5.1布洛赫定理

第一节
本节主要内容:
布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理 5.1.2 波矢的取值和范围 5.1.3 布里渊区
§5.1 布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理
1.晶格的周期性势场
(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能
之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势 能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具
e
ik N j a j
1
a j b j 2π ij ,
j N j l j （其中lj为任意整数)，
j
lj Nj
只能取一些分立的值。
K n 是倒格矢。
当 j 'j
' 相当于波矢 k 换成 k k K n , 整数时，
ˆ ( R )H ˆ (r) (r) H ˆ (r R) (r R ) H ˆ (r)T ˆ ( R ) (r) T n n n
ˆ, H ˆ ] 0 [T
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 ( r ) ˆ ( R ) 的本征函数。 是 H ˆ 的本征函数，那么 ( r ) 也一定是算符 T n
1 2
3
设晶体在a1、 a2、a3三个方向各有个N1、N2、N3个 原胞，由周期性边界条件
(r ) (r N1a1 )
得到
ˆ ( N a ) ( r ) [ (a )] N1 ( r ) (r N a ) ( r ) T 1 1 1 1 1
由上式可以得出
b1 b2 b3 Ω* ( 2π)3 ( 2π)3 ( ) N1 N 2 N 3 N NΩ VC
( 2 π)3 一个波矢代表点对应的体积为： VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2π)3
(r ) 下面我们证明 k

(r ) k Kn

证明：根据布洛赫定理
2. 布洛赫定理的物理意义 一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数为： 一个自由电子的波函数 e ik r 与一个具有晶体结构周期性函数 uk (r ) 的乘积。
是按照晶格周期a调幅的行波；
在物理上反应了晶体中的电子既有共有化的倾向，又受到晶体 结构周期性排列的限制； 只有当 uk (r ) 等于常数时，在周期场中运动的电子波函数才变 为自由电子的波函数； 布洛赫函数是比自由电子波函数更接近真实情况的波函数。
k (r ) a(k K h )ei ( k K
h
h )r
eikr a( k K h )eiKh r
h
a(k K )e
h h
iK h r
uk ( r )
k( r ) eikr uk ( r )
uk (r Rn ) uk (r )
结论：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
k 的值限制在一个倒格子
Ni Ni bi bi li , ( i 1,2,3) k i , ( i 1,2,3) 2 2 2 2 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分
布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
(a2 ) e
(a3 ) e
i
l2 b2 a2 N2
l3 b3 a3 N3
i
令
l1 l1 l1 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
由
( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n
1 2
3
( Rn ) eikR
n
晶体中电子波函数满足的方程是
(r ) (r ) 可以证明 k kK
h
k
态和 k K h 态是同一电子态，而同一电子态对应同一
个能量， 故 E(k ) E(k K h ) 。
为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征
值 E ( k )一一对应起来，必须把波矢
原胞区间内，通常取：
n3 n1 ˆ n2 ˆ ˆ [T (a1 )] [T (a2 )] [T (a3 )]
可以得到
ˆ ( R ) (r ) ( R ) (r ) [(a )]n1 [(a )]n2 [(a )]n3 (r ) T n n 1 2 3
即
( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n
ˆ ( R ) 对应的本征值的特点是什么？ T n
由
ˆ ( R ) (r ) (r R ) ( R ) (r ) T n n n
本征值λ（Rn）必须满足等式
(r Rn ) ( Rn ) (r )
根据平移特点
ˆ(R ) T ˆ (n a n a n a ) T n 1 1 2 2 3 3 ˆ (n a )T ˆ (n a )T ˆ (n a ) T 1 1 2 2 3 3
[ (a1 )] N1 1
解为
(a1 ) eia
令α＝ka1，代入
(a1 ) e
ia
l１为整数
[ (a1 )] N1 1
N1k1 a1 2l1
l1 取 k1 b1 满足上式，得到 N1
(a1 ) e
同理可以得到
i
l1 b1 a1 N1
l2 k2 b2 N2 l3 k3 b3 N3
l
m l
据布洛赫定理，eikna (i )n 即 e ika i
3 ka 2πs π 2
π π π 在简约布里渊区中，即 k ， 取 k 2a a a
5.1.3 布里渊区
1. 布里渊区定义 在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所 有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒 格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。
m m
mn

m
(i ) f [ x (m n)a] (i ) n (i )


m

f [ x (m n)a]
令m-n=l， k ( x na ) ( i ) n ( i ) f [ x la] ( i ) n k ( x )
m
( i )

m
f ( x ma) ,
f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：
k ( x na ) e ikna k ( x )
k ( x na ) ( i ) f ( x na ma)
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
k (r ) e uk (r )
ik r
uk (r ) uk r Rn
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调 幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T ( Rn )
ˆ, H ˆ ] 0 (2)说明: [T
为了根据哈密顿函数具有晶格的平移对称性研究波函 数的特点，引入平移对称操作算符
ˆ(R ) T n
任意一个函数f（r）经过平移算符作用后变为
ˆ ( R ) f (r ) f (r R ) T n n
ˆ (r ) f (r )可以是V (r )， (r )，H
现将平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边
则哈密顿函数也为晶格的周期性函数
2 ˆ H (r ) 2 (r ) V (r ) 2m
2 2 2 2 [ ] V ( r Rn ) 2 2 2 2m ( x Rnx ) ( x Rny ) ( x Rnz ) 2 2 ˆ (r R ) ( r Rn ) V ( r Rn ) H n 2m
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
k (r ) e uk (r )
ik r
其中 k 为电子波矢，
V r V r Rn
uk (r ) uk r Rn


是格矢。 Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 其中 Rn为任意格 k (r )
i k r N 1 a 1 k (r N 1a1 ) e uk (r )
e
i k N 1 a 1 i k r
e
uk (r )
k (r )
l 3 b3 l 1 b1 l 2 b2 1 b1 2 b2 3 b3 k N1 N2 N3
i(k K K h )r n (r ) k a(k K n K h )e Kn
h h
i(k K l ) r a(k K l )e l
h
令K n K h K l
k (r )
例1：一维周期场中电子的波函数 k ( x ) 应当满足布洛赫 定理，若晶格常量为a，电子波函数为 k ( x )
( r Rn ) eikR (r )
n
可以得到 k l1 b1 l1 b2 l1 b3 具有波矢的意义 N1 N2 N3
当波矢K增加个倒格矢
Kh h1b1 h2b2 h3b3
平面波
( r ) ei ( k K
h )r
也满足晶体中电子的波函数所满足的方程。 所以，电子的波函数为平面波的线性叠加
ˆ (3) T

( Rn ) ei k R
n
由于晶格的周期性，晶体中的等效势场V（r）具有 晶格的周期性。