右图，AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，那么∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A =∠B =21∠C ，那么△ABC是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是〔 〕 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，那么图中共有等腰三角形〔 〕A.1个B.2个C.3个D.4个8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中〔包括实线、虚线图形〕，共有全等三角形〔 〕A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，那么图中共有等腰三角形〔 〕A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，假设DE =4 cm ，AE =5 cm ，那么AC 等于〔 〕 A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm 三、解答题 11、，如左以下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .一、填空题1、，等腰△ABC ，AB =AC ：〔1〕假设AB =BC ，那么△ABC 为_________三角形；〔2〕假设∠A =60°，那么△ABC 为_______三角形；〔3〕假设∠B =60°，那么△ABC 为_______三角形. 2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________. 3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图〔1〕中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴.4、如图上右图，△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD =DE =6cm 那么∠ACD =_____°,AC =______cm,∠DAC =_______°，△ADE 是______三角形.5、如左以下图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB = 8 cm ，那么BD =_______cm ，∠BDE =_____°,BE =______cm.6、如右上图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，那么AB =__________cm. 二、选择题7、以下说法不正确的选项是 A.等边三角形有三条对称轴 B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、以下命题不正确的选项是 A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.假设一个三角形有三条对称轴，那么它一定§证明(二)EC DB A A DC B DC BA C是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，那么BC等于A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如以下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.11、如以下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA. 12、如右图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长二、填空题4、Rt△ABC中，∠C=90°，如图下左图，假设b=5，c=13，那么a=__________；假设a=8，b=6，那么c=__________.5、等边△ABC，AD为它的高线，下中图所示，假设它的边长为2，那么它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________. 5、上右图所示，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，假设AB=2，那么AC=__________；假设AC=2，那么AB=__________；AC∶AB=__________∶__________. 6、如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，那么∠C=__________；假设AB=6，那么BC=__________.7、假设直角三角形的三条边长分别是6，8，a 那么〔1〕当6,8均为直角边时，a=__________；〔2〕当8为斜边，6为直角边时，a=__________.三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC，AB=2，那么S△ABC等于( )A.2B.1C.4D.29、假设三角形的三边分别为a,b,c，那么下面四种情况中，构成直角三角形的是( )A.a=2,b =3,c=4 B.a=12,b=5,c=13C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=1710、如左以下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=5，DC=1，AC=5，那么AB的长度是A.27B.27C.10D.2511、如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC 上一点，∠BAE=∠DE C=60°，AB=3，CE=4，那么AD等于( )A.4 8B.24C.10D.12四、解答题12、，如以下图，等边三角形ABC，AD为BC 边上的高线，假设AB=2，求△ABC的面积. 13、：如以下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59.〔1〕求DC的长；〔2〕求AD的长；〔3〕求AB的长；〔4〕求证：△ABC是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km，假设每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？§证明(二)§证明(二)一、填空题1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90 〔1〕假设∠A=∠D，BC=EF，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔2〕假设∠A=∠D，AC=DF，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔3〕假设∠A=∠D，AB=DE，那么Rt△ABC ≌Rt△DEF的依据是__________.〔4〕假设AC=DF，AB=DE，那么Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.〔5〕假设AC=DF，CB=F E，那么Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，那么有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、：如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，那么△__________≌△__________〔HL〕.4、：如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，假设BC=10，FC=8，那么EC=__________.5、：如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=______°.二、选择题6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，那么△AEO≌△AFO 的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°8、以下条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等三、证明题9、如以下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.10、：如以下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.11、如以下图，∠ABC=∠AD C=90°，E是AC 上一点，AB=AD，求证：EB=ED.一、填空题1、如下左图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，假设AB=10 cm，那么BD=__________cm；假设P A=10 cm，那么PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，那么AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于E，BE=5，那么AE=_________，∠AEC=_________，AC=__________ .4、线段AB及一点P，P A=PB=3cm，那么点P §证明(二)在__________上.5、如果P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB =6cm ，那么P A =__________cm.6、如图下左图，P 是线段AB 垂直平分线上一点，M 为线段AB 上异于A ，B 的点，那么P A ，PB ，PM 的大小关系是P A ________PB ________PM .7、如图下中图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，那么点D 在__________上. 8、如图上右图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，那么直线AD 必是__________的垂直平分线. 二、选择题9、以下各图形中，是轴对称图形的有多少个 ①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个 10、如下左图，AC =AD ，BC =BD ，那么 A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对 11、如上右图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 三、解答题13、如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左以下图，点P 为△ABC 三边中垂线交点，那么P A __________PB __________PC .6、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，那么∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC =_______度.7、如左以下图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，那么AD __________DC ，点D 在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，那么∠B __________∠1，∠C __________∠2；假设∠BAC =126°，那么∠EAG =__________度. 9、如左以下图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，E 是AD 上异于A ，D 的点，假设BE =CE ，那么△__________≌△__________(HL )；从而BD =DC ，那么△________≌△_________(SAS )；△ABC 是__________三角形. 10、如右上图，∠BAC =120°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，那么∠AD B=_________度. 三、作图题 11、〔1〕分别作出点P ，使得P A=PB=PC 〔2〕观察各图中的点P 与△ABC 的位置关系，并总结规律：当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________；当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC§1.3.2证明(二)的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜测.一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴二、填空题5、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD 上，假设PE⊥AB，PF⊥AC，那么PE__________PF.6、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，那么∠BAP__________∠CAP.7、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，假设AD=3，那么PE=______.8、，如图〔4〕，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，假设CD=CE，那么∠COD+∠AOB=__________度.9、如图〔5〕，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，那么MQ=__________cm.三、选择题10、以下各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等11、以下命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左以下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，AB=AC，AE=AF，BE与CF 交于点D，那么①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的选项是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，假设BD=CD.求证：AD 平分∠BAC.一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图〔1〕，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，那么PD__________PE__________PF.7、如图〔2〕，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，假设使PE=2cm，那么PE与OB §证明(二)§证明(二)的关系是__________.8、如图〔3〕，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，那么CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在以下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如以下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首〔点A〕的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、：如以下图在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC于D，假设BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离. 班级：_______姓名：________得分：__________一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，那么其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，那么此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，那么点M到AB的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，假设△ABC的边长为10，那么AE=_________，AE∶EC=_________.5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，假设AB=10 cm，AC=6 cm，那么△ACD的周长为_________.6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，假设BC=3 cm，那么AD=_________ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，那么图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b －c)，那么这个三角形〔按边分类〕一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，那么它的边长为单元测试证明(二)〔 〕面A.4 B.3 C.2 D.5 13.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于〔 〕A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n ° 14.以下由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是〔 〕 A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15 D.a =3，b =2，c =5 15.直角三角形的三边长为连续自然数，那么它的面积为〔 〕 A.6 B.7.5 C.10 D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是〔 〕A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ， AD =DE =EB ，那么∠A 的度数为〔 〕A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，那么BC 的长为〔 〕A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是〔 〕 A.13 cmB.1330 cm C.1360 cm D.9 cm 20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，那么以斜边为边长的正方形的面积为〔 〕 A.25 B.50 C.100 D.60 21.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，那么腰上的高是〔 〕 A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.假设一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，那么此三角形一定是〔 〕A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，那么AD 等于〔 〕A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.以下说法中，正确的选项是〔 〕 A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等 C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为〔 〕 A.8 B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，那么图中等腰三角形的个数是〔 〕 A.4 B.3 C.2 D.127.以下定理中逆定理不存在的是〔 〕 A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，那么这个三角形的面积为〔 〕 A.5B.2C.45 D.1三、解答题29.：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.30.：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB . 31.三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21 (n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，假设AB =2，求BE 的长.*34.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ， ∠A =30°，求∠NMB 的大小.②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.〔请同学们自己画图〕④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略 等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC 3.高线 中线 平分线 4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 三、1.解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中， ∴△ADE ≌△ADF 〔ASA 〕 ∴AE =AF ，DE =DF综上，AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2，∴AD =AE 又∵DE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ，∴AB －AD =AC －AE 即DB =EC∴在△DBG 和△ECG 中， ∴△DBG ≌△ECG 〔SAS 〕∴DG =GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =21AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中， ∴∠B =30°，∴AC =21AB ∴AD =4AB ， 那么AD =31BD ，即BD =3AD . 等腰三角形判别一、1.〔1〕等边 〔2〕等边 〔3〕等边2.线段、直角、等腰三角形3.一 三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD =DC ，且∠A =20°，∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD 〔SAS 〕，∴AE =CD 1.2.1勾股定理一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 23.222 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27.三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3 ∴△ABC 的面积为3.2.〔1〕解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512〔2〕解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516〔3〕解：AB =AD +DB=516+59=5 〔4〕证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=〔3 km 〕2∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 直角三角形全等的判定一、1.〔1〕AA S 〔2〕ASA 〔3〕AA S 〔4〕HL 〔5〕SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30 二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中 ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .〔此题也可用勾股定理直接证明〕 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中， ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL ) ∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ).3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==ACAC ADAB ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BCDC ∴△DCE ≌△BCE 〔SAS 〕，∴EB =ED 线段的垂直平分线一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO∴O 、P 在EF 的中垂线上，∴OP 垂直平分EF .三角形三条中垂线交于一点一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD 等腰6.60°三、1.略 〔2〕内部 斜边的中点 外部四、类比联想：略角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC .1.4.2三角形三角的平分线交于一点一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = =4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ平分线 平分线三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，那么DE 是点D到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7，∴CD =BC ·16732167⨯==14而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14第一章单元测试卷一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75°8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰 二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B 三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.1 34.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。
2023年北师大版九年级上册数学第一章综合测试试卷及答案
第一章综合练习
13．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中
D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE，AB＝8，
DE＝3，则△EFC的面积为
15 4
．
-14-
第一章综合练习
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分 线交AC于点D．过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过 点D作DF⊥BC于点F，过点G作GH∥BC，交AC于点H， 则下列结论：①∠BAE＝∠C； ②S△ABG：S△EBG＝AB：BE； ③∠ADF＝2∠CDF； ④四边形AGFD是菱形； ⑤CH＝DF．其中正确的结论是 ①②④⑤ ．(填序号)
-22-
第一章综合练习
(2)∵四边形AFCE是平行四边形， ∴EC∥AF，∴∠FHB＝∠CGH． 又∵∠CGH＝∠DGE，∴∠DGE＝∠FHB． ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH． ∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC， ∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH(AAS)， ∴EG＝FH．
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
-10-
第一章综合练习
10 ． 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB ＝ 6 ， ∠ ABC ＝ 60°，M为AD的中点，P为对角线BD上一动点， 连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( B ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
(1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
-19-
第一章综合练习
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC． ∵C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE． ∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． ∵AB＝AE，∴DC＝AE． ∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC 的中点，CE，AF分别交DB于G，H两点．求证：
(北师大版)初中数学九年级上册 第一章综合测试 (含答案)
第一单元综合测试一、单选题（每小题2分，共20分）1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A .四条边相等，四个角相等 B .对角线相等 C .对角线互相垂直D .对角线互相平分2.如图，在菱形ABCD 中，5AB =，120BCD ∠=︒，则ABC △的周长等于（ ）A .20B .15C .10D .53.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的（ ）A .15B .14C .13D .3104.如图，菱形ABCD 的周长为24 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于（ ）A .3 cmB .4 cmC .2.5 cmD .2 cm5.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为（ ）A .3B .CD .6.顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A .菱形 B .对角线互相垂直的四边形 C .矩形D .对角线相等的四边形7.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A .15°或30°B .30°或45°C .45°或60°D .30°或60°8.如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则EAF ∠等于（ ）A .75°B .45°C .60°D .30°9.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）A .AF AE =B .ABE AGF △≌△C .EF =D .AF EF =10.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AEF △是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①BE DF =；②15DAF ∠=︒；③AC 垂直平分EF ；④BE DF EF +=；⑤2CEF ABE S S =△△.其中正确结论有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题（每题3分，共24分）11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则α∠也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当α∠的度数为________时，两条对角线长度相等.12.如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为________.13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE AC ⊥于点E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则EC 的长度是________.14.如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，若ABE △的面积为18，4CE =，则线段BE 的长为________.15.菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为(，动点P 从点A 出发，沿A B C D A B →→→→→→⋯⋯的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s 时，点P 的坐标为________.16.如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中F ，连接DF ，4DF =.设AB x =，AD y =，则()224x y +-的值为________.17.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E 为AD 的中点，F 为BC 边上任一点，过F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为点G ，H ，则FG FH +=________.18.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC .已知5AC =，OC =，则另一直角边BC 的长为________.三、解答题（19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分） 19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，DF BC ⊥交BC 的延长线于F . 求证：DE DF =.20.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，过点C 作CE OD ∥，过点D 作DE AC ∥，CE 与DE 相交于点E .（1）求证：四边形OCED 是矩形.（2）若4AB =，60ABC ∠=︒，求矩形OCED 的面积.21.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：BD BE =.（2）若10BE =，6CE =，连接OE ，求ODE △的面积.22.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E . （1）求证：DCE BFE △≌△.（2）若2CD =，30ADB ∠=︒，求BE 的长.23.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，以点A 为顶点的一个60°的EAF ∠绕A 旋转，EAF ∠的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，连接EF . （1）求证：BE CF =.（2）在EAF ∠绕A 旋转的过程中，四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由.24.在正方形ABCD 的外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于F .（1）依题意补全图①；（2）若20,PAB ∠=︒求ADF ∠的度数；（3）如图②，若4590PAB ︒∠︒＜＜，用等式表示线段AB ，EF ，FD 之间的数量关系，并给出证明.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A【解析】∵菱形ABCD 的周长为24 cm ，()244 6 cm AB =÷=∴，OB OD =又E ∵为AD 边的中点，OE ∴是ABD △的中位线.()116 3 cm 22OE AB ==⨯=∴. 故选A . 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】D【解析】如图，由折叠的性质得12∠=∠.AD BC ∵∥，31∠=∠∴.23∠=∠∴.AE AF =∴.故选项A 正确.由折叠的性质得CD AG =，90D G ∠=∠=︒.AB CD =∵，AB AG =∴.又AE AF =∵，90B ∠=︒，()Rt Rt ABE AGF HL △≌△∴.故选项B 正确.设DF x =，则GF x =，8AF x =-. 又4AG AB ==∵，∴在Rt AGF △中，根据勾股定理得()22284x x -=+.解得3x =.85AF x =-=∴. 则5AE AF ==，BE =∴过F 作FM BC ⊥于点M ，则4FM =，532EM =-=.在Rt EFM △中，根据勾股定理得EF ===，则选项C 正确.5AF =∵，EF =，AF EF ≠∴.故选项D 错误.10.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ===∴，90B BCD D BAD ∠=∠=∠=∠=︒. AEF ∵△是等边三角形，AE EF AF ==∴，60EAF ∠=︒. 30BAE DAF ∠+∠=︒∴.在Rt ABE △和Rt ADF △中，AE AFAB AI =⎧⎨=⎩()Rt Rt ABE ADF HL △≌△∴.BE DF =∴（故①正确）， BAE DAF ∠=∠.30DAF DAF ∠+∠=︒∴，即15DAF ∠=︒（故②正确）. BC CD =∵，BC BE CD DF -=-∴，即CE CF =，又AE AF =∵，AC ∴垂直平分EF （故③正确）.设EC x =，由勾股定理，得EF AE =，EG CG ==∴.AG x =∴.AC ∴.AB BC ==∴.22x xBE x +-=-=∴.BE DF x +-∴（故④错误）.易知22CEF xS =△，22224ABE x S ==△， 222ABECEF x S S ==△△∴（故⑤正确）.综上所述，正确的有4个. 二、11.【答案】90° 12.【答案】16 13.【答案】2.5 14.【答案】【解析】设正方形的边长为a ，18ABE S =△∵，236ABE ABCD S S ==△正方形∴，236a =∴.0a ∵＞，6a =∴.在Rt BCE △中，4CE =∵，90C ∠=︒，BE ===15.【答案】14⎛ ⎝⎭.16.【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是矩形，AB x =，AD y =，∴CD AB x ==，BC AD y ==，90BCD ∠=︒.又BD DE ⊥∵，F 是BE 的中点，4DF =，4BF DF EF ===∴，44CF BC y =-=-∴.在Rt DCF △中，222DC CF DF +=，即()2244216x y +-==.()22416x y +-=∴. 17.【解析】如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，2AD BC ==，90A D ∠=∠=︒.∵点E 为AD 的中点，1AE DE ==∴，BE =∴，CE ==CE BE =∴. BCEBEFCEFSSS=+∵，111222BC AB BE FG CE FK ⋅=⋅+⋅∴，()BC AB BE FG FH ⋅=+∴，即)23FG FH ⨯+，解得FG FH +=18.【答案】7【解析】如图，过点O 作OM CA ⊥，交CA 的延长线于点M ，过点O 作ON BC ⊥于点N ，易证OMA ONB △≌△，CN OM =，OM ON =∴，MA NB =. 又90ACB ∠=︒∵，90OMA ONB ∠=∠=︒，OM ON =，∴四边形OMCN 是正方形.OCM ∴△为等腰直角三角形.OC =∵6CM OM ==∴.651MA CM AC =-=-=∴.617BC CN NB OM MA =+=+=+=∴.故答案为7. 三、19.【答案】证明：连接DB .∵四边形ABCD 是菱形， BD ∴平分ABC ∠.又DE AB ⊥∵，DF BC ⊥，DE DF =∴. 20.【答案】（1）证明：CE OD ∵∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 是平行四边形.又∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ⊥∴，即90COD ∠=︒，∴四边形OCED 是矩形.（2）解：∵在菱形ABCD 中，4AB =，4AB BC CD ===∴.又60ABC ∠=︒∵，ABC ∴△是等边三角形，4AC =∴，122OC AC ==∴，OD ==∴∴矩形OCED 的面积是2=21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC BD =∴，AB CD ∥.又BE AC ∵∥，E 在DC 的延长线上.∴四边形ABEC 是平行四边形，AC BE =∴，BD BE =∴.（2）解：如图，过点O 作OF CD ⊥于F .∵四边形ABCD 是矩形，90BCD ∠=︒∴，90BCE ∠=︒∴.在Rt BCE △中，根据勾股定理可得8BC =.∵BE BD =，6CD CE ==∴， 12DE =∴.OD OC =∵，CF DF =∴，又OB OD =，OF ∴为BCD △的中位线，142OF BC ==∴， 111242422ODE S DE OF =⋅=⨯⨯=△∴. 22.【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD BC ∥，90A C ∠=∠=︒， ADB DBC ∠=∠∴.根据折叠的性质得ADB FDB ∠=∠，90F A ∠=∠=︒，DBC FDB ∠=∠∴，C F ∠=∠.BE DE =∴.在DCE △和BFE △中，DEC BEF C F DE BE ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩DCE BFE △≌△∴.（2）解：在Rt BCD △中，2CD =∵，30DBC ADB ∠=∠=︒，4BD =∴.BC =∴在Rt ECD △中，易得30EDC ∠=︒.2DE EC =∴.()2222EC EC CD -=∴.又2CD =∵，CE =∴BE BC EC =-∴ 23.【答案】（1）证明：如图，连接AC .∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，AB BC CD DA ===∴，60BAC DAC ∠=∠=︒∴， ABC ∴△和ADC △都是等边三角形，60ABE ACF ∠=∠=︒∴，1260∠+∠=︒.3260EAF ∠+∠=∠=︒∵，13∠=∠∴.60ABC ∠=︒∵，AB BC =，ABC ∴△为等边三角形.AB AC =∴，ABE ACF △≌△∴.BE CF =∴.（2）解：四边形AECF 的面积不变.由（1）知ABE ACF △≌△，则ABE ACF S S =△△，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S =+=+=△△△△△四边形. 如图，过A 作AM BC ⊥于点M ，则2BM MC ==，AM =∴11422ABC S BC AM =⋅=⨯⨯=△∴故S 四边形AECF = 24.【答案】解：（1）如图①.（2）如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点， 20PAE PAB ∠=∠=︒∴，AE AB =.∵四边形ABCD 是正方形，AE AB AD ==∴，90BAD ∠=︒.AED ADE ∠=∠∴，130EAD DAB BAP PAE ∠=∠+∠+∠=︒. 180130252ADF ∠-︒︒=︒=∴. （3）2222EF FD AB +=.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF BF =，AE AB AD ==， 易得ABF AEF ADF ∠=∠=∠.90BAD ∠=︒∵，90ABF FBD ADB ∠+∠+∠=︒∴.90ADF ADB FBD ∠+∠+∠=︒∴.90BFD ∠=︒∴.在Rt BFD △中，由勾股定理得222BF FD BD +=. 在Rt ABD △中，由勾股定理得22222BD AB AD AB =+=， 2222EF FD AB +=∴.。
九年级数学上册全一册同步练习(打包52套350页)(新版)北师大版
九年级数学上册全一册同步练习（打包52套350页）（新版）北师大版1 第1课时菱形的概念及其性质知识点 1 菱形的定义及对称性1．如图1－1－1，在?ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使?ABCD成为菱形的有( )图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点 2 菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A．25 B．20C．15 D．101－1－4 1－1－5 5．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－6知识点 3 菱形的对角线的性质7．教材习题1.1第2题变式题如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为( )A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是( )A．4 cm B．2 3 cmC. 3 cm D．3 cm1－1－7 1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为( )图1－1－9A．(－5，4) B．(－5，5)C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.1－1－10 1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第2课时菱形的判定知识点 1 由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－17知识点 2 根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在?ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB ＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点 3 根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－22 1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA 的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC 的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF 交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用知识点 1 菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是( )A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD ＝6，则菱形ABCD的面积是( )A．6 B．12C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－29知识点 2 菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．121－1－30 1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．41－1－3 1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－3 1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD 的边长为8 cm ，∠A ＝60°，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为________ cm 2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠CBE ；(2)试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422 第1课时矩形的概念及其性质知识点 1 矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE ＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO ＝BO.图1－2－3知识点 2 矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°1－2－4 1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB ＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .图1－2－7知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( ) A ．5 B ．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝55°，D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为( )A．15° B．25°C．35° D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E 为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA 的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC 方向平移，使点B移到点C，得到△DC E.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD 是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F 在BC上，。
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
最新数学北师版初中九年级上册第一章综合2精选习题
第一章特殊平行四边形总分120分120分钟一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形．矩形D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△AB中，AB=A，分别延长BA，A到D，E点，使DA=AB，EA=A，则四边形BDE是（）A．任意四边形B．矩形．菱形D．正方形4．在平行四边形ABD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=B ．AB= A D．∠A+∠=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B．．1 D．6．下列条件中，不能判定四边形ABD为菱形的是（）A．A⊥BD，A与BD互相平分B．AB=B=D=DA．AB=B，AD=D，A⊥BD D．AB=D，AD=B，A⊥BD7．已知四边形ABD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．A⊥BD B．A=BD ．A=BD且A⊥BD D．A平分∠BAD8．△AB中，∠=90°，点O为△AB三条角平分线的交点，OD⊥B于D，OE⊥A于E，OF⊥AB于F，且AB=10c，B=8c，A=6c，则点O到三边AB、A、B的距离为（）A．2c，2c，2c B．3c，3c，3c ．4c，4c，4c D．2c，3c，5c二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，在四边形ABD中，AD∥B，且AD=B，若再补充一个条件，如∠A=_________ 度时，就能推出四边形ABD是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、两点，过A、两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABD是_________ ．11．如图，在四边形ABD中，∠AD=∠AB=90°，AD=D，DP⊥AB于P．若四边形ABD的面积是18，则DP的长是_________ ．12．在四边形ABD中，∠A=∠B=∠=∠D，则四边形ABD是_________ ．13．一组邻边相等的_________ 是正方形，有一个角是_________ 角的菱形是正方形．14．如图，在△AB中，点D是边B上一动点，DE∥A，DF∥AB，对△AB及线段AD添加条件_________ 使得四边形AEFD是正方形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠AE是△AB的外角，AD平分∠EA，且AD∥B．过点作G⊥AD，垂足为G，AF是B边上的中线，连接FG．（1）求证：A=FG．（2）当A⊥FG时，△AB应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△AB的三边为边在B的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BE，△AF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△AB满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△AB满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△AB，▱AFED是否总存在？17．（6分）如图，B是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABE是平行四边形．判断四边形ABD的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABD的边D延长到点E，使E=D，连接AE，交B于点F．（1）求证：A=BE；（2）若∠AF=2∠D，连接A，BE．求证：四边形ABE是矩形．19．（6分）已知：如图，在△AB中，AB=A，M是B的中点，MD⊥AB，ME⊥A，DF⊥A，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．20．（8分）如图：在平行四边形ABD中，A的垂直平分线分别交D、AB于E、F两点，交A于O点，试判断四边形AEF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，▱ABD的对角线A的垂直平分线EF与AD、B、A分别交于点E、F、O，连接AF，E，则四边形AFE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△AB中，点O是A边上一动点，点P在B延长线上，过点O的直线DE∥B交∠AB与∠AP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当A与B满足什么条件时，四边形ADE是正方形？为什么？23．（8分）如图，△AB中，点O是边A上一个动点，过O作直线MN∥B．设MN交∠AB的平分线于点E，交∠AB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边A上运动到什么位置时，四边形AEF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边A上运动到何处，且△AB满足什么条件时，四边形AEF是正方形？24．（8分）如图，△AB中，点O是A边上的一个动点，过点O作直线MN∥B，交∠AB的平分线于点E，交∠AB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AEF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△AB满足什么条件时，四边形AEF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABD的对角线A、BD交于点O，过点D作DP∥O，且DP=O，连接P，判断四边形ODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章北师版数学八年级上册第二章第三章特殊平行四边形总分120分120分钟一．选择题（共8小题，每题3分）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形C．矩形 D．菱形2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形 B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分的四边形3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B．C．1 D．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB 于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm二．填空题（共6小题，每题3分）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=_________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是_________．11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________．12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是_________．13．一组邻边相等的_________是正方形，有一个角是_________角的菱形是正方形．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件_________使得四边形AEFD是正方形．三．解答题（共11小题）15．（6分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？16．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？17．（6分）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．18．（6分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．19．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．20．（8分）如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O 点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．21．（8分）如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？22．（8分）在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB 与∠ACP的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？23．（8分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？24．（8分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．25．（8分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由。
第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形B．平行四边形C．矩形D．菱形考点：矩形的判定．分析：根据矩形的判定（矩形的对角线相等且互相平分）可得C正确．解答：解：因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以C正确，故选C．点评：本题考查的是矩形的判定定理（矩形的对角线相等且互相平分），难度简单．2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（）A．四个角都相等的四边形B．有一个角为90°的平行四边形C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分的四边形考点：矩形的判定．专题：常规题型．分析：矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．解答：解：根据矩形的判定，可得A、B、C可判定四边形为矩形，D不能．故选D．点评：本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单．3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（）A．任意四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：矩形的判定．分析：由一组对边平行且相等可得其为平行四边形，再由一角为90°且邻边不等可得其为矩形．解答：解：如图所示，∵AC=AE，AB=AD∴四边形BCDE为平行四边形，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°∠ABC=∠ACB∴∠ABC+∠EBA=90°∴四边形BCDE为矩形．故选B．点评：熟练掌握矩形的判定，会证明一个四边形是矩形所满足的条件．4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（）A．对角线互相平分B．AB=BC C．AB=AC D．∠A+∠C=180°考点：矩形的判定．分析：根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可．解答：解：答案D中∠A与∠C为对角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，∴∠A=∠C=90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，故选D．点评：本题考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A． 2 B．C．1 D．考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．解答：解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．故选：A．点评：本题考查了菱形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半．6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD考点：菱形的判定．分析：直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．解答：解：A、∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确；B、∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD为菱形，故正确；C、AB=BC，AD=CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误；D、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确；故选C．点评：此题考查了菱形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD考点：正方形的判定．分析：由四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，可判定四边形ABCD是菱形，又由AC=BD，即可判定四边形ABCD是正方形．注意掌握排除法在选择题中的应用．解答：解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC平分∠BAD，∴四边形ABCD是矩形，故错误．故选C．点评：此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记判定定理是解此题的关键．8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB 于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm考点：正方形的判定与性质．分析：连接OA，OB，OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因为点O到三边AB、AC、BC的距离是CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=10，解得CD=2，所以点O到三边AB、AC、BC的距离为2．解答：解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，即﹣2CD+14=10∴CD=2，即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．故选A点评：本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．二．填空题（共6小题）9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=90度时，就能推出四边形ABCD是矩形．考点：矩形的判定．专题：推理填空题．分析：矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析可得．解答：解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵有一个角为90°的平行四边形是矩形，∴添加∠A=90°就能推出四边形ABCD是矩形，故答案为：90．点评：本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形．10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是矩形．考点：矩形的判定；平行线的性质．专题：几何图形问题；推理填空题．分析：首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．解答：证明：∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ，又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC，又∵∠ACP=∠NAC，∴∠BCA=∠DAC，∴AD∥CB，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC=∠MAC，∠ACB=∠ACP，又∵∠MAC+∠ACP=180°，∴∠BAC+∠ACP=90°，∴∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：矩形．点评：此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大，重点考查基本定理的应用．11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．解答：解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案为：3．点评：本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．12．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是矩形．考点：正方形的判定．分析：根据四边形的内角和为360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，从而得出四边形ABCD是矩形．解答：解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∴四边形ABCD是矩形．故答案为：矩形点评：本题考查了四边形内角和定理的运用，矩形的判定的运用，解答时求出每个角为90°是关键．13．一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．考点：正方形的判定．分析：根据正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．解答：解：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．故答案为：矩形，直．点评：此题考查了正方形的定义．此题比较简单，注意熟记正方形的定义是解此题的关键．14．如图，在△ABC中，点D是边BC上一动点，DE∥AC，DF∥AB，对△ABC及线段AD添加条件△ABC 是等腰直角三角形，AD是角平分线使得四边形AEFD是正方形．考点：正方形的判定．分析：由DE∥AC，DF∥AB，易得四边形AEDF是平行四边形，由∠BAC=90°，可得四边形AEDF 是矩形，又由邻边相等，即可判定四边形AEFD是正方形．解答：解：添加条件：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线．理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形，∵AD是角平分线，∴∠ADE=∠DAE=45°，∴AE=DE，∴四边形AEFD是正方形．故答案为：：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线．点评：此题考查了正方形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三．解答题（共11小题）15．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF 是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，∴AB=AC；AF是BC边上的中线，∴AF⊥BC，∵CG⊥AD，AD∥BC，∴CG⊥BC，∴AF∥CG，∴四边形AFCG是平行四边形，∵∠AFC=90°，∴四边形AFCG是矩形；∴AC=FG．（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形AFCG是矩形，∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，∵AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．点评：该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．16．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？考点：矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．（3）AB=AC，根据菱形的判定推出即可；（4）当∠BAC=60°时四边形不存在．解答：（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF，∴DE=AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．∵DE=AF，DA=EF，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°，∵∠DAB=∠FAC=60°，∴∠BAC=360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）解：当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形，∵此时AB=AC=AF=AD，四边形AFED是平行四边形，∴四边形AFED是菱形；（4）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．点评：本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．17．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．考点：矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．解答：解：四边形ABCD是矩形，理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：AC=BE；（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的性质．专题：几何图形问题；证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE；（2）∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：根据MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，先推得四边形MDPE为平行四形，再根据AB=AC，M是BC的中点，得到MD=ME，由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明．解答：证明：四边形MDPE为菱形，理由：连接AM．∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF，∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，∴四边形MDPE是平行四边形；∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，∴MD=ME，∴四边形MDPE为菱形．点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．20．如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交C D、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．解答：证明：：四边形AECF的形状是菱形，理由是：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，∵EF过AC的中点O，∴OA=OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，∵OA=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．点评：本题考查了平行线性质，平行四边形的性质，矩形、菱形的判定等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，具有一定的代表性，但难度不大．21．如图所示，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明其四边相等即可．解答：解：四边形AFCE是菱形．∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=EC．同理，AF=FC．∴∠1=∠3．又∵AE∥FC，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．又∵CO⊥EF，∴∠COF=∠COE=90°，∴△COF≌△COE．∴CF=CE．∴AE=EC=CF=FA．∴四边形AFCE是菱形．点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．22．在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP 的平分线于点D、E．（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？考点：正方形的判定；矩形的判定．分析：（1）根据CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有条件AO=CO，可得到四边形ADCE为平行四边形，再证明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形；（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，进而得出答案．解答：解：（1）当O为AC的中点则四边形ADCE是矩形；理由：∵CE平分∠ACP，∴∠ACE=∠PCE，∵DE∥BC，∴∠OEC=∠ECP，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OD，∴OD=OE．∵AO=CO，EO=DO，∴四边形ADCE为平行四边形，∵DC、CE是∠ACB与∠ACP的平分线，∴∠DCE=90°，∴四边形AECF是矩形；（2）当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形．理由：∵∠BCA=90°，∵DE∥CB，∴∠DOA=90°，则DE⊥AC，∴矩形AECF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知识，解决问题的关键是证明EO=DO和∠DCF=90°．23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？考点：正方形的判定；矩形的判定．分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．解答：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形．证明：由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形，∵∠ACB=90°，∴∠2=45°，∵平行四边形AECF是矩形，∴EO=CO，∴∠1=∠2=45°，∴∠MOC=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．点评：此题主要考查了矩形和正方形的判定，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．24．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．考点：正方形的判定；矩形的判定．分析：（1）利用角平分线的性质的得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE与OF的大小关系；（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90度，∴平行四边形AECF是矩形．（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF会是正方形，理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵∠ACB=90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，∴AC⊥MN，∴四边形AECF是正方形．点评：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．25．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．考点：正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．分析：（1）根据矩形的性质得出OD=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；（2）根据菱形的性质得出∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；（3）根据正方形的性质得出OD=OC，∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；解答：解：（1）四边形CODP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OD，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵OC=OD，∴平行四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP的形状是矩形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，∴平行四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP的形状是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴∠DOC=90°，OD=OC，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，OD=OC∴平行四边形CODP是正方形．。