光栅衍射

k
-12
-8
-4
4
8
12
谱线中第±４、±8、 ±12… 级条纹缺级。
k
22
-12
-8
-4
o
4
8
12
三、衍射光谱
(a b)sin k
( k 0,1, 2, )
※ 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。
入射光为白光时， k不同，按波长分开形成光谱。 不同，
I
sin
0 一级光谱 三级光谱 ab 二级光谱
在单缝衍射光强大的地方，光栅衍射明纹的光强也大； 在单缝衍射光强小的地方，光栅衍射明纹的光强也小； 在单缝衍射光强为0的地方，光栅衍射明纹的光强也为0。
20
缺级现象：
当多缝干涉的主极大位置，恰好与单缝衍射暗 纹位置重合时，本应出现主极大的明纹就不出现， 该处成了暗纹。这种现象称为缺级现象。
a sin k' ab 所缺级次为： k k k 1, 2 a
×
多缝干涉光强
2
sin sin N I p I 0单 sin
2
I 0单
单缝中央主极大光强
2
sin 单缝衍射因子
sin N 多光束干涉因子 sin
2
18
I I0
23
I
sin
0 一级光谱 三级光谱 ab 二级光谱
例如：二级光谱重叠部分光谱范围
(a b)sin 3紫
(a b)sin 2 白光 400 ~ 760nm
3 紫 600nm 2
二级光谱重叠部分:
600 ~ 760nm
24
光谱分析 连续光谱：炽热物体光谱
(a b) sin k
能看到的最大级次对应：

2
即： sin 1
kmax
ab

2 10 3 3.39 3 0.59 10
29
取整，即垂直入射时，最多能看到第三级光谱。
例：用波长为λ= 590nm的钠黄光垂直照射在光栅上， 该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放 一焦距为 f = 20 cm的凸透镜。 求：3） 光线以 300 角入 射时，最多能看到哪几条光谱？ 3） (a b)(sin sin ) k 入射线与衍射线同侧时： (a b)(sin 900 sin300 ) kmax 5.08
2） 光栅是重要的光学元件，广泛应用于物理、化学、 天文、地质等基础学科和近代生产技术的许多部门。
2
一、光栅 （Grating）
由许多等宽度、等间距的平行狭缝排列起 来形成的光学元件。 它是夫琅禾费于1821年左右发明的。 种类：
d
透射光栅
反射光栅
3
光栅常数: d a b
数量级为： 10-5 ~ 10-6m
6
衍射角
L

P
o
f
光栅衍射图样的特点：明条纹细又亮，相邻明纹间 的暗区宽，衍射条纹十分清晰。
7
光栅！
光栅的每个缝都有衍射，Ｎ条缝的衍射条纹 在屏幕上完全重合。 当 N 条缝轮流开放时，观察屏上的衍射花样 是一样的。
8
假如从这 N 条缝发出的衍射光彼此不相干，当 这 N 条缝同时开放时，屏上的像仍与单缝开放时一 样，只是亮度按比例增大了N 倍。
d sin 1 k11
d sin 2 k22
重合时：1 第二次重合
sin 1 k11 2k1 sin 2 k2 2 3k2
k1 3 6 所以 k2 2 4
k1= 6，k2= 4
2
d sin 60 61
0
d 3.05 10 mm
34
线状光谱：钠盐、分立明线 带状光谱：分子光谱 由于不同元素（或化合物）各有自己特定的 光谱，所以由谱线的成分，可分析出发光物质所 含的元素或化合物；还可从谱线的强度定量分析 出元素的含量。
25
例： 波长 = 600nm 的单色平行光垂直照射光栅，发 现两相邻的主极大分别出现在 sin 1= 0.2 和 sin 2= 0.3 处，第 4 级缺级。求：1）光栅常数；2）最小缝宽； 3）屏上实际呈现的全部级次和亮纹条数。 解：1） d sin 1 = k ,
(4) 垂直入射和斜入射相比，缺级级次相同。
d (sin sin ) k a(sin sin ) k '
d k k k 1,2,3, a
33
例： 1= 440nm，2= 660nm 同时垂直入射在一光栅 上，第二次重合于θ= 60 0 方向，求：光栅常数。 解：
31
如果单色平行光倾斜地射到光栅上




相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差
(a b)sin
(a b)(sin sin ) k
此时干涉主极大的条件为:
式中角的正负规定： 衍射光线和入射光线在 光栅平面法线同侧时 > 0，反之 < 0。
32
k 0, 1, 2
k
5 d 10 kmax 3 7 6 4.8 10 o （2） d (sin sin30 ) = k k max 5 当 = 90o 时 当 = - 90o 时 k max 1
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
单缝衍射光强分布
k'
-3
-2
-1
o
1
2
3
多光束干涉光强分布
k
-12
-8
-4
4
8
12
光栅衍射光强曲线
19
-12
-8
-4
o
4
8
12
光栅衍射的不同位置处的明条纹，是来源于 不同光强的衍射光的干涉加强。 由于单缝衍射效应，在不同方向上，衍射光 的强度不同。
多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制， 使得主极大光强大小不同。
3
例：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的 光栅上，求： 1）第一级和第三级明纹的衍射角； 2）若缝宽 与缝间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。 解：1）光栅常数：
a b 1 103 / 500 2 106 m
由光栅方程： 第一级明纹：k =1
a bsin k


取整，最多能看到第五级光谱。 入射线与衍射线异侧时： 0 0 (a b)[sin(90 ) sin30 ] kmax 1 . 69
取整，只能看到第一级光谱。 即共可看到 -1、0 、1、2、3、4、5 七条光谱线。
30
例：波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内 有 600 条刻痕的平面透射光栅上。 求：1）光线垂直 入射时，最多能看到第几级光谱？ 2）光线以 30o入 射角入射时，最多能看到第几级光谱？ 解： （1） d sin
按斜入射方式工作，在屏上的一侧，可以获得 更高级次的衍射谱，高级次谱的分辨率高。
说明
(1) 斜入射级次分布不对称。 (2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。 (3) 垂直入射和斜入射相比，完整级次数不变。
上题中垂直入射级数 斜入射级数
k 3,2,1, 0, 1, 2, 3 k 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
27
例：用波长为λ= 590nm的钠黄光垂直照射在光栅上， 该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放 一焦距为 f = 20 cm的凸透镜。 求：1）第一级与第三级 光谱线之间的距离； 2）最多能看到第几级光谱？ 解：1）光栅常数为：
1 ab 2 103 mm 500
把不同的 k 值代入：
9
2）理论上能看到的最 高级谱线的极限，对应 衍射角θ=π/2，
kmax
ab
500 10 sin 1 0.25 6 ab 2 10


2 10 6 4 9 500 10
1＝ 140 28
第三级明纹：k =3 3 3 500 109 sin 3 0.75 6 ab 2 10
12.4 光栅衍射
1
对于单缝： Δx =λf / b 若缝宽大，条纹亮，但条纹宽度小，不易分辨。 若缝宽小，条纹宽度大，但条纹暗，也不易分辨。
因而，利用单缝衍射不能精确地进行测量。
问题：能否得到亮度大、分得开、宽度窄的明条纹？
结论：利用光栅衍射所形成的衍射图样——光栅光谱
应用：
1） 利用光栅衍射可精确地测量光的波长；
d sin 2 = ( k + 1 ) = 10 = 6×10-6m 光栅常数为：d sin θ2 sin θ1
2）因第 4 级缺级，由缺级公式：
d k k = 4， 取 k = 1 ( 因 a 最小) a 最小缝宽为：a = d / 4 = 1.5×10-6 m
26
3）求屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。
3＝ 480 35
光栅！
N
9
光栅！
然而，光栅上的这 N 条缝发出的衍射光是相 干的，缝与缝的衍射光之间还要发生干涉效应。 光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波 以及来自各单缝对应的子波彼此相干叠加而形成。 光栅衍射是每个单缝衍射和各缝干涉的综合效果。
10
L
P

f
o
首先将来自同一缝不同部分的光束在 P 叠加。 N 缝就得到 N个合成的振动。 然后再将这 N个合成的振动再叠加一次。
11
L
P

(a b) sin
o
f