一次函数第二讲

1一次函数：第二讲、一次函数知识点1：理解一次函数、正比例函数的概念．形如y=kx ＋b （k ≠0）的函数，称y 是x 的一次函数；特殊地，若b=0,即y=kx （k ≠0）的函数，称y 是x 的正比例函数。

易错点：忽视对k 、b 的讨论。

例1．下列函数关系中（0k ≠且为常数），（1）3y k x =-、（2）(2)y k x =+、 （3）、23y x x =+（4）3y kx =+、（5）23y x k =+、（6）5y k =，是y 关于x 的一次函数有（ ）个。

A ．3B ．4C ．5D ．6例2．下列函数关系中，是y 关于x 的正比例函数的有（ ）个。

（1）3x y -=；（2）xy 8-=；（3）正方形周长y 和一边的长x ；（4）圆的面积y 与半径x ；（5）长a 一定时矩形面积y 与宽x ； （6）15斤梨售价20元．售价y 与斤数x ．A ．3B ．4C ．5D ．6例3．已知函数()mxm y 1-=，m 为 时，函数是正比例函数。

例4. 已知y-3与x 成正比例函数，且x=2时，y=7．(1)求y 与x 之间的函数关系式． (2)求当x=2时y 的值． (3)求当y=-3时x 的值．知识点2：y=kx ＋b （k ≠0）的图象及其位置1、图象：一条直线；2、与坐标轴的交点：①y=kx ＋b （k ≠0）交x 轴于（kb -，0）,交y 轴于（0，b ）；②y=kx （k ≠0）过坐标原点（只有这一个交点），即（0，0）。

3、位置：由待定系数b k ,决定。

①k 的作用：当0>k 时，过一、三象限，当0<k 时，过二、四象限；反之，由图象经过的象限也可决定k 的正负； ②b 的作用：决定与轴的交点位置。

反之，由图象与y 轴的交点位置也可决定b 的正负； 例5．已知直线m x y +=2与两坐标轴所围成的三角形面积为24．（1）求m 的值；（2）当x 取什么值时，0>y ？例6．直线23+-=x y 上有点P 到x 轴的距离为3，则点P 的坐标为 。

知识点3：y=kx ＋b （k ≠0）的性质k ＞0时，y 随x 的增大而增大，从左到右直线上升。

k ＜0时，y 随x 的增大而减小，从左到右直线下降。

反之，图象自左向右是上升还是下降可以决定k 的正负。

例7．已知一次函数4)36(-++=n x m y ，求；（1）m 为何值时，y 随x 增大而减小；2（2）n 为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方； （3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点； （4）若31=m ，5=n ，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标；（5）若图像经过一、二、三象限，求m ，n 的取值范围．例8．如果一次函数b kx y +=的自变量x 的取值范围是62≤≤-x ，相应函数值的范围是911≤≤-y ，则此函数的解析式为 ．知识点4：多个一次函数图象的位置关系1、平行：几个k 相等；2、相交：几个k 互不相等。

特别地，若几条直线交于y 轴上，则b 相等，交点坐标为（0，b ） 点；若交于其它地方，则交点坐标为几个函数方程的公共解。

例9．已知直线y=kx ＋b 与直线y=2x －5交在y 轴上，且平行于直线 y=－x ＋3，则该直线为 。

例10．把直线y=kx ＋b 向上平移2个单位，得到的直线y=－3x ＋m 与函 数y=－5x －2的图象交于y 轴上，则k= ，b= 。

知识点5：用“待定系数法”求函数关系式前提：1、一次函数的一般表达式：y=kx ＋b （k≠0）条件：直线上任意两点的坐标； 2、正比例函数（过坐标原点的直线）：y=kx （k≠0）条件：直线上除原点外的任意一点[可变形为k=y/x]； 3、反比例函数（双曲线）：y=k/x （k≠0）条件：双曲线上的任意一点[可变形为k=xy]步骤：1、设（设出函数的一般表达式）2、列（根据已知点的坐标列出方程或方程组）3、解（解出方程，求出“待定系数”的值）4、答（将“待定系数”代入一般表达式中，得出函数的关系式） 例11．已知一个一次函数的图像经过)1,1(-A 和)5,2(-B 两点，则这个一次函数的解析式为 ． 例12．已知一次函数图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是 。

例13．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿 童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地 区入学儿童人数的变化趋势．试用你所学的函数知 识解决下列问题．（1）求入学儿童人数y （人）与年份x （年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不 超过1000人？例相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路 程随时间变化的图象（分别是正比例函数 图象和一次函数图象） 根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过 程的函数解析式（写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？ （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ 例15 . 某工厂有煤m 吨，每天烧煤n 吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？3巩固练习：1．已知方程752=+y x 给出了y 与x 的函数关系，则用自变量x 来表示函数y 的形式为_______.2．若x ，y 是变量，且2)1(k x k y +=是正比例函数，则k 值为________. 3．在一次函数134--=x y .当12≤≤-y 时，x 的取值范围是_______.4．已知函数x k y )1(+-=，满足0>x 时，0>y ，则k _____.5.若点)p a 在正比例函数5y x =-的图象上，则a =＿＿＿．6.y 与x成正比例，当x =3y =-，这个函数的解析式为 ．7. 已知y 与x 成正比例，当14x =时，56y =则12y =时x = ．8.2y -与x 成正比，当2x =-时，4y =，则x = 时，4y =-． 9．下列说法中，不正确的是（ ）A ．不是一次函数就一定不是正比例函数B ．正比例函数是一次函数C ．不是正比例函数就不是一次函数D ．一次函数不一定是正比例函数 10．若函数32)2(--=mx m y 是正比例函数，则（ ） A ．2-=m B ．2±=m C ．2=mD ．2=m11．如果n m xm y n +--=+12)2(为一次函数，且不是正比例函数，则（ ）A ．0,2=>n mB ．0,2=<n mC ．0,2=≠n mD ．0,02=≠≠n m m 且12．当5=x 时，一次函数k x y +=2与43-=kx y 的值相等，那么k 与y 的值分别是（） A ．73，773 B ．-1，9 C ．1，11 D ．5，1513．正比例函数)0(>=k kx y ，当21-=x ，02=x ，33=x 时，对应的1y ，2y ，3y 之间的关系是（）A ．321y y y >>B ．321y y y <<C ．2123,y y y y >>D ．无法确定14．如果)0(≠=k kx y 的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 值（）A ．4B ．-4C ．41 D ．41-15.下列说法中不正确的是（ ） A 、在21y x =+时，y 与x 成正比例； B 、在12y x =-中，y 与x 成正比例；C 、在3xy =中，y 与1x成正比例；D 、在圆面积公式2S r π=中，S 与2r 成正比例 16.下列关系式中，y 与x 成正比例的是（ ）A、:3:5x = B 、(1):2:5x y +=C 、2:57:2x y =D 、2:57:(2)x y =-417. 已知一次函数b kx y +=的图像经过)2,3(--A ，)6,1(B 两点。

（1）求此一次函数的解析式；（2）求此函数图像与坐标轴围成的三角形面积。

18. y 与x 成正比例，x 与z 也成正比例，求证y 与z 成正比例。

19. 如图所示，在ABC ∆中，B ∠与C ∠的平分线交于点P ，设x A =∠，y BPC =∠，当A ∠变化时，求y 与x 之间的函数关系式，并判断y 是不是x 的一次函数，并指出自变量的取值范围。

20.如图所示，公路上有A ，B ，C 三站，一辆汽车在上午8时从离A 站10千米的P 地出发向C 站匀速前进，15分钟后离A 站20千米。

（1）设出发x 小时后，汽车离A 站y 千米，写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当汽车行驶到离A 站150千米的B 站时，接到通知要在中午12点前赶到离B 站30千米的C 站。

汽车若按原速能否按到达？若能，是几点几分到达？若不能，车速最少应提到多少？21.拖拉机开始工作时，油箱中有油36公斤，如果每小时耗油3公斤，那么，油箱中的余油量y 公斤与它工作的时间t 小时之间的函数关系式是什么？它是什么函数？自变量的取值范围是什么？。